8.2 立体图形的直观图 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.2 立体图形的直观图 1 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征，你能从右边的现代建筑中找到你熟悉的平面图形、立体图形吗？ 情景导入 为了生产与生活的需要，人们需要将空间几何体（例如房屋、钟表、手机、家具、汽车、航天器等）先画在纸上进行设计，用平面图形表示出来后再进行生产制作. 那么，表示空间几何体的平面图形在数学上叫什么图形？我们将利用怎样的方法来绘制空间几何体的平面图形？ 情景导入 像上面这样，把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使其既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图. 1.直观图的概念 探究： 我们都喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？ 2.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图 分析： 如图(1)所示，在乒乓球台上以每边中点所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 当将两坐标轴的夹角变为45°或135°时，台面看起来就是平行四边形了. 1.建系 在已知图形中取互相垂直的 轴和 轴，两轴相交于点. 画直观图时，把它们画成对应的 轴与 轴，两轴相交于点 ，且使(或 135°)，它们确定的平面表示水平面. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识总结 3.取长度(与 轴平行长度不变，与 轴平行长度取半) 已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 轴 的线段，在直观图中长度为原来的一半. 2.划线（平行不变） 已知图形中平行于 轴或 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴与 轴的线段. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识总结 画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 注 意 方法提示：这道题考察了用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图．（小组合作完成） 解：(1)建系 如图(1)，在正六边形中，取所在直线为轴，的垂直平分线为轴，两轴相交于点. 在图(2)中，画相应的 轴与 轴，两轴相交于点 ，且使 (2)划线、取长度 在图(2)中，以为中点，在 轴上取，在轴上取 以点为中点，画平行于 轴，并且等于; 再以为中点，画平行于 轴，并且等于． （3）连线：连接，，，，并擦去辅助线 轴与 轴，便获得正六边形水平放置的直观图，如图（3）． y轴 z轴 x轴 分析：画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与轴、轴都垂直的轴，并且使平行于轴的线段的平行性和长度都不变. 3.用斜二测画法画空间几何体的直观图 我们可以把长方体看成底面沿着与底面垂直的方向平移后形成的几何体，依据这一点，如何作出长方体的直观图呢？ 思考 探究：用斜二测画法画长、宽、高分别为的长方体的直观图. 解 画法步骤： (1)画轴 如图（1），画 轴、 轴、z 轴，三轴相交于点， 使 3.用斜二测画法画空间几何体的直观图 解 画法步骤： (2)画底面 如图（2），在轴正半轴上取线段，使；在轴正半轴上取线段，使； 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为， 则平行四边形就是长方体的底面的直观图. 探究：用斜二测画法画长、宽、高分别为的长方体的直观图. 解 画法步骤： (3)画侧棱 在轴正半轴上取线段，使， 过各点分别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取长的线段 探究：用斜二测画法画长、宽、高分别为的长方体的直观图. 解 画法步骤： (4)连线成图：顺次连接，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图. 探究：用斜二测画法画长、宽、高分别为的长方体的直观图. 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 1.画轴：画 轴、 轴、z 轴，三轴相交于点，使 2.画底面：按照平面图形的画法，在平面画底面的直观图. 3.画侧棱：已知图形中平行于轴(或在轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. 4.连线成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 温馨提示：画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感. 知识总结 用斜二测画法画圆锥、球的直观图的步骤 1.圆锥体的直观图 对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线，如图所示. 知识总结 2.球的直观图 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性，如图所示. 用斜二测画法画圆锥、球的直观图的步骤 知识总结 方法提示：这两道题考察了用斜二测画法画空间几何体的直观图. 例3 已知圆柱的底面半径为，侧面母线长，画出它的直观图.（小组合作完成） 例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，画出这个组合体的直观图.（小组合作完成） 例3 已知圆柱的底面半径为，侧面母线长，画出它的直观图. 解: (1)画轴.如图，画轴、轴，使 (2)画下底面.以为中点，在轴上取线段，使.利用椭圆模板画椭圆，使其经过两点.这个椭圆就是圆柱的下底面. (3)画上底面. 在上截取点，使，过点作平行于轴的轴.类似下底面的作法作出圆柱的上底面. (4)成图.连接，，整理得到圆柱的直观图 解:画法如下 如图，先画出圆柱的上下底面， 再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点， 最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图. 例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，画出这个组合体的直观图. 解:画法如下 如图，先画出圆柱的上下底面， 再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点， 最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图. 例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，画出这个组合体的直观图. 1.关于斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是( ) . A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形 C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 A 2.如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ， ， ，则原图形是( ). A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 C 【解析】 如图，在原图形 中， 有 ， ， 所以 ， 所以 ，故四边形 是菱形. 本节课我们学习了哪些内容？ 1.知识清单： (1)水平放置的平面图形的直观图的画法. (2)空间几何体直观图的画法. (3)直观图的还原与计算. 2.方法归纳：转化思想. 3.常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同. EV录屏5.1.3软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $