19.1 二次根式及其性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）广西专版

第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 基础过关 >逐点击破 口能力提升 >◆整合运用 知识点1二次根式的概念 8.下列式子一定是二次根式的是 1.(2025·柳州期未)下列式子中，是二次根式 A.√-x-4 B.√x+2 的是 C.√x2-1 D.√x2+1 A.√x B.√-3C.-√2 D./8 9.已知x,y都是实数，且y=√x一3十√3一x十 知识点2二次根式有意义的条件及求值 4,则y的值为 2.(2025·防城港期中)若式子√Jx+3在实数 10.学科融合新趋势海浪的大小与风速和风压 范围内有意义，则x的取值范围是( 有很大的关系，用风速估计风压的通用公 A.x≤-3 B.x≥-3 U C.x<-3 D.x>-3 式为wp=1600,其中p为风压（单位： 3.半开放性题新趋势(2025·河南中考)请写出 kN/m),v为风速（单位：m/s),当风压为 一个使√/5一x在实数范围内有意义的x的 0.25kN/m时，估计风速为m/s. 值： 11.(教材P3练习T1变式)有一个长、宽之比 为5：2的矩形过道，其面积为10m. 4.当x=4时，二次根式√1+2x的值为 (1)求这个矩形过道的长和宽； 5.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围 (2)用40块大小相同的正方形地板砖刚好 内有意义？ 把这个过道铺满，求这种地板砖的边长. (1)√-a; (2)√4a+I; (3) a-1 知识点3二次根式的实际应用 6.已知一个正方体的表面积为12dm,则这个 正方体的棱长为 ) A.1dmB.√2dmC.√6dmD.3dm 7.某种合金板材的成本m与它的面积n2有如 下关系：m=,试用含m的式子表示n(n> 0),则n的值为 第十九章二次根式1 第2课时 二次根式的性质 【名师导学 预习先知 口基础过关 >逐点击破 新知梳理 知识点1 √a≥0(a≥0) 二次根式的性质： 1.当式子√2a+1取最小值时，a的值为 ①a 0(a≥0). A.0 c.-1 D.1 ②(Wa)2= (a≥0). B一 (a≥0)， 3a= 2.若√x十2+√/4-y=0,则xy的值为 (a0). 知识点2（√a)2=a(a≥0） ☑例题引路 【例1】计算： 3.计算（√2）2的结果为 (1)(7)2; (2)√5； A.2 B.4 C.-√2 D.-2 (3)(-2√3)2； (4)W(3-√10)2 4.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式： 【名师点拨】(1)(2)(4)直接利用性质： (1)5= ;(2)3.4= (Wa)2=a,√a2=|al;(3)用积的乘方 (3)1 ;(4)x= (x≥0). 计算. 【学生解答】 5.计算： (1)(√/17)2； (2)(2√7)2； 【例2】若-3≤x≤2，试化简√(x+3)+知识点3 √a=a √/2-10x+25= 6.化简√（一6）的结果是 ( 【名师点拨】先将被开方数x2一10x十 A.-6 B.±6 C.6 D.36 25因式分解，再把二次根式化简为绝 7.下列运算正确的是 对值的形式，然后去掉绝对值，合并同 类项 A.-√(-7)z=7 B.√2.12=2.1 【学生解答】 C.-√5=5 D.√32=±3 8.化简： 到易错典例 【例3】已知√2026-a是正整数，则整 (1)-√0.3； (2- (3)√(3-π). 数a的最大值为 【易错剖析】忽略条件√2026一a是正 整数，直接取√2026一a的最小值来计 算a的最大值. 【学生解答】 2数学N八年级下册 口能力提升 D A 整合运用 口思维拓展 ♪♪强化素养 9.若√(b-3)严=3-b,则b的取值范围是( 13.类比探究新趋势阅读下面的解题过程，体 A.b>3 B.b<3 会如何发现隐含条件并解答下面的问题 C.b≥3 D.b≤3 化简：（√2-3x)2-|1-x. 【变式题】要使√(x-4)=(√x-4)2成立， 解：由隐含条件2-3x≥0，解得x≤ .2 则x的取值范围是 ∴.1-x>0. A.x≤4 B.x=4 .原式=(2-3x)-(1-x)=2-3.x-1+ C.x≥4 D.-4≤x≤4 x=1-2x. 10.