第5章 分式与分式方程(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式的有关概念 当堂练习 1在式了9，亭+名r十9中属于分式的有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2若分式，产2有意义，则x应满足的条件是 A.x≠2 B.x=2 C.x>2 D.x≠0 3若分式的值为0，则x的值为 第2课时分式的基本性质 当堂练习 1.如果把，平，中的：与y都扩大10倍，那么这个代数式的值 A.不变 B.扩大50倍 C.扩大10倍 D.缩小为原来的品 2.在下列分式中，是最简分式的是 ) A B串 C动 6 x2-1 D.3y+3 3.填空： (1)5a3-2-2-5a 2a-1( (2)2-22x≠0). x+3x2+3x 4.化简下列各式； (1)15xy 45.x2y3 (2)4x2 xy-2yi (3)a2+2ab a?b+2ab ·28· 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 知识梳理 ①两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ,把分母相乘的积作为积的 即b.4 a c ②两个分式相除，把除式的分子和分母 后再与被除式相乘，即2÷4-b.S= a c a d ③分式乘方时，要把分式的分子、分母分别 当堂练习 1.化简心二义.”的结果是 ( Iy x-y 4. B.y C.z-y y D.y y y 2计算-层÷份÷的结果为 ( ) B.m2 7n3 C.-n 3计算：(2). 3a 4.计算： 1()·(的)： (2)2a-2b.14a2b 7ab 3·(÷a-；④)x+· ·29· 第2课时同分母分式的加减法 当堂练习 1.计算m-1+1的结果是 ( ) n m A.1 B.-m C.m D. m 2化简二十的结果是 ) A.x+1 B.x-1 C.x2-1 3.计算： (Da 1 2a (2)2abb-2a b 第3课时异分母分式的加减法 当堂练习 1.通分： 4 (1D47y'6x 2244 2.计算： (1) 1 m十1n2+m (2)2a+4a a+1 (3)y 2xy x-y x2-v2 ·30· 第4课时分式的混合运算 知识梳理 ①先 ,再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的，运算结果中分子、分母要进行 约分，将运算结果化成 或整式。 ②在进行分式的混合运算时，要注意观察，可灵活运用交换律、结合律、分配律使运算过程 变得更简便。 当堂练习 1.化筒a一仁)÷“。的结果是 A.a-b B.a+b Ca-i D 2.化简求值：(a-3)·,9一a a2-6a+9- ,当a=一3时，该代数式的值为 。 3.计算： (1) x-2-x-2; (2)2-2+2x, x2-1Tx+1 81-3)2,21 2x+6 4先化简：(-十1)广车2，再从一101中选搭合适的x位代人求值， ·31… 3分式方程 第1课时分式方程的概念 知识梳理 ①分母中含有 的方程叫作分式方程。 ②(1)审清题意，明确题目中的未知数；(2)根据题意找等量关系，列出分式方程。 当堂练习 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是 A.3x=2 B.2 C.+2_3+x 5 D.3x-2y=1 4 2.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾 分类，用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号 机器人的单价和为140万元。若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的 是 1.360 480 360-480 140-x B.140-xx C.360+480 -140 D360 140=480 2 3.某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5 倍生产，结果比原计划提前一周完成任务。若设原计划每周生产x万个口罩，则可列方程 为 A.180-=180-x+1 B.180-x- 180-x-1 1.5x 1.5x C.180=180+2 D180 180 2 1.5x x1.5x 4.下列方程：①号=1：@g=1:®品-1：@2十3=号其中，是分式方程的是 。(填序号) 5.小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动， 同样的牛奶，每袋比上周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买 了2袋牛奶。若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意可列方程为 ·32· 第2课时分式方程的解法 知识梳理 ①(1)方程两边都乘 ,化分式方程为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)把整 式方程的根代入最简公分母，看结果是否为 (验根)；(4)写出原方程的根。 ②使最简公分母的值为 的分式方程的根，叫分式方程的增根。 