第20章 勾股定理 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）贵州专版

第二十章综合评价 表 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 有一个选项正确) 1.下列各组数中，一定是勾股数的是 敏 A.9,40,41 B.√2，√2,2 C.5,4,√41 D.3k,4k,5k(k为整数) 2.已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则另一条直角边长为 A.1 B.√19 C.19 D.√29 弥3.在△ABC中，若AC-BC=AB,则 A.∠A=90 B.∠B=90° C.∠C=90 D.不能确定 4.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形 的面积为 A.5 B.25 C.27 D.5√2 5.下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是 封 A.三条边长之比为1：2：3 B.三边长满足a2=b2-c2 C.三条边长之比为1：1：√2 D.三角满足关系∠B十∠C=∠A 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√2，BC=1,分别以点A,B为圆 心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D,连接AD,BD,则△ABD的周 长为 ) A.3√5 B.3√5 C.3+√3 D.3√2 D 线 D B (第6题图) (第7题图) (第8题图) (第9题图) 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在边BC上，∠ADC=2∠B,AD= √5，则BC的长为 A.√5-1 B.W5+1 C.√5-1 D.√5+1 8.如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB长为 c5 半径画弧交网格线于点D,则ED的长为 A.√5 B.3 C.2 D.√/13 9.如图，在一个高为3m,长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度最 少为 ( A.4m B.5 m C.7m D.8 m 第1页（共6页） 10.如图，在正方形网格中有线段AC,BC,点A,B,C在网格的格点上，则 ∠1+∠2的度数为 ( ) A.35° B.45° C.55 D.659 B D (第10题图) (第11题图) (第12题图) 11.如图，在△ABC中，BC=2BD,AD=3,AC=2√10，∠BAD=90°，则AB 的长为 A.3 B.2√2 C.2 D.√5 12.如图，正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1,以CD为斜边作等腰直 角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面 积记为S2…按照此规律继续下去，则Sn的值为 ( A() B(合) c() D() 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.在平面直角坐标系中，点P(一1,3)到原点的距离是 14.如图①，由五个边长为1的小正方形组成的卡纸，可以将它剪拼出一个 大正方形，如图②所示，则这个大正方形的边长为 D C 图① 图② B AM (第14题图) (第15题图) (第16题图)》 15.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔ) 一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开两扇门(AD和 BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸)，两扇门 间的缝隙CD为2寸，AD=BC=AO=BO,那么门的宽度，即AB的长 为 寸 16.如图是一个无盖的长方体盒子，长AB为9cm,宽BC为3cm,高CD为 5cm,点M在棱AB上，并且AM=3cm.一只蚂蚁在盒子内部，想从盒 底的点M爬到盒顶的点D,则蚂蚁要爬行的最短路程是cm. 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17.(本题满分12分)(1)如图，已知在△ABC中，AB=12,AC=10,BC边 上的高AD=8,求BC边的长； B D 第2页（共6页） (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,边BC上的中线AD长为13，求 边BC的长. D 18.(本题满分10分)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长 都为1. (1)求△ABC的周长； (2)求证：∠ABC=90°. 19.(本题满分10分)某市准备在铁路AB上修建火车站E,以方便铁路AB 两旁的C,D两城的居民出行.如图，C城到铁路AB的距离AC=20km,D 城到铁路AB的距离DB=60km,AB=100km,经市政府与铁路部门协商 最后确定在到C,D两城距离相等的E处修建火车站，求AE,BE的长. 20.(本题满分10分)如图，在由边长为1的小正方形组成的3×6的网格 中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作图，使得所作图形的顶点 均在格点上. (1)在图①中画以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC; (2)在图②中画线段DE,使得DE=2√5，连接DF,判断△DEF的形状 并说明理由， 图① 图② 第3页（共6页） 21.(本题满分10分)如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E 在BC上，AE∥DC.若AE平分∠BAC,AD=4,BC=9. (1)求CE的长； (2)求△ABE的面积. D B E 22.(本题满分10分)劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分.如图， △ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路AD将场 地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到AB= 13 m,AC=15 m,AD=12 m,BD=5 m. (1)请判断小路AD是否与BC垂直，并说明理由； (2)求劳动场地△ABC的面积. 第4页（共6页） 23.(本题满分12分)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港. (1)求A,C两港之间的距离；（结果精确到0.1，参考数据：√2≈1.41， /3≈1.73) (2)试确定C港在A港的什么方向. B 24.(本题满分12分)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB 三段，若以AM,MN,NB为边的三角形是直角三角形，则称点M,N是 线段AB的“勾股分割点”. AM N B (1)若AM=2,MN=4,BN=2√3，则点M,N是线段AB的“勾股分割 点”吗？请说明理由， (2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直角边.若 AB=12,AM=5,求BN的长. 第5页（共6页） 25.（本题满分12分)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 如图①是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为a,b,斜边为c的全等直 角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理.思路是大正方形的 面积有两种求法，一种是等于2，另一种是等于四个直角三角形与一个 小正方形的面积之和，即2a6×4十(6-a)P,从而得到等式c2=2a6× 4十(b-a)2,化简便得结论a2+?=c2.这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”. 【方法理解】如图②，在边长为1的小方格中，A,B,C,D均为格点（网格 线的交，点)，则正方形ABCD的面积S正方形ACD= 【方法运用】如图③，对任意符合条件的Rt△BAC,绕其锐角顶点A逆时 针旋转90°得到Rt△EAD,∠BAE=90°，连接BE,延长DE,BC,交于点 F,易知四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积 相等，四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根 据图形写出一种证明勾股定理的方法， 【方法迁移】 如图④，在△ABC中，BD是AC边上的高，AB=4,BC=8,AC=10,求 线段BD的长度 医命小 图① 图② 图③ 图④ 第6页（共6页）24.2数据的离散程度 第1课时离差平方和和方差 基础过关 1.C2.B3.8164.B5.C 能力提升 6.D7.A8.