专题一 二次根式中常见的化简求值技巧&数学活动：纸张规格的奥秘-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）广西专版

(√4-√3)+…+（√2026-√/2025）]（√/2026+1）=（√2026-1）（√2026+1）= (√/2026)2-12=2025. 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【广西热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(W5-1-1)(5-1十3)=(5-2)(/5+2)=5-4 1.(2)原式=a2-7-a2+2a=2a-7.当a=5十1时，原式=2×(W5+1)-7=2W5 5.(3)当a=√2+1时，原式=(3-2√2)(w2+1)2+(1-√2)（√2+1）=(3-2√2)(2+ 2√2+1)+(1-√2)(1+√2)=(3-2√2)(3+2√2)+(1-√2)(1+√2)=9-8+1-2= 0.2.D3.D4.解：由题意，得2一6≥0：解得x=3.y=0+0十4=4.(z 6-2x≥0， y)202s=(3-4)2025=(-1)225=-1.5.C6.17.-2c8.C9.解：(1)x十y= 23-2+2√3+2=43，xy=(25-2)(2√5+2)=(23)2-22=12-4=8.(2)x2 y十y=(x+y-3y=(4)-3X8=48-24=24.10.解：“x+y万+2 1 3-√E √十E 万5+@5-历+5+5-厉=2.w后+元×后2 =1,.x2+3xy十y2=(x十y)2+xy=12+1=13.11.解：(1)x (W3+√2)(W5-√2) =√10-3，x十3=√10.两边平方，得(x十3)2=（√10）2，即x2+6x十9=10.x2+ 6x=1.x2十6x一8=1一8=一7.另解：还可采取类型3（二）的方法，将代数式x2十6x -8变形为(x+3)-17,再将x十3=0整体代人求值.(2)：x=5,,2z=5 2 1..2x+1=√5.两边平方，得(2x十1)2=(W5)2,即4x2+4x十1=5.4x2十4x=4,即 x2十x=1..x2+3x=x2+x+(2x十1)-1=√5. 数学活动纸张规格的奥秘 【初步探究】1.411.41√2【验证猜想】解：第一次折叠，得到正方形ABEB,.∠B =90°，AB=BE.AE=√AB十BE=√2AB.第二次折叠，得AD=AE=√EAB. ÷铝--区.即A纸的长与宽的比值为尼.【进阶问1解：由题意，得A纸的 长为6，宽为受“a:6=Ea-一√Bm6:号-6：受-反.∴A5纸长与宽的比值 2 为√2. 【美比归纳W反减半【拓展银究]牛平【廷伸探究】解，由海意得1纸的 面积为250×353=88250(mm).B5纸的面积为S纸÷2=44125(mm2).A4纸的面 积为210X297=62370(mm).A5纸的面积为SA纸÷2=31185(mm)..Sg纸：SA纸 =88250:623701.4≈√2，Ss纸：SA5摄=44125：31185≈1.4≈√2.【归纳/2 第十九章章末复习 思维导图 √a(a≥0)分母能开得尽方的因数或因式aa一a√ab a 最简二次 根式被开方数相同 考点整合 1.B2.D3.B4.D5.11(2)06.D7.B8.229.-2+E10.解： (1)原式=25-2+45-55=-.(2)原式=-2×√27×号×员 -2压.(3)原式=2+2-名E+是5=-厄+反.（④）原式=4-W7) +⑧÷5-5÷5=16-7+4-巨=13-区.11.D12.12513.解： 1当h=98时=√=V历=2后.(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行 人理由如下：当1=4时，45√2，解得h=78,4.10×0.1×78,4=78.4>65,这 个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人 第4页（共48页） 聚焦课标 14.解：1)0万-62m五，2m豆②2-51-√可(2)原式=2-1+ 2 √5-√2+4-√5+…+√2025-√/2024=√2025-1=45-1=44.(3)原式= 11 万六后-+万-万万-万 6万-时+++丘 2 2 2 2 5+1-5-3+7+5-3-厘=2=-1. 2 2 第二十章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第1课时勾股定理及其验证 新知梳理 a2+b2=c2 例题引路 【例1】解：在△ABC中，因为∠C=90°，所以a+b=c2.(1)因为a=8,b=15,所以c= √a+6=17.(2)因为c=25,a=7,所以b=√2-a=24.(3)设a=3x,则b=4x.所 以(3x)2十(4x)2=402,解得x=8(负值已舍去).所以a=24,b=32. 易错典例 【例2】13或√119 基础过关 1.C2.C3.4913 AC BC AB4.D5.B6.解：因为CD⊥AB,所以 ∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√AC-AD= √/172-15=8，所以BC=√/BD+CD=√/(4√5)2+82=12. 能力提升 7.C8.C9.B10.3611.解：AD⊥BC,∠ADC=∠ADB=90°.∠B=60°， ·∠BAD=30.·BD=号AB=2.在R△ADB中，AD=VAB-BD=2.在 Rt△ADC中，CD=√AC-AD=4.∴BC=BD+CD=6..△ABC的面积为号BC· AD=6/3. 思维拓展 12.解：(1)：正方形ABCD由4个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成， AB=c,BE=a,AE=b(6>a)∴c=4X分ab+(b-a)2,整理，得a2+6=c.(2)直 1 角三角形ABE的面积为54，c=15,2ab=54,a+=c=15=225.ab=108. ∴.小正方形EFGH的面积为(b-a)2=a2十b2-2ab=225-2×108=9,∴.小正方形 EFGH的边长为3. 第2课时勾股定理在实际生活中的应用 例题引路 【例1】解：连接AM.由题意，得OC=AA'=3m,OM=21m,.CM=OM-OC=18m. 在Rt△ACM中，AM=√AC+MC=6√10m.:6√/10<20，∴.云梯的长度足够. 易错典例 【例2V6 基础过关 1.C2.B3.50√34.65.解：CD⊥BD,∴∠D=90°.在Rt△ADC中，AD= √AC-CD=10√3m.在Rt△BDC中，BD=√BC-CD=30√3m..AB=BD- AD=20√3m.答：A,B两个凉亭之间的距离为20√5m. 能力提升 6.A7.2.6m8.解：过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D.,∠ABC=120°， ∠CBD=60.在R△BCD中，∠BCD=90-∠CBD=30',BD=2BC=10m ∴.CD=√BC-BD=10√5m.∴AD=AB+BD=90m.在Rt△ACD中，AC= √/AD+CD=√/902+(10√3)2=20√/2I≈92(m).答：A,C两点之间的距离约为92m. 第5页（共48页） 思维拓展 9.解：(1)由题意，得∠ABD=90°.设AB=xm,则AD=(x十2)m.在A'N Rt△ABD中，AB十BD=AD,即x2十8=(x十2)2，解得x=15.答：旗杆的 高度AB的长为15m.(2)由(1)，得AD=17m,AB=15m,如答图，延长BA 至点A',使AA'=4m,连接A'D,则A'B=A'A十AB=19m在Rt△A'BD中， A'D=√AB+BDd=5√17≈20.6(m).20.6-17=3.6(m).答：绳子至少 D 要加长3.6m. 答图 第3课时利用勾股定理作图与计算 基础过关 1.A2.(-1,0)3.C4.AC5.606.20 能力提升 7.D8.D9.A10.解：连接BD.由题意可知a=AB,b=BC2,c=CD,d=AD.在 Rt△ABD和Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=AD2十AB=CD+BC,即a十d=b +c..a+d=12,∴.b+c=12. 大单元整合练利用勾股定理在数轴上表示实数【回归教材·落实课标】 任务活动1：解：如图，点E和点F即为所求 21.12时 任务活动2：解：在Rt△ABC中，AC=√2+1严=√2，同理得AD=√(2)2+1=√5， AE=√(W3)2十1=2，AF=√22+1下=√5.由题意知AP=AF=5..点P表示的数 为-5. 任务活动3：(1)解：如图，点P即为所求. (2)W5-1 3210123 任务活动4：解：(1)√2 -√2 ①4 (2)①如图③所示 ②如图④420十立，点A表示-3十 图③ 图④ √5，点B表示-0.5..-0.5>-3十√5. 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·广西热点】 1.62.子3.解：过点A作AD1BC交BC的延长线于点D.在R△ABD中，由勾股 定理，得AD=AB-BD.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC-CD..AB -BD=AC-CD,即202-(7+CD)2=15-CD.∴.CD=9.∴.AD=√/AC-CD =12.即点A到BC的距离是12.4.D5.B6.D7.C8.A9.310.1.5m 11.3.7512.解：设木杆断裂处B离地面的高度AB为xm,则BC=(16-x)m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB十AC=BC,即x2十8=(16-x)2,解得x=6.答： 木杆断裂处B离地面的高度AB为6m.13.解：设BE=xkm,则CE=BC-BE= (16-x)km.AB⊥l,DC⊥l,.∠ABE=∠DCE=90°..EA2=AB2+BE,ED2= CD十CE.调运站E到A,D两个村庄的距离相等，∴.EA=ED.∴AB十BE=CD 十CE,即82十x2=122十(16-x)2,解得x=10.5..BE=10.5km.答：此时调运站E 到村庄B的距离为10.5km. 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 基础过关 1.A2.解：(1)因为a2=676,b2=100,c2=576,所以b2十c2=a2.所以此三角形是直角 三角形，∠A是直角.(2)因为a2=4,b=3,c2=7,所以a2十b2=c2.所以此三角形是直 角三角形，∠C是直角.3.证明：由勾股定理，得AB2=22+32=13,BC=42十62= 52,AC=4+7=65,所以AB十BC2=AC.所以△ABC为直角三角形.4.B5.8 能力提升 6.B7.6和10（或15和17）8.解：(1)根据题意，得AB=√(8-2)+2-(-1) =35.(2)根据题意，得CD=√2-(-2)十(3-0)=5，DE= 第6页（共48页）专题一二次根式中常见的化简 类型1直接代入求值 名师点拨：直接代入求值时，先观察式子的特点，若 能运用乘法公式或运算律，可简化计算步骤，避免繁 琐运算 1.(1)当x=√/5-1时，求代数式(x-1)(x+3) 的值； (2)先化简，再求值：(a-√7)(a十√7)-a(a- 2),其中a=√5+1； (3)(教材P20复习题T6变式)已知a=√2+1， 求代数式(3-2√2)a2+(1-√2)a的值. 12数学N八年级下册 求值技巧【广西热点·回归教材】 类型2挖掘隐含条件求值 (一)巧用二次根式的双重非负性求值 2.若√Jx-1+√x十y=0,则x2025+y226的 值为 ( A.-1B.0 C.1 D.2 3.若a满足|2025一a|十√a-2026=a,则 a-2025的值为 () A.0 B.1 C.2025D.2026 4.(2025·百色田阳区期中)已知y=√2x一6+ √6-2x+4,求(x-y)2025的值. (二)巧用√a=|a化简求值 5.(2025·南宁武鸣区期末)已知0<m<10, 则化简√(m-10)的结果是 () A.m-10 B.m+10 C.-m+10 D.-m-10 6.实数a在数轴上的位置如图所示，化简 1a-1|+√(a-2)产的值为： 7.若a,b,c是△ABC的三边，则化简√(c一a一b)一 √(a+b+c)的结果是 类型3整体代入求值 (一)先化简，再整体代入求值 8.若x-y=√2十1，xy=√2，则代数式(x一1)· (y+1)的值为 () A.2√2+2 B.2√2-2 C.2√2 D.2 (二)活用乘法公式变形后，再整体代入求值 名师点拨：(1)完全平方公式(a士b)2=a2士2ab+b2 及其常见的变形： ①a2±2ab+b2=(a±b)2; ②a2+b=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)平方差公式(a十b)(a-b)=a2-b2的用途：常用 来分母有理化（消除分母中的根号）；其常见的变 形：a2-b2=(a十b)(a-b). 9.(教材P16习题T5变式)(2025·河池宜州 区期中)已知x=2√3-2，y=2√3+2. (1)求x十y和xy的值； (2)求式子x2-xy十y2的值. 后万求代数武+ 1 1 10.已知x= 3.xy十y2的值. 三)活用（√a)=a变形后，再整体代入求值 11.类比探究新趋势（教材P20复习题T5变 式)请阅读下列材料： 问题：已知x=√5+2，求代数式x2-4x一7 的值。 小明根据二次根式的性质：（√a)2=a,想到 了以下解题方法： x=√5+2，x-2=√5. 两边平方，得(x一2)2=（√5）2. .x2-4x+4=5. x2-4x=1. 把x2一4x作为整体代入，得x2一4x-7= 1一7=一6，即把已知条件适当变形，再整 体代入解决问题， 仿照上述方法解答下列问题： (1)【一题多解】已知x=√10-3，求代数式 x2+6x-8的值； （2儿知=5，求代数式2+3的值。 第十九章二次根式13 数学活动 纸 【项目素材】如图，按照国际标准，A系列纸为 长方形，其中A0纸的面积为1m,将A0纸沿 长边对折、裁开，得到两张A1纸；将A1纸沿 长边对折、裁开，得到两张A2纸；将A2纸沿 长边对折、裁开，得到两张A3纸…将An纸 沿长边对折、裁开，得到两张A(n十1)纸. A2 A4 A3 【初步探究】查阅资料知纸张的规格如下： 规格 A0 A1 A2 A3 A4 长/mm 1189 841 594 420 297 宽/mm 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.42 1.41 保留两位小数》 请计算A3,A4纸的长宽比，并填在上面表格 中，通过查阅资料，可知A系列纸的长宽比为 一个固定的无理数.请你猜想这个无理数为 【验证猜想】小明所在的研究小组通过折叠A4纸 的方式（如下图）找到了证明该猜想的方法，请你 借助该方法求出A4纸的长与宽的比值。 【进阶问】若A4纸的长为a,宽为b,将A4纸沿 长边对折、裁开，得两张A5纸，结合上面的验 14数学N八年级下册 张规格的奥秘 证结论，求A5纸长与宽的比值. 【类比归纳】A系列纸以 为固定长宽比， 沿长边对折后，新纸与原纸比例完全一致，仅 面积 、尺寸编号加1. 【拓展探究】不难发现：将一张标准纸(A4纸)按 如图所示的方式一次又一次对折后，所得的长 方形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD, AB=1,BC=√2，则第5次对折后所得标准纸的 周长是 第滨对 第2滨对插第3筑对折 【背景延伸】按国际标准，复印纸幅面规格分为 A系列和B系列，前者更常用（比如日常办公、 打印、文档、书籍等)，后者多用于特殊场景（比 如海报、画册等). 【延伸探究】已知B4纸的尺寸为250mm× 353mm.B5纸是B4纸沿长边对折得到的.计 算B4纸和B5纸的面积，求出B4纸与A4纸、 B5纸与A5纸的面积的比值. 【归纳】尺寸编号相同的B系列纸的面积为A 系列纸面积的 倍.