6.3.1 平面向量基本定理 同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1平面向量基本定理同步训练 一、单选题 1．设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 3．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 5．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 6．已知在中，，若点满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）若是平面内的一个基底，则下面的四组向量中能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 三、填空题 12．在平行四边形中，，交于点，若，则 . 13．如图所示，在△OAB中，，，M，N分别是OA，OB上的点，且，.设AN与BM交于点P，用向量表示= 14．已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 四、解答题 15．如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 16．如图，在中，点M，N满足，（，），点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线．    (1)用，表示； (2)求的值． 17．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，，，设，.    (1)用，表示； (2)求； (3)若，，求实数t的值. 18．已知三角形中，， 为边上的高， 为边上的中线， 为的平分线，为边上的点 ． (1)求的长； (2)若 求的值； 19．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，假设.    (1)设向量，若与共线，求实数的值； (2)是否存在实数，使得与向量垂直，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 2．D 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 3．A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 4．A 【分析】利用向量的共线定理逐项判断即可. 【详解】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A 5．B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 6．B 【分析】根据向量的加法、减法运算以及数乘向量化简即可. 【详解】因，则， 因为的中点，则， 则． 故选：B． 7．C 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出. 【详解】由已知， . 故选：C 8．C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 9．ACD 【分析】根据平面向量基底的定义可逐一判断. 【详解】因为是平面内的一个基底，所以不共线， 对于A，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于B，因，所以与共线，不能作为基底； 对于C，因不共线，故与不共线，即可以作为基底； 对于D，因不共线，与不共线，所以可以作为基底.. 故选：ACD 10．AD 【分析】利用向量加法法则运算判断AB，先用加法法则求得，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD. 【详解】，故A正确，B错误； 因为， 所以 ，故C错误，D正确. 故选：AD. 11．AC 【分析】对于A，根据条件，利用几何关系得到，即可判断选项A的正误；选项B，先假设，从而可得，与题设条件相矛盾，即可判断选项B的正误；选项C，结合条件，利用向量的中线公式，即可求解；选项D，法一，设，根据条件，利用向量的线性质运算，再结合条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 12．/ 【分析】由三角形相似推出，利用平面向量基本定理将用线性表示，对照系数即得. 【详解】如图，中，，则与相似， 因，则， 故， 即，故. 故答案为：. 13． 【分析】先根据相似三角形求出点P在线段上的具体位置，再根据平面向量的加减法几何运算，用平面向量基底表示出目标向量即可. 【详解】 如图所示，作中点，连接，是得三等分点，则， 在中点为中点，点为中点，所以， 所以，因为，可得， 所以， 由， 故答案为：. 14． 【分析】根据平面向量的加减法结合平面向量基本定理列式计算求参即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 故答案为：. 15．(1)， (2)证明见详解 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【详解】（1）由平行四边形，可得; ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 16．(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法表示即可； （2）由三点共线的向量形式及题干条件得，又由（1）得，由平面向量的基本定理列方程求解即可； 【详解】（1）因为， 所以. 因为E为AD的中点，所以. （2）因为M，N，E三点共线，所以设. 因为，，，所以. 由（1）可知，则， 所以，所以. 17．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用表示出，即可得； （2）应用向量数量积的运算律求，即可得； （3）由，，再应用向量垂直及数量积的运算律列方程求参数值. 【详解】（1）； （2）由，，则，所以. （3）由，， 因为，所以，所以， 即，解得. 18．(1) (2)， 【分析】（1）首先根据角平分线性质将向量表示出来，然后将等式两边平方可求得结果. （2）首先用向量将向量表示出来，进而可求出 向量的表达式，利用垂直向量的数量积为0，即可求出的值. 【详解】（1）因为为的平分线，， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以. （2）根据题意知，，， 所以 因为 所以 又因为三点共线，则② 由①②可得： . 19．(1) (2)存在， 【分析】（1）根据题意，然后利用向量共线定理和平面向量基本定理列方程组求解即可； （2）结合数量积的运算律，根据向量垂直表示列式求解即可. 【详解】（1），若与共线， 则存在实数使得即， 由平面向量基本定理得：，解得，所以实数的值； （2）假设存在实数，使得与向量垂直，则有， 即 ，得， 所以，存在实数，使得与向量垂直. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $