2.4.2 平面向量及运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量的坐标表示及运算，通过问题链引导学生从平面向量基本定理出发，探究向量坐标的定义、加减与数乘运算的坐标表示及共线条件，搭建从几何到代数的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心，通过典例分析（如方向角求坐标）、规律方法总结（如共线条件应用）培养学生核心素养。分层评价设计助力教师实施差异化教学，学生能在问题探究中深化理解，提升解决问题的能力。

4.2　平面向量及运算的坐标表示 　 第二章　§4　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.　 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，提升数学运算的核心素养.　 3.能用坐标表示平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　平面向量的坐标表示 1 任务二　平面向量运算的坐标表示 2 任务三　平面向量平行的坐标表示 3 课时分层评价 6 任务四　平面向量的坐标运算的应用 4 随堂评价 5 任务一　平面向量的坐标表示 返回 问题1.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a，请问向量a能用向量i，j表示吗？ 提示：a＝xi＋yj. 问题导思 问题2.在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？ 提示：对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置不确定. 1.平面向量的坐标表示 如图所示，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此，a＝xi＋yj.我们把________称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝________. 新知构建 (x，y) (x，y) 2.点的坐标与向量坐标间的关系 在平面直角坐标系中，点P的位置被它的位置向量所唯一确定，设点P的坐标为(x，y)，容易看出＝xi＋yj＝(x，y)，即点P的位置向量的坐标(x，y)也就是点P的______；反之，点P在平面直角坐标系中的坐标也是点P所决定的位置向量的坐标. 坐标 (1)每个向量都有唯一的坐标.(2)相等的向量坐标相同.(3)注意点的坐标与向量的坐标的区别. 微提醒 (链教材P101例3)在平面内以点O的正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标： (1)向量a表示沿北偏东60°移动了3个单位长度； 解：因为向量a表示沿北偏东60°移动了3个单位长度，所以向量a对应坐标系中的角度为30°且模长为3，所以a＝(3cos 30°，3sin 30°)＝. 典例 1 (2)向量b表示沿西北方向移动了4个单位长度； 解：因为向量b表示沿西北方向移动了4个单位长度，所以向量b对应坐标系中的角度为135°且模长为4，所以b＝(4cos 135°，4sin 135°)＝(－2，2). (3)向量c表示沿南偏西30°移动了3个单位长度； 解：因为向量c表示沿南偏西30°移动了3个单位长度，所以向量c对应坐标系中的角度为－120°且模长为3，所以c＝(3cos(－120°)，3sin(－120°))＝. (4)向量d表示沿东南方向移动了4个单位长度. 解：因为向量d表示沿东南方向移动了4个单位长度，所以向量d对应坐标系中的角度为－45°且模长为4，所以d＝(4cos(－45°)，4sin(－45°))＝(2，－2). 求向量坐标的方法 　　求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解 题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义 和性质进行计算.如图所示，设向量a＝(a1，a2)， a的方向相对于x轴的旋转角为θ，由三角函数的 定义可知a1＝｜a｜cos θ，a2＝｜a｜sin θ. 规律方法 对点练1.(1)如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若＝，θ＝，则向量a的坐标为 A. B. C. D. √ 依题意，得 a＝i＋j＝.故选A. (2)(双空题)在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向 如图，且｜a｜＝2，｜b｜＝3，则a＝_________；b＝ ___________(填坐标). (，) 设A(x，y)，B(x0，y0)，因为｜a｜＝2，且∠AOx＝45°，所以x＝2cos 45°＝，y＝2sin 45°＝.又因为｜b｜＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，所以x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝.所以a＝＝(，)，b＝＝. 返回 任务二　平面向量运算的坐标表示 返回 问题3.设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的运算律，你能得到向量a＋b，a－b，λa的坐标吗？ 提示：因为a＝(x1，y1)＝x1i＋y1j，b＝(x2，y2)＝x2i＋y2j， 所以a＋b＝x1i＋y1j＋x2i＋y2j＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 同理：a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1). 问题导思 问题4.如图，在平面直角坐标系中，设点A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)写出和的坐标； 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)； ＝－＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2). (2)若M是AB的中点，试求出点M的坐标. 提示：＝＋)＝，即M点的坐标为. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 新知构建   数学公式 文字语言表述 向量 加法 a＋b＝__________________ 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的____ 向量 减法 a－b＝__________________ 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的____ 向量 数乘 λa＝______________ 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的______ 向量 坐标 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝__________________ 一个向量的坐标等于其______的坐标减去______的坐标 (x1＋x2，y1＋y2) 和 (x1－x2，y1－y2) 差 (λx1，λy1) 乘积 (x2－x1，y2－y1) 终点 起点 (1)当向量起点在原点时，终点坐标就是向量的坐标.(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段AB的中点坐标公式.(3)若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则三角形的重心坐标为. 微提醒 (链教材P103例5、例7)已知A，B，C. (1)若－2＝，求m，n； 解：依题意，得＝，＝， 则－2＝，所以－2＝， 所以m＝5，n＝－7. 典例 2 (2)若＝2＋4，求点D的坐标. 解：由(1)知2＝，4＝， 所以2＋4＝. 设点D的坐标为，则＝， 因为＝2＋4，所以x＝2，y－1＝18， 所以x＝2，y＝19，故点D的坐标为. 1.已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标.求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标. 2.相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. 规律方法 对点练2.(1)(多选题)已知a＝，b＝，下列选项中关于a，b的坐标运算正确的是 A.a＋b＝ B.a－2b＝ C.若＝a且A，则B D.2a＋3b＝ √ √ 向量a＝，b＝，则a＋b＝，故A错误；a－2b＝(－1，2)－(4，10)＝，故B正确；令O为坐标原点，则＝＋＝(2，3)＋(－1，2)＝(1，5)，点B(1，5)，故C错误；2a＋3b＝(－2，4)＋(6，15)＝，故D正确.故选BD. (2)已知点M，向量＝，＝，则点P的坐标为 A. B. C. D. √ 由于＝，＝，则＝＋＝，又M，则P(－2＋4，6＋0)，即点P的坐标为.故选D. 返回 任务三　平面向量平行的坐标表示 返回 问题5.若a∥b(b≠0)，则存在实数λ，使得a＝λb，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b如何用坐标表示呢？ 提示：向量a∥b(b≠0)等价于存在实数λ，使得a＝λb，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，所以消去λ可得，x1y2－x2y1＝0. 问题导思 　　在平面直角坐标系中，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).当b≠0时，向量a，b共线的充要条件是_______________. 新知构建 x1y2－x2y1＝0 当b≠0时，向量a，b共线的充要条件能写成＝的形式吗？ 提示：当y1≠0且y2≠0时，b≠0，向量a，b共线的充要条件能写成＝的形式. 微思考 (链教材P104例8)(1)已知平面向量a＝，b＝，且a∥，则x＝ A.5 B. C. D. √ 典例 3 依题意，得b－a＝.因为a∥，所以x＋1＝－2，解得x＝.故选B. (2)(多选题)向量＝，＝，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值可能为 A.2 B.－2 C.11 D.－11 √ √ 由已知可得＝－＝－＝，＝－＝－＝.因为A，B，C三点共线，所以∥，所以－7＝0，整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或11.故选BC. 1.根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用共线(平行)向量基本定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解. 2.若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线. 规律方法 对点练3.(1)已知向量a＝，b＝，若b∥(b＋4a)，则x＝ A.－1 B.0 C.1 D.2 √ 向量a＝，b＝，则b＋4a＝(x，6)，由b∥(b＋4a)，得6x－2x＝0，所以x＝0.