2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量的数乘与共线关系，核心内容包括共线向量基本定理、直线的向量表示及综合应用。通过问题导思链引导学生从向量数乘运算切入，逐步探究共线充要条件，搭建“问题-定理-应用”的学习支架，衔接向量数乘与共线判定的知识脉络。 其亮点在于以问题驱动培养逻辑推理，如通过方向讨论推导共线定理，结合典例变式提升数学运算，像三点共线判定中向量表达式转化。分层评价与规律方法总结助力教师实施差异化教学，学生能在探究中深化对向量共线本质的理解，提升解决复杂问题的能力。

3.2　向量的数乘与向量共线的关系 　 第二章　§3　从速度的倍数到向量的数乘 学习目标 1.理解并掌握共线(平行)向量基本定理，培养逻辑推理的核心素养.　 2.能熟练运用共线(平行)向量基本定理处理有关共线向量问题，提升数学运算的核心素养.　 3.了解直线的向量表示. 内容索引 任务一　共线(平行)向量基本定理 1 任务二　直线的向量表示 2 任务三　共线(平行)向量基本定理的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　共线(平行)向量基本定理 返回 问题1.引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 提示：实数与向量的积与原向量共线. 问题导思 问题2.设b是非零向量，对于任意向量a，若a＝λb，λ是一个实数，则a∥b；反之，对于任意向量a，若a∥b，是否存在一个实数λ，使得a＝λb？ 提示：可以分以下两种情况讨论. 若a和b方向相同，则是a的单位向量，a＝｜a｜，即a＝b，λ＝； 若a和b方向相反，则－是a的单位向量，a＝－｜a｜，即a＝ －b，λ＝－. 所以一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 共线(平行)向量基本定理 　　给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在______一个实数λ，使_________. 新知构建 唯一 a＝λb 对任意两个向量a，b，若存在不全为0的实数对(λ，μ)，使λa＋μb＝0，则a与b共线吗？ 提示：a与b共线.(1)若λ，μ均不为0，则a＝－b，显然成立.(2)若λ，μ一个为0，一个不为0，不妨设λ＝0，μ≠0，则μb＝0，又μ≠0，所以b＝0，则a与b共线. 微思考 (链教材P95例4)如图，已知＝4，＝4，试判断与是否平行. 解：因为＝＋＝4＋4＝4(＋)＝4， 所以平行. 典例 1 1.要判定两非零向量a，b共线，只需找到一个非零实数λ，使得a＝λb. 2.要判定两非零向量a，b不共线，可以用反证法，即假设a＝λb转化为φ(λ)e1＋μ(λ)e2＝0，由于e1，e2不共线，则此方程组无解即得. 规律方法 对点练1.(1)已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD为 A.梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 √ 因为＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，所以＝＋＋＝＋＋＝－8a－2b，所以＝2.所以AD∥BC且≠，所以四边形ABCD为梯形.故选A. (2)已知e1，e2是不共线的单位向量，若a＝e1＋2e2，b＝λe1－e2，且a∥b，则λ＝ A.2 B.－2 C.－ D. √ 因为a∥b，设a＝tb，则e1＋2e2＝t，即故选C. 返回 任务二　直线的向量表示 返回 问题3.已知A，B两点确定一条直线l，直线l上任意一点P所对应的向量与向量共线，那么能否用向量来刻画直线呢？ 提示：存在唯一实数t，使得＝t，这说明由一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与向量共线的直线l. 问题导思 直线的向量表示 　　通常可以用＝_____表示过点A，B的直线l，其中____称为直线l的方向向量.这说明由一个点A和一个非零向量可以唯一地确定过点A与向量共线的直线l. 新知构建 t (1)在直线l上任取不同两点A，B，均为直线l的方向向量，显然，直线的方向向量不是零向量.(2)由直线l上一点和它的方向向量，直线l被唯一确定. 微提醒 (链教材P96例6)如图，已知A，B是直线l上的两个定点，点O是直线l外的一个定点. (1)若点P是直线l上的任意一点，是否存在唯一的实数t，满足＝＋t？ 解：存在唯一实数t，满足＝＋t. 因为A，B，P都是直线l上的点，所以存在唯一实数t，使得＝t. 因为＝－，所以－＝t，即＝＋t. 典例 2 (2)若存在唯一的实数t，满足＝＋t，A，B，P三点是否共线？ 解：A，B，P三点共线. 由＝＋t，得－＝t，即＝t，所以∥，又AP，AB有公共点A，所以A，B，P三点共线. 变式探究 (变结论)在上述例题中，当t为何值时，点P为AB的中点？ 解：由(2)知，＝t，所以当t＝时，点P为AB的中点. 共线向量的表示方法 1.三点A，B，C共线⇔存在唯一一个实数λ，使＝λ(或＝λ等). 2.O为直线AB外一点，若A，B，P三点共线，则存在唯一的实数t，使得＝＋t. 