2.2.1 向量的加法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量加法，涵盖定义、平行四边形与三角形法则、运算律及实际应用，通过天车位移合成、出差行程等实例导入，搭建从物理情境到数学概念的学习支架，衔接向量几何表示的前期知识。 其亮点在于以问题导思激活数学眼光，结合图形直观与逻辑推理（如运算律证明）培养数学思维，通过救援飞机、力的合成等案例强化数学语言表达。采用典例解析与分层练习，小结梳理方法规律，助力学生提升直观想象与逻辑推理素养，为教师提供结构化教学资源。

2.1　向量的加法 　 第二章　§2　从位移的合成到向量的加减法 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义.　 2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的和向量，提升直观想象的核心素养.　 3.了解向量加法的交换律和结合律，通过向量加法运算律的应用，提升逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　向量加法的定义 1 任务二　向量加法的运算律 2 任务三　向量加法的实际应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　向量加法的定义 返回 问题1.物体在天车(生产车间或工地起重作业设备)的作用下，同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移，实际位移可以看作竖直向上方向的位移与水平向右方向的位移的合成，请画出位移的合成. 提示：如图所示. 问题导思 问题2.假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 提示：如图所示. 张先生的两次位移，的结果与从点A直接到点C的位移，即c相同. 1.向量加法的定义：求____________的运算，称为向量的加法. 2.向量加法的平行四边形法则、三角形法则： 新知构建   定义 图形表示 向量 加法 的平 行四 边形 法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段______表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的________________   两个向量和 平行四边形法则   定义 图形表示 向量 加法 的三 角形 法则 如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的____________   由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为________， 即a＋(－a)＝(－a)＋a＝___ 三角形法则 零向量 0 (1)运用平行四边形法则时a，b，a＋b同起点.(2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.(3)两向量的和仍为向量，实数与向量不能进行加法运算. 微提醒 (链教材P85例1) (1)如图①，求作向量a＋b； 解：首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示. 典例 1 (2)如图②，求作向量a＋b＋c. 解：法一(三角形法则)：如图①所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a， 再作向量＝b，则向量＝a＋b，然后 作向量＝c，则向量＝a＋b＋c. 法二(平行四边形法则)：如图②所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c. 　　在作向量的和向量时，平行四边形法则应注意“共起点”，三角形法则则注意 “首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点；当两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用. 规律方法 对点练1.(1)在四边形MNPQ中，若＝＋，则四边形MNPQ是 A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 √ ＝＋，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形.故选A. (2)如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则 A.＋＝ B.＋＋＝ C.＋＋＝ D.＋＝ √ ＋是以DA，DP为邻边的平行四边形的AP外的另一条对角线，故A错误；＋＋＝，故B正确；＋＋＝，故C错误；＋是以PA，PB为邻边的平行四边的AB外的另一条对角线，故D错误.故选B. 返回 任务二　向量加法的运算律 返回 问题3.实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 提示：满足，如图所示，检验如下： (a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝， a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝， 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 问题导思 问题4.实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 提示：满足，如图所示，检验如下： a＋b＝＋＝，b＋a＝＋＝，所以a＋b＝b＋a. 向量加法的运算律 新知构建 交换律 a＋b＝________ 结合律 (a＋b)＋c＝___________ b＋a a＋(b＋c) (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立.(2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行. 微提醒 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)＋＋； 解：＋＋＝＋＋＝＋＝. 典例 2 (2)＋＋＋. 解：＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0. 向量运算中化简的两种方法 1.代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”， 通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 2.几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简. 规律方法 对点练2.设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)＋＋； 解：＋＋＝＋＝＋＝. (2)＋＋； 解：＋＋＝(＋)＋＝0＋＝. (3)＋＋＋＋. 解：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 返回 任务三　向量加法的实际应用 返回 (链教材P85例2)一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置. 解：如图所示，设，分别表示直升飞机的两次位移， 则表示两次位移的合位移，即＝＋. 在Rt△ABD中，｜｜＝20 km，｜｜＝20 km. 在Rt△ACD中，｜｜＝(20＋40)km＝60 km，｜｜＝＝40 km， ∠CAD＝60°， 即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km的C处. 典例 3 应用向量解决实际问题的基本步骤 第1步，(表示)：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； 第2步，(运算)：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； 第3步，(还原)：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题. 规律方法 对点练3.如图，两个力F1和F2同时作用在一个物体上， 其中F1的大小为40 N，方向向东，F2的大小为30 N，方 向向北，求它们的合力. 解：因为F1的大小为40 N，方向向东，F2的大小为30 N， 方向向北， 设合力为F，则F＝F1＋F2，且F1⊥F2， 所以＝＝50，又tan θ＝＝＝， 所以合力的大小为50 N，方向为东偏北正切值为的锐角. 返回 课堂小结 任务再现 1.向量加法的定义，向量加法的平行四边形法则和三角形法则.2.向量加法的运算律.3.向量加法的实际应用 方法提炼 平行四边形法则、三角形法则、数形结合思想方法 易错警示 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点 随堂评价 返回 1.