第20章 勾股定理 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）陕西专版

第二十章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 是 第一部分（选择题 共24分) 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分每小题只有一个选项是符合题意的）》 1.下列各组数中，一定是勾股数的是 A.9,40,41 B.√2，√2,2 C.5,4,√41 D.3k,4k,5k(k为整数) 2.已知直角三角形的一条直角边长为9，斜边长为10，则另一条直角边长为 A.1 B.√19 C.19 D.√29 3.如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，其中较小的两个正方形的面积分别为 9,16,则正方形A的面积为 ( ) A.5 B.25 C.27 D.52 D (第3题图) (第5题图) (第6题图) 4.下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是 : A.三条边长之比为1：2：3 B.三边长满足a=b2一c2 C.三条边长之比为1：1：√2 D.三个角满足∠B十∠C=∠A 5.如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点 D,则DE的长为 ( A.√5 B.3 C.2 D.√13 6.如图，在一个高为3m,长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度最少为 A.4m B.5 m C.7 m D.8 m 7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为 EF,则△ABE的面积为 ) A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 (第7题图) (第8题图) (第10题图) 8.用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案如图所示.已知大正方形的面 积为49，小正方形的面积为4，x,y表示直角三角形的两直角边长(x>y),有下列四个说法： ①x2+y2=49;②x-y=2;③x+y=√94；④2xy十4=49.其中正确的说法是 ( ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 第二部分（非选择题 共96分) 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）》 9.在平面直角坐标系中，点P(一1,3)到原点的距离是 10.如图，∠BAC=90°，AB=AC=4,BD=7,CD=9,则∠ABD的度数是 第1页（共6页） 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,点D在边BC上，∠ADC=2∠B,AD=√5，则BC的长 为 DC B D 5-4-32-012345 (第11题图) (第12题图) 12.如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是一2，∠ACB=90°，BC=AC,以点A为圆 心，AB的长为半径画弧交数轴于点D,则点D表示的数是 13.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔ)一尺，不合二寸，问门 广几何.”大意是：如图，推开两扇门(AD和BC),门边缘D,C两点到门槛AB的距离为1尺 (1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，AD=BC=AO=BO,那么门的宽度(AB的长)为 寸. D C AM B (第13题图) (第14题图) 14.一个无盖的长方体盒子如图所示，长AB为9cm,宽BC为3cm,高CD为5cm,点M在棱AB 上，且AM=3cm.一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D,则蚂蚁要爬行的最 短路程是 cm. 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15.(本题满分5分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,边BC上的中线AD的长为13， 求边BC的长， D 16.(本题满分5分)如图，在△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,中线AD=12cm.求证： △ABC是等腰三角形. 第2页（共6页） 17.(本题满分5分)如图，在△ABC中，AB=12,AC=10,BC边上的高AD=8,求BC的长. 18.(本题满分5分)如图，一棵垂直于地面且高度为12的大树被大风吹折，折断处A与地 面的距离AC=4,树梢顶端B恰好碰到地面.在大树倒下的方向上的点D处停着一辆 小轿车，CD=7,树梢落地时是否会砸到小轿车？请说明理由. 19.(本题满分5分)如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，请用尺规在BC边上求作一点 D,使得BC=√2BD.(保留作图痕迹，不写作法) 20.(本题满分5分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=45°，AB=2√3，D是BC上一点， AD=√10，求CD的长. 第3页（共6页） 21.(本题满分6分)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=16,D是BC的中点，E是线段BD上 一点，连接AD,AE,AE⊥AC,求DE的长. 22.(本题满分7分)如图，某船从港口A出发，沿南偏东32°方向航行15nile到达B岛，然后沿 某方向航行20 n mile到达C岛，最后沿某方向航行了25 n mile回到港口A. (1)判断△ABC的形状. (2)该船从B岛出发到C岛是沿哪个方向航行的？请说明理由. 北 东 北 328 D B东 C E 23.(本题满分7分)如图，在△ABC中，BC=2BD,AD=3,AC=2√10，∠BAD=90°，求AB的长. D 第4页（共6页） 24.(本题满分8分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了 小聪灵感，他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时，可以用“面积 法”来证明勾股定理：a2+b=c2.