规律方法 对点练2.(1)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则 A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 √ 对于A，＝＋＝－a＋3b＋a＋3b＝6b，与不共线，故A不正确；对于B，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则不共线，故B不正确；对于C，＝－a＋3b，＝a＋3b，则不共线，故C不正确；对于D，＝＋＝4a＋6b－a＋3b＝3a＋9b＝3，即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，故D正确.故选D. (2)点M满足向量2＝3－，则点M与AB的位置关系是 A.点M为线段AB的中点 B.点M在线段AB的延长线上 C.点M在线段BA的延长线上 D.点M不在直线AB上 √ 因为2＝3－，即2＝－，可得2＝，所以点M在线段BA的延长线上.故选C. 返回 任务三　共线(平行)向量基本定理的综合应用 返回 如图，在△ABC中，＝，＝.设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； 解：依题意，知＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝b＋a， ＝－＝－a＝b＋a. 典例 3 (2)若P为△ABC内部一点，且＝－a＋b.求证：M，P，N三点共线. 证明：依题意，＝＋＝a＋＝b＋a， 因为＝3，且有公共点M， 所以M，P，N三点共线. 1.证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. 2.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 规律方法 对点练3.(1)在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为 A. B.－ C. D.－ √ 由＝，得＝，因为P为直线BN上的一点，所以存在λ使＝λ，即－＝λ(－)＝λ，所以＝(1－λ)＋， 又＝m＋， 所以1－λ＝m，＝， 解得m＝－.故选B. (2)如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，BC上，且＝2，＝2，直线DE交边AB的延长线于点F，记＝λ，则λ＝__________. －4 连接CF(图略)，由题意可知A，B，F三点共线，则可设 ＝x，则＝x＋. 又因为D，E，F三 点共线，则可设＝y，则＝y＋＝ ＋.所以＝－，因为＝＋＝＋＝＋，又因为＝＋＝－＋＝－－，所以＝－4，所以λ＝－4. 教材拓展4　平面内三点共线的充要条件(源于教材P96例6) 结论：已知向量，不共线，点P满足＝x＋y，x，y∈R，则A，B，P三点共线的充要条件是x＋y＝1；若x＝y＝，则点P是线段AB的中点. (1)已知点A，B，C是直线l上相异的三点，O为直线l外一点，且2＝3＋λ，则λ的值是 A.－ B. C.－1 D.1 √ 典例 4 2＝3＋λ，即＝＋，因为点A，B，C是直线l上相异的三点，则点A，B，C三点共线，则＋＝1，解得λ＝－1.故选C. (2)如图，在△ABC中，已知＝，P为上一点，且满足＝m＋，则实数m的值为 A. B. C. D. √ 因为A，D，P三点共线，则＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又因为＝，即＝，则＝λ＋μ，且＝m＋，则故选A. (3)若A，B，C三点共线，对任意一点O，有＝sin x·＋成立，则x＝__________________________. 2kπ＋或2kπ＋，k∈Z 因为A，B，C三点共线，则sin x＋＝1，则sin x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z. 返回 课堂小结 任务再现 1.共线(平行)向量基本定理.2.直线的向量表示.3.共线(平行)向量基本定理的综合应用 方法提炼 数形结合思想方法、转化与化归思想方法 易错警示 注意共线向量的充要条件 随堂评价 返回 1.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则 λ＝ A.2 B.－2 C.－ D. √ 因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在实数k使得ka＝b，k≠0，所以k＝e1＋λe2，即2ke1－ke2＝e1＋λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，所以解得λ＝－.故选C. 2.已知平面向量a，b不共线，＝2a＋3b，＝－a＋2b，＝5a＋4b，则 A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 √ 对于A，＝2a＋3b，＝－a＋2b，则不存在唯一λ，使得＝λ，故A错误；对于B，＝－a＋2b，＝5a＋4b，则＝＋＝4a＋6b.