19.1 第1课时 二次根式的概念-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）贵州专版

第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 名师导学 预习先知 口基础过关 ◆◆逐点击破 。新知梳理 知识点1二次根式的概念 ①一般地，我们把形如 的式子1.下列式子中，是二次根式的是 ( 叫作二次根式，“ ”称为二次 A.元 B.√-3 C.-√2 D.8 根号. 知识点2二次根式有意义的条件及求值 ②Va(a≥0)既是一个二次根式，又表2.(2025·黔东南期末)若二次根式√一3有意义，则x的取 示a的算术平方根，所以，要使√a有 值范围是 ( 意义，Wa具有“双重非负性”，即a≥ A.x≥3 B.x>3 C.x>0 D.x≥0 0,√a≥0. 3.半开放性题新趋势(2025·河南中考)请写出一个使√5一x ☑例题引路 在实数范围内有意义的x的值：· 【例1】下列各式中，哪些是二次根式？ 4.当x=4时，二次根式√/1+2x的值为 (1)-4; (2)√a2+3: 5.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ (3)W5: (4)-8. 【名师点拨】根据二次根式的定义来 (1)√-a; (2)√4a+1；(3)1 Va-1 判断. 【学生解答】 【例2】已知y=√2-x+√x-2+5, 求工的值 V 【名师点拨】由二次根式有意义的条件 2-x≥0， 可知) 进而可求出x,y的值， x-2≥0， 然后代入便可求得工的值 2 知识点3二次根式的实际应用 【学生解答】 6.已知一个正方体的表面积为12dm,则这个正方体的棱 长为 ( A.1 dm B.√2dm C.√6dm D.3 dm 7.某种合金板材的成本m与它的面积n有如下关系：m= 2,试用含m的式子表示n(n>0),则n的值为 第十九章二次根式1 口能力提升 ◆♪整合运用 12.代数推理新趋势请判断是否存在整数a,使 8.下列式子一定是二次根式的是 ( 它同时满足下列条件： A.√-x-4 B.√x+2 ①二次根式√a一13和√20一a均有意义； C./x2-1 D.√x2+1 ②√a的值仍为整数； 9.已知x,y都是实数，且y=√一3+√3一x十 ③若b=√a,则√b也是整数. 4,则y的值为 若存在，请求出α的值；若不存在，请说明 10.学科融合新趋势海浪的大小与风速和风压 理由. 有很大的关系，用风速估计风压的通用公 2 式为wn=600,其中p为风压（单位： kN/m),v为风速（单位：m/s),当风压为 0.25kN/m时，估计风速为 m/s. 11.(教材P3练习T1变式)有一个长、宽之比 为5：2的矩形过道，其面积为10m. (1)求这个矩形过道的长和宽； (2)用40块大小相同的正方形地板砖刚好 口思维拓展 ◆◆强化素养 把这个过道铺满，求这种地板砖的边长 13.新定义新趋势任意一个无理数介于两个整 数之间，我们定义，若无理数T:m<T<n, (其中m为满足不等式的最大整数，n为满 足不等式的最小整数)，则称无理数T的 “麓外区间”为(m,n),如1<2<2，所以2 的麓外区间为(1,2). (1)无理数√/19的麓外区间是 (2)若b=√a-2+√4-2a-√7，求b的麓 外区间. 2数学I八年级下册参考答案 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 新知梳理 ①a(a≥0) 例题引路 【例1】解：(2)(3)是二次根式. 【例2】解：由已知，得{20：解得x=2,y=5,三=2 y 5 基础过关 1.C2.A3.0(答案不唯一)4.35.解：(1)由-a≥0，得a0.(2)由4a十1≥0，得a≥ 得a>1.6.B7.√2m a-1≠0， 能力提升 8.D9.410.2011.解：(1)设这个矩形过道的长为5xm,宽为2xm.根据题意，得5x· 弥2x=10,解得x=士1.：x不能为负数，x=1.∴5x=5,2x=2.答：这个矩形过道的长为 帐 5m,宽为2m(2)设这种地板砖的边长为ym,则40y=10“y=子y=士√厂 土号“y不能为负数，“y=之答：这种地板砖的边长为号m。12.解：存在.由条件①， 号公013二0：解得13<a≤20.整数a的取值可能为13,14,15,16,17,18,19,20. 合条件②的整数只有16，且16同时符合条件③，∴.a=16. 