解：(1)77(2)z华=8+6+7+8+9+10+6+5+4+7=7. 10 7+9+8+5+6+1+7+6+7+8-1.学=0×[(4-7)+(6-7+2×(6-7)+2X(7 10 -7)'+2×(8-7)2+(9-7)2+(10-7)]=3.s3=0×[(5-7)+2×(6-7)2+4×(7 -7)2十2×(8-7)2十(9-7)门=1.2.(3)小亮投进篮框的次数更稳定.理由如下：：s华> ,∴小亮投进篮框的次数更稳定. 第2课时方差的应用 基础过关 1.A2.B3.B4.甲 能力提升 5.C6.解：(1)78(2)八(3)综合上表中的统计量，八年级的中位数、众数都比七年级 高，说明八年级家长对课后延时服务较为满意，因此，应该给八年级的老师颁奖， 24.3数据的四分位数 新知梳理 ②第一第二第三下上 例题引路 【例】解：(1)将甲组的成绩从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100，Q2= 89+91=90,Q=70,Q=96.(2)如图所示 2 96100 -----------(3)根据箱线图和四 9390 80 70 60 甲组 乙组 分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩的波动明显比乙组的波动大 基础过关 1.A2.C3.D4.D5.甲地 能力提升 6.C7.B8.C 思维拓展 9.解：(1)将B团队负责经营的12项理财产品的收益率（单位：%）按从小到大排列为3.18， 3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91,3.99,4.10,4.15,4.21,4.44,.a= 3.60+3.67=3.635, 2 6=410十4.15=4.125.(2)补全B团队的箱线图，如图所示.收益*/% 2 的 6 5 4.89 4.44 0 3 2.02 3.189 2山 A团队 B团队 过箱线图可知，A团队产品收益率的中位数与B团队的几乎相等，故可知两个团队的经营 效益基本一样，但A团队的产品收益率明细比B团队的收益率的波动性大，即B团队的经 营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择B团队的理财产品更合适. 24.4数据的分组 例题引路 【例】解：01818606,6<18<42，∴.按第3个间隔分组时，组内离差平方和最 小..按组内离差平方和最小的分法为{15,15,18}和{24. 基础过关 1.D2.4163.74.解：第一种：21,4,8,10,12.(2-2)=0,4十8+10+12=8. 4 第25页（共48页） 5,则(4-8.5)2+(8-8.5)2+(10-8.5)2十(12-8.5)2=35，∴.0十35=35：第二种：{2,4}， 48,10,121.:24=3,则(2-3)+(4-3=2,8+10+12=10，则(8-10+（10-10) 2 3 +12-10=8,2+8=10:第三种：24,81,10,12.：2+4+8-兰则(2-兰)十 3 (4-号)+(8-号)=9,10士12=11，则10-1)+12-10=2的+2=号第 2■ 四种：{2,48,101,121.：2+4+8+10=6，则(2-6)+(4-6)2+(8-6)十10-6)= 4 40.12-12)2=040十0=40.10<2<35<40第二种组内离差平方和最小.分 3 成的两组是{2,4}，{8,10,12. 能力提升 5.C6解：(1)0.3733(2)对.理由如下：将6个数据由小到大排序：7.4,7.5,7.7,8.3， 8.8,9.1.第一种：{7.4，{7.5,7.7,8.3,8.8,9.1.组内离差平方和为1.888；第二种：{7.4， 7.5},{7.7,8.3,8.8,9.1}.组内离差平方和为1.1325；第三种：{7.4,7.5,7.7}，{8.3,8.8， 9.1}.组内离差平方和为0.3733：第四种：{7.4,7.5,7.7,8.3}，{8.8,9.1.组内离差平方和 为0.5325；第五种：{7.4,7.5,7.7,8.3,8.8}，{9.1}.组内离差平方和为1.412；0.3733< 0.5325<1.1325<1.412<1.888,.第三种：{7.4,7.5,7.7}，{8.3,8.8,9.1}组内离差平方 和最小，即组内水平差距最小. 思维拓展 7.解：(1)858070(2)七年级学生掌握春节文化知识较好.理由如下：七年级和八年级 学生成绩的平均数相同，但七年级学生成绩的方差小于八年级学生成绩的方差，所以七年 级学生掌握春节文化知识较好.（答案不唯一，合理即可）(3)将75,80,85,85,100分成三组，有 以下6种情况。 第一组 第二组 第三组 组内离差平方和 75 80 85,85,100 150 75 80,85 85,100 125 75 80,85,85 100 16.7 75.80 85 85,100 125 75,80 85,85 100 12.5 75,80,85 85 100 50 由表可知，当分成的三组分别为{75,80》，{85,85}，{100时，组内离差平方和最小. 第二十四章 章末复习 思维导图 中间最多大小 考点整合 1.B2.D3.C4.45.46.解：(1)87(2)甲平均数(3)甲队员的射击成绩为： 6,7,7,8,8,8,8,9,9,10,故甲队员成绩的中位数为8十8=8环，甲队员成绩的众数为8环 2 甲=6十7×2+8X4十9X2+10=8.补全丙队员的成绩如图。s数 (答案不 10 910成绩/环 唯一).此时丙队员10次成绩的众数为9.中位数为9牛9 2 =9.x丙= +7+7+8十9十9+9+9+9+10=8.3，均大于甲队员，符合题意，7.A8.D9.B 10 10.C11.(1)0.54.75.24.726.7(2){12,13}和{15,16,18} 聚焦课标 12.解：任务1：12.511.515任务2：①任务3：建议选择甲种小麦.理由如下：甲种 小麦苗高的方差约为7.609，乙种小麦苗高的方差为10,7.609<10，∴.甲种小麦更稳定 :甲种小发优质安苗频数为1，占比号，乙种小发优质麦苗频数为9，占比品片>品： ∴甲种小麦优质麦苗占比更高.故建议选择甲种小麦进行种植. 第26页（共48页） 综合评价答案 第十九章综合评价 1.C2.D3.D4.C5.B6.C7.B8.B9.C10.D11.D12.D13.√614.x= 2515.116.号17.解：1)原式=4÷2-2-1=2-2-1=1-反.(2)原式=4x2-5 -4x2十8x=8x-5.当x=√3+1时，原式=8×（√3+1）-5=8√3十8-5=8√3+3. 18解：1-(2)原式=2+2+1-√层=2+2+1-9=3+号19.解：1)设 这个长方体的长、宽、高分别为3acm,2acm,acm.根据题意，得3a·2a=48.解得a=2√2 (负值已舍去)..这个长方体的长，宽、高分别为62cm,4√2cm,2√2cm.(2)这个长方体 的表面积为2×(6√2×4√2+6√2×2√2+42×2√2)=176(cm):这个长方体的体积为 6√2×4√2×2√2=96√2(cm3).20.解：设原正方形场地的边长为xm.根据题意，得x2= 400,∴.x=20.(负值已舍去).原正方形场地的周长为20×4=80(m).∴.围建原正方形场 地的铁栅栏的总长为80m,设新长方形场地的长为5ym,宽为3ym.根据题意，得5y·3y =300,解得y=2√5.（负值已舍去）∴.新长方形场地的长为10√5m,宽为6√5m,.周长为 （10V5+6V同×2=325(m.:32V5<80∴这些铁棚栏够用.21.解：0D:x=四+ 吾-9誓…+g=四++四=mw=(年+)（四） 2 2 =(四)-()-头-子=1.2烟+y=mw-1①+w=y+ 0=1xm=m.@2+=-+22-2=11-2=. 22.解：(1)3√54√5(2)剩余木板的面积为(4√5-3√5)×3√5=15(dm).(3)剩余木板 的长为3√5dm,宽为√5dm,√5>2,3√5÷1.5≈4.∴.最多能截出4个这样的木条. 23.解：(1)隐含条件2-x≥0，解得x≤2，∴x-3<0,.原式=x-3|-(2-x)=-(x-3) -(2-x)=-x十3-2十x=1.(2)√(2-a)7=a十3，若a≥2，则a-2=a十3，显然不成 立，放a<22-a=a+3,解得a=-分”VaTT=a-6十1…a-6十1=1或0.当a -6十1=1时，解得6=一合，则a6=(-)×(-号)=子：当a-6+1=0时，解得6- 合，则ab=(号)×号=-子综上所述，6的值为或-24.解：1)2(2)：9< 13<16,∴.3<√13<4.√13的整数部分是a,小数部分是b.∴.a=3,b=√13-3，.a-b -√52=3-√13+3-2√13=6-3w13.(3)16<17<25,.4<17<5..8<4+ 17<9.4+√7=x十y,其中x是整数，且0<y<1,x=8,y=4十√17-8=√17- 4-=8-(V-4)=12-V.25,解：原式=X=2.(2原式 33X5 2+√3 √3+√2 (2-√3)(2+3)(W3-√2)(W3+√2) =2+3+√5+√2=2+23+√2.(3)√2026- √2025<√2025-√2024.理由如下：√2026-√2025=- 2026+V2025·V2023- 1 /2024= :√/2026+√2025>√/2025+√/2024>0， √2025+√/2024 1 1 ·√2026+√/2025V/2025+√/22 =,即√2026-√/2025<√/2025-√/2024. 第二十章综合评价 1.A2.B3.B4.B5.A6.A7.D8.A9.C10.B11.C12.B13./10 14.W515.10116.1017.解：(1)AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD 中，BD=√JAB-AD=√122-8=4W5.在Rt△ACD中，CD=√AC-AD= √10-8=6.∴.BC=BD+CD=45+6.(2):在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,边BC 上的中线AD长为13，.BD=CD,CD=√AD-AC=√132-12=5..BC=2CD=10. 18.(1)解：AB=√2+4=2√5，AC=√32+4F=5,BC=√+2=√5，∴.△ABC的周长 为2√5+5+√5=35+5.(2)证明：：AB+BC=20+5=25=AC2,∴.△ABC是直角三角 形，且∠ABC=90°.19.解：设AE=xkm,则BE=(100-x)km.根据题意，得CE=DE. .202十x2=(100-x)2+602,解得x=66.100-x=34..AE=66km,BE=34km. 20.解：(1)如图①，三角形ABC即为所求.(2)如图②，线段DE即为所求.△DEF是直角三角 形.理由如下：DE=25,EF=√十2=√5，DF=5,∴DE十EF=DF,∴.△DEF是直角三 第27页（共48页） 角形. D 21.解：(1).AE∥CD,.∠CAE=∠ACD.在 图① 图② ∠ACE=∠CAD △ACE和△CAD中，AC=CA, ∴.△ACE≌△CAD(ASA)..CE=AD=4.(2)过 ∠CAE=∠ACD, 点E作EF⊥AB于点F.:AE平分∠BAC,CE⊥AC,∴EF=CE.在Rt△AFE和 R△ACE中，{EF=EC, AE=AE, Rt△AFE≌Rt△ACE(HL).AF=AC.EF=CE=4,.BE =BC-CE=9-4=5.∴.在Rt△BEF中，BF=√/BE-EF=3.设AF=AC=x,则AB= AF十BF=3十x.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC十BC2,即(x十3)2=x2十92，解 得x=12,即AC=12.∴S△AE=号BE·AC=号×5X12=30.2.解：(1)AD1BC.理由 如下：：AB=13m,AD=12m,BD=5m,∴.AB2=169,AD2+BD=144+25=169,∴AB =AD+BD,∴∠ADB=90°，∴.AD⊥BC.(2)AC=15,AD=12,∠ADC=∠ADB=90, CD=V5-12=9m“BC=9十5=14m.∴.芳动场地△ABC的面积为号X14X12= 84(m).23.解：(1)由题意，得∠PBC=30°，∠MAB=60°，·∠CBQ=60°，∠BAN=30° .∠ABQ=30°..∠ABC=∠CBQ+∠ABQ=60°+30°=90°.：AB=BC=10km,.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√/AB+BC=√/102+10=10√2≈14.1(km).答：A,C 两港之间的距离约为14.1km.(2)由(1)，得△ABC为等腰直角三角形，∴.∠BAC=45. .∠CAM=∠MAB-∠BAC=60°-45°=15°..C港在A港的北偏东15°方向上. 24.解：(1)是.理由如下：AM=2,MN=4,BN=25,∴Af十BN2=2+(23)2=16, MN=4=16.,.Af+BN2=MN..以AM,MN,BN为边的三角形是直角三角形. ∴点M,N是线段AB的“勾股分割点”，(2)设BN=x.,AB=12,AM=5,.MN=12-5 -x=7-x.①当MN为斜边时，由题意，得MN=AP十BN2,即(7-x)2=x2+25,解得x -号.②当BN为斜边时，由题意，得BV=AF+MN,即r=25十(7-x),解得x 9综上所述，BN的长为号或.25.解：【方法理解】13【方法运用】根据题意，得 Sm=的.5sm=5ae中5m=合女+合(a+06-a)-子+宁-子 由题意，得正方形ACFD的面积和四边形ABFE的面积相等，则之十士：一合c=:,即 a+6=c2.【方法迁移】设AD=x,则CD=10-x.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= AB-AD=4-x2.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=BC2-CD=8-(10-x)2.则 --0-,辉得r=号D-V-(侣)= 5 阶段综合评价（一） 1.B2.B3.A4.A5.D6.A7.B8.B9.B10.C11.A12.B13.<14.1 15.216号17.解：1原式=4×÷5万=3÷5反-3(22x=6v万-3v反.2z 10 =3V厄.x=3y 2· 18.解：由题意可知∠AOB=90°，AC=AB.A(-6,0),B(0,8),∴.OA =6,OB=8.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√OA+OB=√/62十8=10.∴.AC= 10..OC=AC-OA=10-6=4..点C的坐标为(4,0).19.解：对x= 1进行分母有 5-2 理化，得x=5+2.∴x-2=厅+2-2=5.：原式=一2)+1=⑤)+1_6-65 x-2 √5 w55 20.解：(1)12(2)a:b=3:4,∴.设a=3x,b=4x.又：∠C=90°，.a2+62=c2..(3x) +(4x)2=152,x2=9.x=3(负值已舍去)..a=9,b=12.21,解：E=2m, :1250=专X50X,。=而-=5vm/.第完100n所用的时间为0号-10E(s. 答：该运动员的跑步速度为5√2m/s,跑完100m所用的时间为10√2s.22.解：BD2+ AD=62+82=100,AB=102=100,.AD2+BD=AB,∴△ADB为直角三角形，且 ∠ADB=90°.∴.∠ADC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=√JAC-AD= 7-8=15.BC=BD+CD=6+15=21.Sac=合BC·AD=2×21X8=84. 23.解：连接AC.由题意，得∠ABC=90°，AB=30m,BC=40m,CD=120m,AD=130m, .AC=√/AB+BC=√30+40产=50m.在△ACD中，AC十CD=AD2=16900, 第28页（共48页） ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90.∴口袋公园的面积=Sac十Sam=号×30X40十 子×50X120=360(m).24.解：1D△ABC不是直角三角形，△4CD是直角三角形.理由如 下：.AD3=5+12=26,AC=2+32=13,CD=22+3=13,∴.AC+CD=AD,∴.△ACD是 直角三角形，且∠ACD=90°..AC=13,BC=12+22=5,AB=42=16,.AC+BC”≠AB, .△ABC不是直角三角形.(2)由(1)知，∠ACD=90°.AC=CD=13,.AC=CD=√3. △ACD是等腰直角三角形，∠ADC=45°.(3)选2,2√2，√10，如图， D △DEF即为 所求作的三角形（△DEF的位置可以不同）.25.解：【基础应用】一23【进阶拓展】由(1十 √2)a+(1-√2)b+c=0,得a+√2a+b-√2b+c=0,∴.(a-b)W2+a+b+c=0,∴.a-b=0,a+b+c =0,∴.2a十c=0,即c=-2a.【实际应用】由勾股定理，得(W5+2)十a2=(W5b十c),整理，得(2k 4)W5+5b+c2-a2-9=0.∴.2bc-4=0.∴.x=2. 第二十一章综合评价 1A2.C3.C4.B5.A6.D7.C8.A9.C10.D11.C12.C13.不稳定14.30 1点.5016,217.1)解：设这个多边形的边数为m根据题意，得180(n一2)×子=360+90，解得 n=12.答：这个多边形的边数为12.(2)：D,E,F分别是Rt△ABC三边的中点DE=号AB, CF=令AB.