则＝2(2a＋3b)＝2，则∥，且两个向量有公共点B，故A，B，D三点共线，故B正确；对于C，同理＝－a＋2b，＝5a＋4b，则不存在唯一λ，使得＝λ，故C错误；对于D，＝2a＋3b，＝－a＋2b，则＝＋＝a＋5b，则不存在唯一λ，使得＝λ，故D错误.故选B. 3.(多选题)已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的可能取值为 A.－1 B. C.3 D.4 √ √ 因为向量a，b是两个不共线的向量，向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，所以存在λ∈R，使ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，即解得m＝－1或m＝3.故选AC. 4.设e1，e2是空间内两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝_______. 1 依题意，知＝e1＋2e2，故＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.因为A，B，D三点共线，可设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以解得k＝1. 返回 课时分层评价 返回 1.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2与向量n＝2e1＋5e2共线，则k＝ A. B.－ C.－ D. √ 向量m＝－e1＋ke2与向量n＝2e1＋5e2共线，设m＝tn， 故解得k＝－.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则 A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 √ 因为＋＝2，所以－＋－＝＋＝0，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知M，N，P，Q是平面内四个互不相同的点，a，b为不共线向量，＝2 024a＋2 027b，＝2 025a＋2 026b，＝－a＋b，则 A.M，N，P三点共线 B.M，N，Q三点共线 C.M，P，Q三点共线 D.N，P，Q三点共线 √ ＝＋＝2 025a＋2 026b－a＋b＝2 024a＋2 027b，所以＝，所以M，N，Q三点共线，即B正确.同理，其他各项对应三点均不共线.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.向量a与b不共线，＝a＋kb，＝ma－b(k，m∈R)，若与共线，则k，m应满足 A.k＋m＝0 B.k－m＝0 C.km＋1＝0 D.km－1＝0 √ 因为a与b不共线，且共线，则＝λ，即即km＋1＝0.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)已知e1，e2是两个不共线的单位向量，则下列各组向量中，一定能推出 a∥b的是 A.a＝－3e1，b＝2e1 B.a＝e1－e2，b＝－e1 C.a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ D.a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 对于A，因为a＝－3e1，b＝2e1，故b＝－a，即a∥b，故A正确；对于B，因为a＝e1－e2，b＝－e1＝－e1＋e2，则b＝－a，故B正确；对于C，a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋＝(e1＋e2)，由于e1，e2不共线，故b≠λa，所以向量a，b不平行，故C错误；对于D，a＝2e1＋3e2，b＝4e1＋6e2，故b＝2a，此时a∥b，故D正确.故选ABD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.在▱ABCD中，＝，＝2，＝x＋，x∈R.若AP∥MN，则x＝ A. B. C. D. √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 如图所示，因为＝，＝2，所以 ＝－＝－＝＋＝ ＋，又AP∥MN，所以＝λ＝ λ＋λ＝x＋，则故选C. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若｜a｜＝3，b与a方向相反，且｜b｜＝5，则a＝______(用b表示). －b 由｜a｜＝3，｜b｜＝5，得｜a｜＝｜b｜，又b与a方向相反，所以a＝－b. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知a，b是两个不共线的向量，且向量2a－b与λa＋5b共线，则实数λ的值为_______. －10 因为向量2a－b与λa＋5b共线，所以存在唯一的实数k，使得2a－b＝k成立，即2a－b＝λka＋5kb，所以 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)已知非零向量a＝x，b＝e1＋ye2，其中e1，e2是一组不共线的向量.能使得a与b的方向相反的一组实数x，y的值为x＝_______________________，y＝______. －1(答案不唯一，x＜0) 1 因为a与b的方向相反，则a＝λb，λ＜0，即x＝λ，可得xe1＋xe2＝λe1＋λye2，又因为e1，e2是一组不共线的向量，则消去λ可得x＜0，y＝1，取λ＝－1，可得x＝－1(答案不唯一，x＜0). 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知向量m，n不共线，且＝3m－2n，＝m－3n，＝2m＋λn. (1)用m，n表示； 解：＝－＝m－3n－＝－2m－n. (2)若∥，求λ的值. 解：因为∥，＝3m－2n，＝2m＋λn， 所以∃t∈R，＝t，即3m－2n＝t(2m＋λn). 又向量m，n不共线，所以 解得t＝，λ＝－，即λ的值为－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.在△ABC中，点O满足＝2，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点E，F，设＝x，＝y，则2x＋y＝ A.1 B.2 C.3 D.4 √ 连接AO，如图所示，因为＝2， 所以＝＋＝＋ ＝＋－)＝＋.又因为＝x，＝ y，所以＝＋＝x＋y.又因为E，O，F三点 共线，所以x＋y＝1，所以2x＋y＝3.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.已知点A，B，C不共线，点M，N(异于A，B，C)满足＝λ，＝μ.若直线MN过线段BC的中点，则 A.λ＋μ＝2 B.＋＝2 C.λμ＝2 D.λμ＝1 √ 设BC中点为D，则M，N，D三点共线.因为＝λ，＝μ，所以＋＝2＝＋，所以＝＋. 结合M，N，D三点共线，可知＋＝1，所以＋＝2，对比选项可知，一定成立的只有B.故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形且＝，下列关系中正确的是 A.＋＝ B.－＝ C.＋＝ D.－＝ √ √ 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 对于A，＋＝＋＝＝，故A正确； 对于B，－＝－＝＝－，故B错 误；对于C，＋＝＋，＝＝ ＋，若＋＝，则＝＝0， 不合题意，故C错误；对于D，－＝－＝＋＝＝＝，故D正确.故选AD. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b，求证：A，B，C三点共线； 证明：由＝4a－2b，＝6a＋2b，＝2a－6b， 得＝－＝6a＋2b－＝2a＋4b， ＝－＝2a－6b－＝－4a－8b＝－2＝－2， 所以∥，且有公共点B， 所以A，B，C三点共线. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若4a＋kb与ka＋b共线，求实数k的值. 解：由4a＋kb与ka＋b共线， 则存在实数λ，使得4a＋kb＝λ， 即a＋b＝0，又a，b是不共线的两个非零向量， 因此 所以实数k的值是±4. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)(新定义)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O，G，H分别为三角形ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则 A.＝2 B.＋＋＝0 C.＝＝ D.＝＋ √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 如图所示，对于A，由M是BC的中点，又由O是外心，H是 垂心，可知：OM⊥BC，AH⊥BC，所以OM∥AH，根据平 行线分线段成比例可知：＝，又由欧拉线的性质可知： OG＝GH，所以＝，即＝2，故A正确；对于B， 由于G是重心，所以2＋＝0，而M是BC的中点， 所以＝＋，代入上式可得＋＋＝0，故B正确；对于C，因为O是外心，所以＝＝，故C正确；对于D，由向量的加法可知：＝＋＝＋＝＋＝＋，故D错误.故选ABC. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图，在△ABC中，点Q是BC的中点，＝t (0＜t＜1)，过点P的直线分别交边AB，AC于M，N(不同于 B，C)两点，且＝λ，＝μ. (1)当t＝时，用向量，表示，； 解：因为点Q是BC的中点，所以AQ是BC的中线，所以＝＝＋， 当t＝时，＝＝＋. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)证明：＋为定值. 证明：由(1)知＝＋，所以＝t＝＋. 因为M，P，N三点共线，所以＝x， 所以＝＋＝＋x＝＋x＝＋x. 由已知＝λ，＝μ，所以＝＋x＝λ＋μx， 所以＋＝＋μx. 因为，不共线，所以消去x整理可得＋＝2， 所以＋为定值. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 3.2　向量的数乘与向量共线的关系 返回 $