已知∠BAD=90°，四边形ACFE是正方形. (1)请把四边形ACFD的面积表示出来； (2)请你利用该图证明勾股定理，并写出过程， C a B 25.(本题满分8分)某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，他们制订了 测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表. 主题 测量学校旗杆的高度 M 步骤一：如图①，线段MN表示旗杆，MN垂直地面于点N.将 系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，多出了一段NE,用皮尺测出 NE的长度 测量 图① 过程 步骤二：如图②，小丽同学将绳子末端放置于头顶A处，向正东 方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点 B处.用皮尺测出点A与点B之间的距离及小丽此时距旗杆底 端的水平距离 B 图② 测量 绳子垂到地面多出的部分为0.5m,小丽此时距旗杆底端的水平距离为6m,小丽身高为1.5m 数据 请根据表格所给信息，解答下列问题： (1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系； (2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高度. 第5页（共6页） 26.（本题满分12分) 【问题探究】 (1)如图①，BD为四边形ABCD的对角线，BD⊥CD,若AB=8,AD=6,BC=5√5，CD=5,试 求四边形ABCD的面积. 【问题解决】 (2)如图②，四边形ABCD是某县一座全民健身中心的平面示意图，AC,AE,EF为三条走廊 (,点E和点F分别在边BC和AB上)，AD=60m,CD=AE=40m,CE=20m,BE= 30,AC⊥CD,EFLAB.随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求， 为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在AB上 取点H,并将△BEH区域修建为功能训练区，根据设计要求，△BEH应为等腰三角形，请 你帮助设计人员计算出所有符合条件的AH的长， B 图① 图② 第6页（共6页）综合评价答案 第十九章综合评价 1.C2.B3.B4.C5.B6.C7.D8.A9.√610.<11.x>-25-412.413.60√/1014.2031√215.解：原 式=√16-√6+2√6=4十√6.16.解：由题意知2a-2=-a十16，解得a=6.17.解：-2≤a≤2,5-2a>0,a十2≥0..原 式=(6-20》-(a+2)-5-2a-a-2=-a+8、18解：0-(2②原式=2+2+1-√厚-2+2万+1-39-3+9 19.解：x+y=3+1+√3-1=25，x-y=√5+1-√3+1=2.(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(23)=12.(2)x2-y2=(x+y)(x y)=23×2=4√3.20.解：根据题意，得宇宙飞船内经过60×/1一 /2×105 3×105 =205(s.21.解：)Sac=AC·BC= 合×5+1DB-D=1.(2:Sae=之CD:AB=1,即CDX2E=1,CD- .22.解：(1)1-√2(2)(x-√2)2+(x 1D=1-E-)+1-2-1)2=1-22):+2=1-4E+8+2=11-4万.23.解：原式=66W石+而 Ja-/6 (wa-6 (Wa-√b(Wa+b) ·(a+b)=a-6.:a=1 3十2E8-2E=@-2E+1=6万-1,6=，】 3-2√/2 =3+2V2=(W2)2+ 2√2+1=(2+1)，√a=√(2-1)=2-1，√6=√/(2+1)=√2+1..原式=√2-1-(2+1)=√2-1-2-1=-2. 24.解：(1)-13-√2(2)m与4-√3是关于3的“实验数”理由如下：m十4-√3=(1十√3)(2-√5)十4-√3=2-√3+23 3+4一√3=3，m与4一√3是关于3的“实验数”.25.解：(1)裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为(10一2×√3)2=100一 40尽+12=112-40v尽(dm).(2)四个直角处的小正方形的边长为之(10-4②)=5-2②(dm),无盖长方体铁箱的宽为4Edm, 长为[20-42-2X(6-22)]-5(dm)栽剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为5×4厄×(5-2②)=100，万- 80(dm3).(3)欣欣26.解：(1)>>=(2)m十n≥2√mm(m≥0，n≥0).理由如下：当m≥0，n≥0时，：（√m-√m)2≥0， ∴.（√m)2-2√m·√m十（√m)≥0.∴m-2√mn十n≥0.∴.m十n≥2/n.(3)设该矩形花圃平行于墙体的一边长为am,则其垂直于 墙体的一边长为30m根据题意，得篱笆的长度C=a十3×300-a十90，由上述结论，得C=a+90≥2√a·0=60.当a= a a a a 900时，即a=30时，C有最小值60.∴所用的篱笆至少为60m.(4)四边形ABCD面积的最小值为21十85.[解析：设Sms=m. :△COB与△C0D底边上的商相等，△A0B与△A0D底边上的店相等器-S二-多二号-。 、5,解得SAaD=80, 5am=5+15+m+识=21+m+盟a+9≥2m…-8后.5am≥21+8后.当m=盟时，即m=4时取等 11 7 号，∴四边形ABCD面积的最小值为21十8√5.] 第二十章综合评价 1.A2.B3.B4.A5.A6.C7.C8.D9.√1010.45°11.√5+112.2-2513.10114.1015.解：在 Rt△ACD中，∠C=90°，AC=12,AD=13,∴.CD=√AD-AC=132-12=5.:AD为BC边上的中线，∴.BD=CD.∴.BC= 2CD=10.16.证明：AD为△ABC的中线，∴BD=CD=分BC=号X10=5(cm.:BD+AD=5+12=169,AB=18= 169,BD十AD=AB.△ABD为直角三角形.AD⊥BD.:D是BC的中点，.AD垂直平分BC,AB=AC.∴.△ABC是 等腰三角形.17.解：：AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90,在Rt△ABD中，BD=√JAB-AD=√I2-8=4√5.在Rt△ACD 中，CD=√AC”-AD严=√I0-8=6.∴.BC=BD十CD=4√5+6.18.解：树枝落地时不会砸到小轿车.理由如下：由题意可知 ∠C=90°，∴.△ABC为直角三角形.在Rt△ABC中，AC=4m,AB=12-4=8(m),由勾股定理，得BC=√JAB一AC=4√5m. 第28页（共48页）