＋＝ A.0 B. C. D. √ 依题意，可得＋＝.故选D. 2.在平行四边形ABCD中，＋＝ A. B. C. D. √ 在▱ABCD中，＝，＝，所以＋＝＋＝.故 选A. 3.如图，方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于 A. B. C. D. √ 以OP，OQ为邻边作平行四边形OPFQ(图略)，则对角线OF对应的向量是，所以即为所求的向量.故选B. 4.(双空题)若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则｜a＋b｜＝_______ km；向量a＋b的方向为________. 8 东北 如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以｜a＋b｜＝｜｜＝＝8(km).因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北. 返回 课时分层评价 返回 1.＋＋＝ A. B. C. D. √ ＋＋＝＋＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于 A. B. C. D. √ ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在正六边形ABCDEF中，＋＋＝ A. B. C. D. √ 如图所示，因为＋＋＝＋＋＝，故 D正确.显然≠，≠，≠，故A、B、C 均错误.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜，则向量a与向量a＋b的夹角为 A.150° B.120° C.60° D.30° √ 如图所示，若｜a｜＝｜b｜＝｜a＋b｜，则△ABC为等边 三角形；则向量a与向量a＋b的夹角为60°.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知O为空间中任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是 A.菱形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形 √ 由已知得＝，因此，的模相等，方向相同，即AB＝DC，AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是 A.＋＝ B.＋＋＝ C.＋＋＝ D.＋＋＝0 √ √ √ 由向量加法的平行四边形法则可得＋＝，故A正确；由三角形法则可得＋＋＝＋＝＋＝，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝0，故D正确.故选ACD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知正方形ABCD的边长为2，则为__________. 2 ＝＝2. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.如图，在四边形ABCD中，DA＝DB＝DC，且＋＝，则∠ABC＝________. 120° 因为＋＝，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，又因为DA＝DB＝DC，所以四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以∠ABC＝120°. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.如图，已知在矩形ABCD中，｜｜＝4，设＝a， ＝b，＝c，则｜a＋b＋c｜＝_____. 8 a＋b＋c＝＋＋＝＋.如图所示，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.因为＝＝，所以四边形ACED是平行四边形，所以＝，所以＋＝＋＝，所以｜a＋b＋c｜＝｜｜＝2｜｜＝8. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)(1)已知非零向量a，b，求作向量c，使a＋b＋c＝0； 解：法一：利用向量的平行四边形法则，如图①所示，当两个向量a，b不共线时，作平行四边形OADB， 使得＝a，＝b，则a＋b＝. 又 a＋b＋c＝0，所以＋c＝0，即＝－c＝－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 法二：利用向量的三角形法则，当向量a，b不共线时， 如图②所示. 作△ABC，使得＝a，＝b，＝c，则＋＋ ＝0，即a＋b＋c＝0. 当两个向量a，b共线时，如图③，使得＝a，＝b，＝c， 则 ＋＝a＋b，＝－(a＋b)，所以 ＋＋＝0，即 a＋b＋c＝0. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)在(1)中表示a，b，c的有向线段能构成三角形吗？说明理由. 解：由(1)可知，当向量a，b不共线时，表示a，b，c的有向线段能构成三角形； 当向量a，b共线时，表示a，b，c的有向线段不能构成三角形. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)设a＝＋，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是 A.a∥b B.a＋b＝a C.a＋b＝b D.a＋b＜＋ √ √ 依题意，a＝＋＝＋＋＋＝0，易知A、 C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.故选AC. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.当a，b满足条件______________时，a＋b所在直线平分a，b所在直线的夹角. ｜a｜＝｜b｜ 如图所示，令＝a，＝b，＝a＋b，则四边形 ABDC为平行四边形，又因为a＋b所在直线平分a，b所 在直线的夹角，即AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC， 又因为∠BAD＝∠ADC，所以∠DAC＝∠ADC，所以｜｜＝｜｜＝｜｜，即｜a｜＝｜b｜. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知两个单位向量a，b的夹角为70°，则－a与a＋b的夹角为______. 145° 设a＝，b＝，a＋b＝，如图所示，因为a，b均为单位向量，所以四边形OACB为菱形，且OC平分∠AOB，所以a与a＋b的夹角为70°÷2＝35°，则－a与a＋b的夹角为180°－35°＝145°. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB 上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小. (绳子的重量忽略不计) 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力 用表示， 则＋＝. 依题意，可得∠ECG＝180°－150°＝30°， ∠FCG＝180°－120°＝60°，∠FCE＝90°， 四边形FCEG为矩形. 所以｜｜＝｜｜cos 30°＝10×＝5(N)，｜｜＝｜｜cos 60°＝10×＝5(N). 所以A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)设P1P2…P2 025是半径为1的圆O内接正2 025边形，M是圆O上的 动点. 则｜＋＋＋…＋＋｜的取值范围为________. 由已知可得，｜＋＋＋…＋＋｜＝＝.因为P1P2…P2 025是半径r＝1的圆O内接正2 025边形，M是圆O上的动点，所以0≤≤2r＝2，所以｜＋＋＋…＋＋｜∈. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置 得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上.边 锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门 前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分.设BC＝30 m，∠ABC＝37°.(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； 解：依题意，知△ABC为直角三角形， 由BC＝30 m，∠ABC＝37°，得AC＝BC·tan 37°＝30×＝22.5 m， 又＋＝， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为22.5 m，方向为正 前方. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 解：因为＋＝，所以中场队员的位移与球的位移相等. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.1　向量的加法 返回 $