思维拓展 地 13.解：(1)(4,5)(2)：要使√a-2,√4-2a有意义，.a-2≥0,4-2a≥0，解得a=2.将 a=2代入b=√a-2+√4-2a-√7，得b=0+0-√7=-√7.：4<7<9，.2<√7<3， .-3<-√7<-2，∴b的麓外区间是(-3，-2). 第2课时二次根式的性质 新知梳理 ①≥②a3a-a 例题引路 【例1】解：(1)原式=7.(2)原式=5，(3)原式=(2√3)=2×(3)2=4×3=12.(4)原式= 0 13-√101=√/10-3.【例2】8 易错典例 【例3】2025 基础过关 1.B2.-83.A4.(1)(5)2 (2)(√3.4)2 (4)(√)25.解：(1)原式 =17.(2)原式=4×7=28.(3)原式=号.6.C7.B8.解：(1)原式=-03.(2)原式 5 一4 =5.(3)原式=13-π=元-3. 4 能力提升 9.D【变式题】C10.B11.(1)4或7或8(2)212.解：(1)原式= 引+ 9--号-号+1-号号2原式=25-3+8x号-2×-3+1=4x6 -3+1=20-3+1=18. 思维拓展 13.解：(1)由隐含条件3-x≥0，解得≤3.x一π<0..原式=-(x-π)-(3-x)=-x 十π-3十x=π-3.(2)由数轴，得a<0,b>0,|a>|b1,∴a十b<0,b-a>0.∴.原式=|a -|a十b1-|b-a=-a十a十b-b十a=a.(3)由三角形的三边关系得隐含条件a十b+c> 0,a-b<c,b-a<c,c-b<a,.a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0..原式=|a十b+c十 |a-b-c|-|b-a-c十|c-b-a|=(a十b+c)-(a-b-c)十(b-a-c)-(c-b-a)=a+ b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a=46. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 新知梳理 ①ab②√a·√石 第1页（共48页） 例题引路 【例】解：(1)原式=√6X3=√3×2=3瓦.(2)原式=2√8×=2×2=4. 【例2】解：(1)原式=√3X10=√X√/10产=10√3.(2)原式=√3X2·x2·y=2√5xy. 基础过关 1D2.D3解：1原式=V5X0=0=10.(2②)原式=√写×42=爪.(3)原式 5√号×10=5V历=25.(4原式=-3×2XVX1西=-6X5X对=-150.4A 5.A6.解：(1)原式=√/16×√49=4×7=28.(2)原式=√/25×10=√25×√10= 5√10.(3)原式=√12×27=√12×√27=√3×2×√3×3=2√5×3√3=18.(4)原式 =√36·√·√=6xy. 能力提升 7.B8.60m9.-a厂ad10.解：(1)原式=号×(-9)×√×45=-6× √厚x15x8=-45.(2)原式-√/×25×(-)-2×(-)×√×3x10 =-6.11.解：当d=20,f=1.2时，u=16√/20×1.2=16/24=32√6≈32×2.4495≈ 78.38(km/h).答：肇事汽车的车速大约是78.38km/h. 思维拓展 12.解：(1)1（答案不唯一）(2)①2X√5=√2X5=√10.②/3×√12=√3×12=√36= 6.(3)①√16X8I=√4X9=√36=36.②√16a6c=4bc√ac. 第2课时二次根式的除法 新知梳理 0√ eva ③分母能开得尽平方的因数或因式 例题引路 【1解：)式=√√写-(2)原式=√÷-√=8.(3)原式=2 49 3X(-DX14X7X2=6N6 49×6=-76. =-6W6×6 【例2】解：(1)原式= 拾-华原庆震器-分 √25 基础过关 1A2.C3.解：1)原式=-√号=-瓜=-2.(2)原式= 12 5 4 4.C5.解：(1)原式= T_ /121 /100 2)原式-√隔 -共④原式-爱 /5x2-0,(2)原式= 96 =%6.D7.解：1)原式=√×2 2 5-5X2=(3)原式=② √2×0=⑤ 2√2√2√2X2 3×2√106√10X√1030* 能力提升 8.C9.0≤x<110.2y5 3 11.解：1)原式= 号√=-号√厚=-1.2原式= 号×4x号√6x12x=3丽=18， ,3 思维拓展 12.