故选B. (2)在平面直角坐标系xOy中， A，B，C三点共线，则实数a的值为______. 2 依题意，得＝，＝，因为A，B，C三点共线，故＝，＝共线，所以3＋1×3＝0，所以a＝2. 返回 任务四　平面向量的坐标运算的应用 返回 (1)已知向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示c，则 A.c＝2a－3b B.c＝－2a－3b C.c＝－3a＋2b D.c＝3a－2b √ 典例 4 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形网格的 边长为1，则a＝，b＝，c＝，则A， B，C，D，所以a＝， b＝，c＝，设向量c＝ma＋nb， 则c＝ma＋nb＝＝，所以所以c＝3a－2b.故选D. (2)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点F.若＝2x＋3y，则x＋y＝ A.1 B. C.－ D.－ √ 建立如图所示的平面直角坐标系，则＝(2，0)， ＝(0，2)，可得＝2x＋3y＝(4x，6y).由△DEF ∽△BAF，得＝＝，所以＝.因为＝ (1，2)，所以＝，所以所以x＋y＝＋＝.故选B. 　　用向量法解决几何问题时，如果出现矩形、菱形、等腰三角形等特殊图形，可以建立合适的坐标系，将问题中涉及的向量用坐标表示，把几何问题转化为向量问题，通过向量的坐标运算，得到相应结论，再将向量问题转化为几何问题. 规律方法 对点练4.(1)(多选题)如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则 A.λ＋μ＝ B.λ＝4μ C.μ＝4λ D.λ－μ＝－1 √ √ 以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，设正方 形边长为1，则A，B，C，D， 则M.故＝，＝，＝ ，故故λ＋μ＝，λ＝4μ，λ－μ＝1.故选AB. (2)(双空题)如图，四点O，A，B，C在正方形网格的格点处.若＝λ＋μ，则λ＝_______，μ＝_______. 建立平面直角坐标系，如图所示，则O，A， C，B，所以＝，＝， ＝，由＝λ＋μ＝λ＋ μ， 即解得μ＝，λ＝. 返回 课堂小结 任务再现 1.平面向量的坐标表示.2.平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示.3.平面向量共线(平行)的坐标表示.4.平面向量的坐标运算的应用 方法提炼 待定系数法、坐标法、转化与化归思想方法 易错警示 两个向量共线的坐标表示的公式易记错 随堂评价 返回 1.在平面直角坐标系中，若A(－3，2)，B(3，2)，则＝ A.(0，4) B.(6，0) C.(－6，0) D.(6，2) √ 依题意，可知＝＝.故选B. 2.如图，为单位正交基，则向量a，b的坐标分别是 A.， B.， C.， D.， √ 根据平面直角坐标系，可知a＝2e1＋3e2，b＝2e1－2e2，所以a＝，b＝.故选C. 3.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为 A. B.－ C.－3 D.－ √ 由＝(3，－4)，＝(6，－3)， 可得＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3，1)， 又∥，＝(2m，m＋1)， 所以3(m＋1)＝2m，解得m＝－3，故选C. 4.已知点O，A，B，＝＋m.若点P在y轴上，则实数m的值为_______. 因为O，A，B，所以＝(－1，3)，＝(3，－7)，因为＝＋m，所以＝(－1，3)＋m(3，－7)＝(－1＋3m，3－7m)，因为点P在y轴上，所以－1＋3m＝0，所以m＝. 返回 课时分层评价 返回 1.若a＝，b＝，则a－b的坐标是 A. B. C. D. √ a－b＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在平面直角坐标系xOy内，已知点A，＝，则＝ A. B. C. D. √ 因为点A，＝，则＝(－1，1)，可得＝＋＝＋＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知向量a＝，b＝，若4a＋＋c＝0，则向量c的坐标为 A. B. C. D. √ 向量a＝，b＝，若4a＋＋c＝0，则c＝－4a－＝－2a－3b＝－2－3＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知向量a＝，b＝，若a＋b与3a－b平行，则m＝ A.－ B.－ C. D. √ 由a＝，b＝可得a＋b＝，3a－b＝，若a＋b与3a－b平行，则5－3＝0，解得m＝－.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)已知O为坐标原点，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，P是线段AB的三等分点，则P点的坐标可能为 A. B. C. D. √ √ 因为＝，＝，可得＝－＝，又因为点P是线段AB的三等分点，则＝＝＝＝，所以＝＋＝＝＋＝，即P点的坐标为.故选AC. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知向量a＝(1，－2)，b＝，则下列结论正确的是 A.a∥b B.a与b可以作为一组基 C.a＋b＝0 D.b－a与a方向相同 √ √ 对于A，因为a＝，b＝，可得a＝－b，则a∥b，故A正确；对于B，平面内不共线的两个向量可以作为一组基，a∥b可知两向量共线，故B错误；对于C，a＋b＝(0，0)＝0，故C正确；对于D，b－a＝－＝＝－2a，与a＝(1，－2)方向相反，故D错误.故选AC. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知点A，点B，向量m＝，若∥m，则实数k的值是________. －20 依题意，可得＝，若∥m，且m＝，则1×k＝－4×5，即k＝－20. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知M(－2，7)，N(6，1)，点P是线段MN上的点，且＝－，则点P的坐标为__________. (2，4) 设点P的坐标为(x，y)，因为M(－2，7)，N(6，1)，所以＝(6－x，1－y)，＝(－2－x，7－y).又＝－，所以6－x＝2＋x，1－y＝y－7，故x＝2，y＝4，即点P的坐标为(2，4). 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb，则＝_____. 4 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角 坐标系(设每个小正方形的边长为1)， 则O，A，B，C， 所以a＝＝，b＝＝，c＝＝ (－1，－3).因为c＝λa＋μb，所以＝λ(－1，1)＋μ(6，2)＝.所以⇒＝4. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知向量a＝，b＝，c＝. (1)求满足c＝2a＋yb的实数x，y的值； 解：因为a＝，b＝，则2a＋yb＝， 又c＝，c＝2a＋yb， 所以解得x＝2，y＝－1. (2)若∥b，求实数x的值. 解：因为a＝，c＝，则4a＋c＝， 又∥b，b＝， 所以＝，解得x＝－2. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)如图，给出下列四个结论： ①＝a＋b；②＝－a＋b； ③＝a－b；④＝a＋b. 其中正确结论的序号是 A.① B.② C.③ D.④ √ √ √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设每个小方格长度为1，则可得a＝，b＝.对于 ①，＝，设＝xa＋yb，则＝， 解得x＝y＝，故＝a＋b，故①正确；对于②，＝， 设＝xa＋yb，则＝，解得x＝，y＝－， 故＝a－b，故②错误；对于③，＝，设＝xa＋yb，则＝，解得x＝，y＝－，故＝a－b，故③正确； 对于④，＝，设＝xa＋yb，则＝，解得x＝，y＝，故＝a＋b，故④正确. 故选ACD. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若＝x＋y，则xy＝ A. B.－ C. D.－ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系. 作DF⊥AB，交BA的延长线于点F， 由题中数据可得A(0，2)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，4)， 则＝(2，4)，＝(2，－2)，＝(2，2). 因为＝x＋y，所以(2，4)＝(2x＋2y，－2x＋2y)， 则故xy＝－×＝－.故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知向量a＝，b＝，c＝，若2a＋b，a－c反向共线，则实数x的值为________. －7 因为向量a＝，b＝，c＝，所以2a＋b＝，a－c＝.因为2a＋b，a－c共线，所以×－×5＝0，解得x＝3，或x＝－7.又2a＋b，a－c反向共线，代入验证可知x＝3时为同向，舍去.而x＝－7满足条件，所以x＝－7. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，若＝e1－e2，＝2e1＋λe2，＝e1＋e2，且A，P，C三点共线. (1)求实数λ的值； 解：＝＋＝e1－e2＋2e1＋λe2＝3e1＋e2， 因为A，P，C三点共线，所以＝t＝t＝te1＋te2，则解得λ＝4. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若e1＝，e2＝. ①求； 解：＝＋＝2e1＋4e2＋e1＋e2＝3e1＋5e2，向量. ②若D，A，B，C，D恰好构成平行四边形ABCD，求点A的坐标. 解：设点A的坐标为，因为A，B，C，D恰好构成平行四边形ABCD， 则＝，又＝，＝， 所以所以点A的坐标为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)已知向量a，b，c满足c＝λa＋b(0＜λ＜1)，且c＝，则a，b的坐标可以为 A.a＝，b＝ B.a＝，b＝ C.a＝，b＝ D.a＝，b＝ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设＝a，＝b，＝c，O为坐标原点，则由c＝λa＋b(0＜λ＜1)可知A，B，C三点共线，且C在A，B之间.对于A，＝，＝，不平行，故A错误；对于B，＝，＝，平行，且C在A，B之间，故B正确；对于C，＝，＝，平行，且C在A，B之间，故C正确；对于D，＝，＝，平行，但C不在A，B之间，故D错误.故选BC. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知A，B，C三点的坐标分别为，，，且＝，＝. (1)求点E，F的坐标； 解：依题意，得＝，＝.设E，F. 由＝，可知＝，即 所以点E的坐标为. 由＝，可知＝， 即所以点F的坐标为. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)判断与是否共线. 解：由(1)可知＝－＝，又＝， 所以＝＝，故共线. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 4.2　平面向量及运算的坐标表示 返回 $