8.2 立体图形的直观图（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.2 立体图形的直观图 题型一 斜二测画法的概念辨析 1．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】ACD 【解析】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确.故选：ACD． 2．（23-24高一下·福建永春·月考）下列说法中错误的是（    ） A．两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行 B．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 C．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 D．斜二测坐标系取的角可能是 【答案】B 【解析】平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误， 由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确，故选：B. 3．下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【解析】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确. 项，如图，矩形的邻边满足, 其直观图的邻边是相等的，故错误. 故选：D. 4．（多选）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【解析】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段， 其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段， 其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时， 为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同， 所得直观图可能不同，所以D正确.故选：ABD． 题型二 画平面图形的直观图 1．（23-24高一下·广西河池·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【解析】由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度， 直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度， 故矩形的直观图是平行四边形．故选：D. 2．（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图. 故可能是的直观图的有：③④.故选：B. 3．（23-24高一下·四川成都·月考）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】作出直角梯形的直观图如下图所示：   A选项满足要求.故选：A. 4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 如图所示： 所以的对应点画对了,的对应点画错了.故选：C. 题型三 由直观图还原平面图形 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，故选：A 2．（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直观图中与轴和轴的交点分别为和， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点， 再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变， 作出原图得四边形故选：B． 3．将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【答案】B 【解析】因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 综上，原平面图形是直角梯形.故选：B． 4．（24-25高一下·浙江杭州·月考）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【解析】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示： 由图得，，故为等边三角形，故选：A 题型四 斜二测画法中的相关计算 1．（23-24高一下·广东广州·期中）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ． 【答案】 【解析】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， ，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示 ，， 在三角形中，， 由余弦定理得 . 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【解析】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 3．（23-24高一下·广东·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】C 【解析】还原四边形，如图所示， 依题意可得． 取的中点，连接，则，且， 故． 故选：C 4．（24-25高一上·浙江·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记四边形所对应的原四边形为四边形， 由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形， 因为，四边形为等腰梯形， 所以， 所以，，， 因此， 所以原四边形的周长为.故选：D 题型五 画立体几何的直观图 1．用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，． 【答案】答案见解析 【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O(A)，使得 . （2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=3cm,在y轴正半轴上取线段AD,使AD=2cm, 过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C， 则就是长方体的底面ABCD的直观图. （3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过B,C,D各点作z轴的平行线， 在这些平行线上分别截取5cm长的线段 . （4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）， 得到所要求作的长方体的直观图 2．有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【解析】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 3．画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【解析】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 1．（23-24高一下·河南郑州·月考）如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测法则知 ， ， 所以 ．故选：A． 2．（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】设轴与交点为D，因轴，轴，则， 又轴，则四边形为平行四边形，故. 又，结合A′B′⊥x′轴，则，故. 则四边形面积为， 因四边形面积是四边形的面积的倍， 则四边形OABC的面积为.故选：B 3．（23-24高一下·山东泰安·月考）（多选）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【解析】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例， 如图①， 在中，，其面积， 在其直观图（图②）中， 作，则直观图的面积 ， 因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的， 故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确； 对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直， 如长方体的长和高，D错误.故选：ABC. 4．（23-24高一下·河北·期中）（多选）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 【答案】ABC 【解析】在轴上取，即，所以A正确； 在图①中，过B作轴，交x轴于D，在轴上取， 过点作轴，并使，如图②所示： 于点D，则为原图形中边上的高，且， ，，所以C正确； 在直观图中作于点，， ，所以D错误； ，所以B正确．故选：ABC． 5．（23-24高一下·广东广州·期中）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm． 【答案】8 【解析】由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变， 正方形的对角线在轴上， 可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，即长度为， 其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：． 6．（23-24高一下·湖南长沙·月考）如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为 . 【答案】 【解析】作出梯形如下图所示： 由斜二测画法可知， 过点作交于点， 因为，梯形的高为， 所以，梯形的面积为， 7．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积． 【答案】（1）图形见解析；（2）原图的面积，直观图的面积； 【解析】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 即可知、的对应点为、， 而、对应点位置不变，即、， 则四边形的直观图如下图示： （2）原图的面积， 直观图的面积. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 立体图形的直观图 题型一 斜二测画法的概念辨析 1．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 2．（23-24高一下·福建永春·月考）下列说法中错误的是（    ） A．两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行 B．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 C．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 D．斜二测坐标系取的角可能是 3．下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 4．（多选）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 题型二 画平面图形的直观图 1．（23-24高一下·广西河池·期末）矩形的直观图是（    ） A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 2．（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一下·四川成都·月考）如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 题型三 由直观图还原平面图形 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津河北·期中）如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 3．将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 4．（24-25高一下·浙江杭州·月考）把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 题型四 斜二测画法中的相关计算 1．（23-24高一下·广东广州·期中）将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，则 ． 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 3．（23-24高一下·广东·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，则（    ） A． B．4 C．6 D． 4．（24-25高一上·浙江·期中）用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（    ）． A． B． C． D． 题型五 画立体几何的直观图 1．用斜二测画法画出长方体的直观图，其中，，． 2．有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 3．画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 1．（23-24高一下·河南郑州·月考）如图所示，梯形 是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 3．（23-24高一下·山东泰安·月考）（多选）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 4．（23-24高一下·河北·期中）（多选）如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的，，，则在直观图中，以下说法正确的是（    ） A． B．的面积为 C．边上的高为 D．边上的高为 5．（23-24高一下·广东广州·期中）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm． 6．（23-24高一下·湖南长沙·月考）如图，在直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为 . 7．（22-23高一下·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$