已知x,y是实数，3x+4与(y-3)互为 【启发应用】 相反数，则xy的值是 (1)按照上面的解法，试化简√(x一π)严 A.4 B.-4 c D.-9 (√3-x)2; 11.(教材P5习题T9变式)(1)若√8-x为整数， 【类比迁移】 x为正整数，则x的值是 (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化 (2)(2025·百色田阳区期中)若√J18n是一个 简：√a-√(a+b)z-lb-al; 整数，则n的最小正整数的值是 a 06 12.计算： (3)已知a,b,c为△ABC的三边长，化简： 号)+号； √/(a+b+c)z+√/(a-b-c)z √(b-a-c)z+√（c-b-a)z. (2)(-25)2-V-3+3（-7) 第十九章二次根式3参考答案 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 基础过关 1.C2.B3.0(答案不唯-)4.35.解：(1)由-a≥0，得a≤0.(2)由4a十1≥0，得 1 a-1≥0， a≥-.(3)由 √a-1≠0， 得a>1.6.B7.V2m 能力提升 8.D9.410.2011.解：(1)设这个矩形过道的长为5xm,宽为2xm.根据题意，得 5x·2x=10,解得x=士1.：x不能为负数，x=1..5x=5,2x=2.答：这个矩形过 道的长为5m,宽为2m.(2)设这种地板砖的边长为ym,则40y=10“y=子 弥y=士 2,·y不能为负数，y=之，答：这种地板砖的边长为2m. 第2课时二次根式的性质 新知梳理 ①≥②a Ba -a 例题引路 【例1】解：(1)原式=7.(2)原式=5.(3)原式=(2√5)2=22×（√3）2=4×3=12.(4)原 式=|3-√101=√10-3.【例2】8 易错典例 她 【例3】2025 基础过关 (4)()25.解：(1) 封 1.B2.-83.A4.(1)(W5)2(2)(√3.4)2 () 原式=17.(2)原式=4×7=28.(3)原式=号.6，C7.B8.解：1)原式=-0.3. (2)原式= 4=4 。(3)原式=|3-π=π-3. 架 能力提升 9.D【变式题C10.B11.(1)4或7或8(2)212.解：(1)原式= 91-9+1号2)原式=2-3+3x =22×(5)2-3+1 =4×5-3+1=20-3+1=18. 思维拓展 线 13.解：(1)由隐含条件3-x≥0，解得x≤3.∴x一π<0..原式=-(x-π)-(3-x)= -x十π-3十x=π-3.(2)由数轴得隐含条件a<0,b>0,a>b1,.a十b<0,b-a> 0..∴.原式=|a一a十b一b一a=一a十a十b一b十a=a.(3)由三角形的三边关系得 隐含条件a十b十c>0,a-bc,b-a<c,c-b<a,∴.a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a <0.∴原式=|a+b+c+|a-b-c-|b-a-c|+|c-b-a=(a十b+c)-(a-b- c)+(b-a-c)-(c-b-a)=a+b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a=4b. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 新知梳理 ①√ab@a·b 例题引路 【例1】解：0原式=6x3=尽X2=3E.(2)原式=2√8x=2×2=4 【例2】解：(1)原式=√/3×10=√5×√/102=10√5.(2)原式=√3×2·x2·y= 23xy. 第1页（共48页） 基础过关 1.B2.D3解：10原式=V5X20-V00-10.(2)原式-√分×42-瓜.(3)原 式=5√含×10=5V历=25.(4)原式=-3×2×VX1西=-6X5x5- -150.4.A5.A6.解：(1)原式=√16X√49=4×7=28.(2)原式=√25×10= W√25×√10=5√10.(3)原式=√12X27=√/12×√/27=√3X2×√3X3=2√× 3=18.(4)原式=√36·√·√y=6xy2. 能力提升 7.B860m9.-a一a510.解：1)原式=号×(-9)×√停×45=-6× V停×1x8=-5.(2)原式=√停×25×(-)=2×()× √×3x10=-6,11.