解：1)两名同学的解法都正确(2)答案不唯一，如：而-√四== -√偶-√-品而=总 49 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 新知梳理 最简二次根式被开方数 例题引路 【例11)V2V(2)v压√后√停【例2】解：1)原式=3+4=7厄 (2)原式=4+3-万-(3)原式=+4-号+5-号+55 第2页（共48页） 基础过关 1.D2.D3B4.0(2)555.解：)原式-3.(2)原式-2F+4G=6E (3)原式=27-3V7+9=-25.（4)原式=45+125-205=-45.6.46 3 3 7.162 能力提升 8.C9.C10.311.解：(1)原式=(35+3√2)-(25-5√2)=35+3√2-25+5√2 =5+8.(2)原式=25-反-5+2反=5+2.(3)原式=3√3x+3×红+2x· 证=3/3+√3x+23=6√3z.12.解：应+√27=2B+33=55- x √/7(dm).:9=√8I>√/7，√27<2√I2=√48,7=√49>/48，∴.能够在这块木板上 裁出一个面积为27dm2和两个面积均为12dm的正方形木板. 思维拓展 13.解：（1)原式=6×5-5×5-26+号×2后=26-5-26+5=0.(2)设原题中 3 5 ■的值是a,则a…9-5×写-26+合×26-写a-5-26+6- 3 “(合a一2)6=.34一2=宁解得a=只.原题中■的值是号 第2课时二次根式的混合运算 例题引路 【1解：1)原式=5+V瓜=4+26.(2)原式=4万÷2疗-35÷2后=2-8号 (3)原式=(W6)2-22=6-4=2.(4)原式=(2√3)2-2×2√3×2+(W2)2=12-4√6+2= 14-4√6. 基础过关 1.C2.14E(2w后3解：原式-4x号-√层×6=2-3=-1(2)原式 (3√5-2√6+2√3)÷√3=(5√3-2√6)÷√3=5-2√2.(3)原式=18+6√6-6√6-12=6. （40原式=45-35-√400=1-20=-19.4.B5.1)6-42(2)-17 5 6.解：(1)原式=27+36√2+24=51+36√2.(2)原式=(3√7)-(5√2)=63-50=13. 能力提升 7.B8.C9.210.解：(1)原式=(33×3V6+4√2-4√2)÷√2=27√2÷√2=27.(2)原 式=5-5√3+15-12=8-5V3.11.解：剩余部分的面积为(2√6+5)×(2W6-5) (W6-√5)=(2V6)2-(W5)2-[(W6)2-26×√5+(5)]=(24-5)-(6-2√30+5)= 19-(11-2√30)=8+2√/30. 思维拓展 12.解：(1)①73 ②2965(2)： 1 n+2-m 9 25 √m+2+W元-（√n+2+√m)(√n+2- -叵，∴原式-合×-②)+×6-m+×-+… n+2-n 2 +×(2032-V2030)=之×(I-E+5-+-6++V208题-2080) ×(v哑-万4E-2m9 2 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【贵州热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(w5-1-1)(W5-1+3)=(W5-2)(5+2)=5-4=1. (2)a(a十2b)-2b(a十b)=a2+2ab-2ab-26=a2-26.当a=2+√5，b=√3时，原式=(2+ √3)2-2×(W3)2=4+4√5+3-2×3=1十43.(3)当a=√2+1时，原式=(3-2√2)(W2十 1)+(1-√2)(w2+1)=(3-2√2)(2+2√2+1)+(1-√2)(1+√2)=(3-2√2)(3+2√2) 十(1一√2)(1十√2)=9一8十1一2=0.2.D3.D4.解：根据二次根式有意义的条件，得 -解得=把=1代人=V7+8,0y=V7十了+8= 8,.(x-y)22s=(7-8)2025=(-1)228=1.5.C6.17.-2c8.C9.解：(1)：x= 3十5，y=3-√5，∴.x2-y=(x+y)(x-y)=(3+W5+3-W5)×(3+√5-3+W5)=6× 25=125.(2):x=3+5,y=3-5,∴xy=(3十5)×(3-5)=9-5=4. 10解+y后后万5十-+6历2， 1 5-√2 3+2 第3页（共48页）