∴DE=CR.:DE=4cm,CF=4mI8证明：四边形ABCD是菱形，∴AB= CB,∠BAE=∠BCF,AD=CD.由作图可知DE=DF,∴.AD-DE=CD-DF,即AE=CF.在 AB=CB, △ABE和△CBF中，∠A=∠C,∴.△ABE≌△CBF(SAS)..BE=BF.19.解：(1)四边形 AE=CF, ABCD是矩形，AB=8cm,BC=10cm,∴·∠B=90°，AD=BC=10cm.由折叠得AF=AD=10cm ∴.BF=√/AF-AB=√/10-8=6(cm).∴.FC=BC-BF=10-6=4(cm).∴.FC的长为4cm (2)设DE-xcm.:四边形ABCD是矩形，AB-8cm,.DC=8cm,∠C=90°.由折叠的性质，得 FE=DE=xcm∴.EC=(8-x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定理，得(8-x)2十42=x.解得x= 5.DE的长为5cm.20.(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD=BC (∠D=∠ECF, ∴.∠D=∠ECF.在△ADE和△FCE中，DE=CE, .△ADE≌△FCE(ASA). ∠AED=∠FEC, (2)解：：△ADE≌△FCE,∴.AD=FC.AD=BC,FC=BC..BF=BC+FC=2BC :AB=2BC,AB=FB.∴∠BAF=∠F=36°..∠B=180°-2∠F=180°-2×36°= 108°.21.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC,AB=CD.∴.∠OEB= ∠OEB=∠ODC, ∠ODC.又：O为BC的中点，∴.BO=CO.在△BOE和△COD中∠BOE=∠COD, BO=CO, .△BOE≌△COD(AAS)..OE=OD..四边形BECD是平行四边形.(2)90100 22.(1)证明：.∠ACB=90°，.AC⊥BC..DE⊥BC,∴.AC∥DE..四边形ABCD是平行 四边形，点E在BC的延长线上，∴.AD∥CE,四边形ACED是平行四边形.：∠ACE= 90°，.四边形ACED是矩形.(2)解：，四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边 形，.AE=CD=AB,AF=EF,AD=CE=CB=3.∠ABC=60°，.△ABE是等边三角 形.BFLAE,AB=AE=BE=2CE=2X3=6.:在△ABF巾，∠AFB=90°，AF=合AE= 之×6=3，由勾股定理，得BF=VAB-AF=√-了=3尽，BF的长是3厅. 23.解：(1)选①②作为条件，③作为结论：若BE=CF,AE=HF时，则AE⊥HF,为真命题： 选①③作为条件，②作为结论：若BE=CF,AE⊥HF时，则AE=HF,为真命题；选②③作 为条件，①作为结论：若AE=HF,AE⊥HF时，则BE=CF,为真命题.(2)选①②作为条 件，③作为结论：若BE=CF,AE=HF时，则AE⊥HF.证明如下：四边形ABCD是矩形， B∠C=90,在R△ABE和R△HCF中，(AEE,二R△ABE≌R△HCFI ∴.∠BAE=∠CHF.在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，则∠CHF+∠AEB=90°. .∠HGE=90°..AE⊥HF.24.(1)证明：F是BD的中点，.DF=BF.又CF=EF ∠CFD=∠EFB,·△CDF≌△EBF(SAS).∴.CD=BE,∠FCD=∠FEB.∴.BE∥AC. :∠ABC=90,BD是△ABC的中线，BD=号AC=AD=CD,BE=CD=AD,四边 形AEBD是平行四边形.：BD=AD,∴.四边形AEBD是菱形.(2)解：连接ED.:BE∥ AC,CD=BE,.四边形BCDE是平行四边形..DE=BC=8.AD=BE=5,BD是 △ABC的中线，.AC=2AD=2×5=10.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√/AC-BC =0-8=6.∴S爱m=AB·DE=X6X8=24,25.解：(1)四边形BEFE是 第29页（共48页） 正方形.理由如下：将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△CBE,.∠AEB= ∠E=90°，BE=BE,∠EBE=90°.又：∠BEF=180°-∠AEB=90°，.四边形BEFE是 正方形.(2)CF=EF.证明如下：过点D作DH⊥AE于点H.:DA=DE,DH⊥AE,∴AH =号AE,∠ADH+∠DAH=90.:四边形ABCD是正方形.AD=BA,∠DAB=S0, ∠ADH=∠BAE, ∠DAH+∠BAE=90°，∴.∠ADH=∠BAE.在△ADH和△BAE中，∠AHD=∠BEA=90°， AD-BA, “△ADH≌△BAE(AAS).·AH=BE=号AE.:将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转 90得到△CBE,.AE=CE.BE=号CE.由(1)，得四边形BEFE是正方形，BE= EF.EF=CE.∴CF=EF,(3)DE的长为3T.[解析：过点D作DHLAE-于点 H.同(2)可证△ADH≌△BAE.∴.AH=BE=BE=9,DH=AE.在Rt△ABE中，根据勾 股定理，得AE=√/AB-BE区=12.EH=AE-AH=12-9=3.在Rt△DHE中，根据勾 股定理，得DE=√DH十EH=√122+3=3√7列 阶段综合评价（二）[期中] 1.C2.B3.A4.D5.C6.B7.B8.A9.A10.A11.B12.C13.√3 4,2元15,3+3616.2217.解：1)原式=V24÷3√号×18+42=22-3中 2=6V2-3.(2):x十y=25,xy=4,∴x2-xy十y2=(x十y)2-3xy=(25)2-3×4= 20一12=8.18.解：(1)如图①，△ABC即为所求作的三角形.（答案不唯一）(2)如图②， △DEF即为所求作的三角形.（答案不唯一） (3)在Rt△ABC 图① 图② 中，AC=√3+不=5，设直角三角形斜边上的高为，则之AB·BC=合AC·水h= ABCC-3x=号 AC 19.(1)证明：：OC=OA,OD=OB,四边形ABCD是平行四边 5 形.四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴BD⊥AC,.四边形ABCD是菱形 (2)200√520.解：由题意知，MN⊥AB,∴.∠BNM=∠ANM=90°，在Rt△BMN中，根据 勾股定理，得BN=√BM-MVN=√752-60=45(m).∴.AN=AB-BN=125-45= 80(m).在Rt△AMN中，根据勾股定理，得AM=√AN+MW=√80+60=100(m).∴.AM 十BM=100十75=175(m).即供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为175m, 21.解：(1)长方形空闲地块ABCD的周长为2×(8√2+5√2)=26√2(m).(2)通道的面积为 8√2×5√2-2×（√13+1）×（√13-1）=80-2×12=56(m).则购买地砖的花费为56× 50=2800(元).22.证明：(1)：D,F分别是AC,BC的中点，DF是△ABC的中位线， DF=AB.:点E是AB的中点，∠ACB=90,CE=合AB.CE=DR.(2):D,E 分别是AC,AB的中点，DE是△ABC的中位线，.DE∥BC,DE=号BC.:F是BC的 中点，CF=号BC=DE.“四边形CDEF是平行四边形.又：∠DCF=9O,四边形 CDEF是矩形.23.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.BA∥DC,BA=DC. ∠BAF=∠E, .∠BAF=∠E..'CE=DC,.BA=CE.在△ABF和△ECF中，∠AFB=∠EFC BA=CE, .△ABF≌△ECF(AAS)..BF=CF.(2)解：AB∥OF,AB=2OF.证明如下：四边形 ABCD是平行四边形，∴.AO=CO.由(1)得BF=CF,.OF是△ABC的中位线..OF∥ AB,且OF=号AB.∴AB/OF,AB=20F,24.(I)证明：由图可知S方D=4SAm十 SE有em.:San=c,SaAB=之ab,正方形EFGH的边长为b-a,=4X合a山十 (b-a)2.整理，得a2+6=c2.(2)解：：∠AEB=90°，BE=3cm,AE=2cm,AM=BV=CP =DQ=2cm,∴.EM=AM+AE=4cm.∴.MB=√BE+EM=5(cm).易得CN=PD= AQ=MB=5cm.∴.“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为5×4十2×4= 28(cm).25.解：(1)BE=GHBE⊥GH(2)过点M作MG⊥CD于点G,如图②.则 ∠MGN=∠MGC=90,根据折叠可知MNLAA',AP=A'P=AA',AM=A'M,∠APM 第30页（共48页）