解：当4=20f=1.2时，0=16√20X12=16/=326≈ 32×2.4495≈78.38(km/h).答：肇事汽车的车速大约是78.38km/h. 思维拓展 12.解：1)010=10×VT=V0x0.T=V而.@x√厂=-可： √=√=-.(2)-56=-V6×6=-V5x=-1, -6√5=-√6X5=-√36X5=-√180.√/150<√180，∴.-√150>-√180， 即-5√6>-6√5. 第2课时二次根式的除法 新知梳理 a 0W6 6 ③分母能开得尽平方的因数或因式 例题引路 【例】解：1)原式=√-√-.(2原式=√1合÷-√受×6=3.(3)原式 =2X3X(-1)×√14×7×2=-6√6 1 ,9=-6N6×6 9x=-7√6.【例2】解：1)原 式=尽=2.(2原式= 0.09_0.3_1 √/25 5 √0.360.62 基础过关 1.A2.C3.解：(1)原式=一 =-=-2.(2)原武=-×√5÷=- ×x写=-台×号=-）原式-√=45解：)原式 9 3 震吾（原式=停需-号原式=震需6D1第： (1)原式=√2×2=2 5X2=10 ，(2)原式=25=尽=-×2- 2√2√W2√2×√2 =.(3)原式= 3×2√10 2×05 610×√1030 能力提升 8c9.0<110262华11解：0原式=-号√受=-号√厚=-1 3 (2)原式=×4×号√612x-3v=18. 思维拓展 12.解：(1)两名同学的解法都正确.(2)答案不唯一，如：“√而=√分 /70=√70=b √万a -√-√-品而-总 /49×10 第2页（共48页） 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 新知梳理 最简二次根式被开方数 例题引路 【例11)v丽√E2)v@√层√厚【例2解：1)原式=3反+4厄=7E. (②)原式=4v5+8-59(3)原式=+4-号+万=号+56. 2 2 基础过关 1.D2.D3B4.1)0(2)555.解：1)原式=3 2 .(2)原式=2√丘+4 6石.(3》原式=2万-3万+5=-2y巨.(4)原式=43+125-205=-45. 3 3 6.4√67.16√/2 能力提升 8.C9.C10.311.解：(1)原式=(35+3√2)-(2√5-5√2)=3√5+3√2-2√5 +5√2=√5+8√2.(2)原式=2√3-√2-√3+2√2=√3+√2.(3)原式=3√3x+3× +2x·3延=3√3+√3π+2V3x=63x,12.解：V2+√27=25+ 3 33=53=√7(dm).9=√8I>√7，√27<2√12=√48,7=√49>√48，.能 够在这块木板上裁出一个面积为27dm2和两个面积均为12dm2的正方形木板. 思维拓展 13.解：1)原式=6×5-5×号-2厅+之×25=26-万-26+厅=0.2》设原 题中“■”的值是则a…誓-5×写-25+号×2后=5。后-25+5- 孕（宁一2）6-÷寸-2=子解得a号：原题中的值是号 第2课时二次根式的混合运算 例题引路 【例】解：(1)原式=√16+√24=4十2√6.(2)原式=4√5÷2√5-3√6÷2√5=2- 2,3)原式=(6=2=6-4=2.④原式=(23)-2X23×√2+(@ 46+2=14-46. 基础过关 1C2D4厄(2w53解：1原式-√4×号-√受×6=2-3=-1.(2原 式=(33-2√6+25)÷√5=(5√5-2√6)÷√3=5-22.(3)原式=18+6√6 66-12=6.(4)原式=45-35-√4m=1-20=-19.4.B5.1)6-42 √5 (2)-176.解：(1)原式=27+36√2+24=51+36√2.(2)原式=(3√7)-(5√2) =63-50=13. 能力提升 7.B8.C9.210.解：(1)原式=(3√3×3√6+4√2-4√2)÷√2=27√2÷√2=27. (2)原式=5-5√3+15-12=8-5√3.11.解：剩余部分的面积为(2√6+√5)×(2√6 -√5)-（√6-5）2=(26)2-(W5)2-[(6)2-2√6×√5+(W5)]=(24-5)-(6- 2√/30+5)=19-(11-2√30)=8+2√30. 思维拓展 √5-2 一=后-2=后-2.方法二：万+2 2.解：1)方法-万+25+2)×5-2)=4 1 1 5-4=5)-2-5+2)×5-2=5-2.(2)原式=[2-1)+(W5-2)+ √5+2√5+2 5+2 第3页（共48页）