当堂练习 2 L。把分式方程。二转化为一元一次方程时，方程两边需同栗 A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.x2十x 2老x-2是分式方程-引的解则u的值是 A.-1 B.0 C.1 D.3 3.若关于x的分式方程，产53=，25无解，则a的值为 4.解方程： 1)2+=1: (2)3x+2 x x-3 x+2x-23; 321=,8 x2-4 x-11+x ·33· 第3课时分式方程的应用 当堂练习 1.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，某小型快递公司的 分拣工小李和小江在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣 90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件。若设小江每小时 分拣x个物件，则可列方程为 A.120=90 B.120=90 “x-20x x+20x C.120 90 D.120=90 x-20 x+20 2.小明陪妈妈到超市购买大米，按原价购买，用了100元。几天后，遇上这种大米八折出 售，他用140元又买了一些，两次一共购买了55kg。这种大米的原价是 元/kg。 3.已知A,B两地相距160km,一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比 原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是km/h。 4.某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量为30万千克，为满足市场需求，现决定 改良梨树品种。改良后平均每亩的产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千 克，种植亩数减少了10亩。 (1)设原来平均每亩的产量为x万千克。根据题意，用含x的代数式填写下表（结果不需 化简)： 平均亩产量/万千克 种植面积/亩 总产量/万千克 原计划 x 30 改良后 (2)求x的值。 ·34·第3课时中心对称 当堂练习 1.D2.D3.解：如图， △ABC即为所求。 31 简单的图案设计 当堂练习 1.B2.平移旋转轴对称3.90°，180°，270 第四章因式分解 1 因式分解 当堂练习 1.整式的乘法因式分解2.C3.解：(1)4a(a十2b)=4a十8ab,左边是整式的乘积 形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解。(2)a2一4=(a十2)(a一2)，左边 是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解。(3)x2-3x十2=x(x-3)十 2,右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解。 2提公因式法 第1课时提公因式为单项式的因式分解 当堂练习 1.A2.D3.解：(1)原式=a·2a-a·3b=a(2a-3b)。(2)原式=-(4xy2-6xy)= -(2xy·2y-2xy·3)=-2xy(2y-3)。 第2课时提公因式为多项式的因式分解 当堂练习 1.A2.B3.解：(1)原式=(x十2)x-(x十2)=(x十2)(x-1)。(2)原式=xy(x-y) -(x-y)=(x-y)(xy-1)。 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 知识梳理 ①(a+b)(a-b) 当堂练习 1.D2.A3.(m十4)(m-4)4.解：(1)原式=(1十m)(1-m)。(2)原式=2xy(x2 -y2)=2xy(x+y)(x-y)。(3)原式=2a(9a2-1)=2a(3a+1)(3a-1)。(4)原式= (x十2y+3x)(x+2y-3x)=(4x十2y)(-2x十2y)=-4(2x十y)(x-y)。(5)原式= (m2-n2)十(2m-2n)=(m十n)(m-n)十2(m-n)=(m-n)(m十n+2)。(6)原式= [3(x-y)+2(x+y)][3(x-y)-2(x+y)]=(3x-3y+2x+2y)(3x-3y-2x-2y)= (5x-y)(x-5y)。 第2课时运用完全平方公式因式分解 知识梳理 ①(a+b)2(a-b) 当堂练习 1.C2.B3.C4.a(a-1)25.解：(1)原式=(x-2y)2。(2)原式=(m-n)2- 12(m-n)十36=(m--6)2。(3)原式=-3x(x2-6x+9)=-3x(x-3)2。(4)原式 =-(4p-12pg十9g)=-(2p-3g)2.6.解：(1)原式=(397+103)×(397-103) =500×294=147000。(2)原式=97+2×97×3+3=(97+3)2=1002=10000。 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式的有关概念 当堂练习 1.B2.A3.-5 第2课时分式的基本性质 当堂练习 1,A2.B3.(1)1-2a(2)2z4.解：(1)原式=二3x。（2)原式=2十x)(2- 1 y(x-2) =-2+。(3)原式=aa+2=1 y ab(a+2b)b 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 知识梳理 ①分子分母 bd ac ⑧颠倒位置 ad ®乘方二 第46页（共48页） 当堂练习 1B2D3第4餐：0)原武=号（与）·兰=-，@)原式=2， Tab a+6)(a-6-a十6(3)原式=ab》. 14a2b =4a ·a0)·abb-。(4)原式 1 1 =「x+y)(x-y)7 1 1 xy x)·x十2·x+y)·x x ry2-yo 第2课时同分母分式的加减法 当堂练习 1C2A3解：)原武=品=2)原式=品。品。会合1， 1 第3课时异分母分式的加减法 当堂练习 1 3y4 8x2 1.解：1)最简公分母是12ry,12'6x可=127y。(2)最简公分母是2(a a(a-3)a-1」 2a-2 +3)(a-3),2a+6=2a+3a3)'-9-2a十3a-3.2.解：1)原式 m=n.2原式-华+号 m(m+1)m(m十1)n(m+1)-m(m十1）) 2aa1DL4a=2a0.3)原武z+》2三Y+xy-2 a十1a+1 x2-y2 -x2-y x-y y(y-x) y Gx)( 第4课时分式的混合运算 知识梳理 ①乘方最简分式 当堂练习 1B2-a-303朝：1原武=千三号-产22)原式=” 2(x-1) +务品+祭出=2.《原式=·》-吊· x+1 x+1 x十3 -名4解：原式= 厂x2 x十 (x+1)2 司)景六·当片“分式中分母不能为0，十1≠0，且一1≠ 0。“x≠-1且x≠1。·x只能取0。当x=0时，原式=0=-1。 3分式方程 第1课时分式方程的概念 知识梳理 ①未知数 当堂练习 1B2A3A4®059号2=0.5 第2课时分式方程的解法 知识梳理 ①最简公分母0②0 当堂练习 1.C2.D3.54.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠0，且x≠3。方程的两 边都乘x一3》，得2：-3)十=r(-3).解这个方程，得x=名。经检验，x=号 是原方程的根。(2)因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠一2。方程的两边都 乘(x十2)(x一2)，得3x(x-2)十2(x十2)=3(x2一4)。解这个方程，得x=4。经检验， x=4是原方程的根。(3)因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠一2。方程的两 边都乘(x十2)(x一2)，得x(x十2)一(x十2)(x一2)=8。解这个方程，得x=2。经检 验，x=2是原方程的增根，所以，原方程无解。(4)因为分式中分母不能为零，所以x≠ 1,且x≠-1。方程的两边都乘(1十x)(1一x),得1=3(1十x)-5(1-x)。解这个方 程，得=令。经检验，=是原方程的根。 第3课时分式方程的应用 当堂练习 1B253804解：1型1k5r36(2公根搭悠意，得婴-92=10 解得x=0.6。经检验，x=0.6是所列方程的根。答：x的值为0.6。 第47页（共48页） 第六章平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、角的性质 知识梳理 ①平行②对角线3相等相等 当堂练习 1.B2.A3.D4.C5.解：(1)：在□ABCD中，AB∥DC,∴∠EAB=∠DEA。 :∠BAD的平分线AE交DC于点E,∠DAE=25°，∴∠DAE=∠EAB=∠DEA= 25°。.∠DAB=∠C=2∠DAE=2×25°=50°。.∠B=180°-∠C=180°-50°= 130°。(2).∠DAE=∠DEA,.DE=AD。在□ABCD中，BC=5,AB=8,.AD= BC=5,CD=AB=8。,.EC=CD-DE=8-5=3。.CE的长是3。 第2课时平行四边形的对角线的性质及梯形 知识梳理 ①互相平分②不平行底上底下底腰3相等④相等 当堂练习 1.A2.C3.D4.35.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，.OD=OB=2 .BD=4。·AD⊥BD,.∠ADB=90°。在Rt△OAD中，由勾股定理，得AD= /OA-OD=√/42-22=2W3。在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB=√JAD+BD =√(2V3)2+42=2V7。.SOABCD=AD·BD=25X4=85。(2)SOABCD=AB· h=2V7·h=83,h=4√2虹 7 2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 知识梳理 ①相等平行且相等 当堂练习 1.C2.D3.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形4.证明： AB∥CD,.∠DCF=∠BAE。:DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC。:∠DFC=180° ∠DFA,∠BEA=180°-∠BEC,.∠DFC=∠BEA。在△DFC和△BEA中， r∠DCF=∠BAE, CF=AE, .△DFC≌△BEA(ASA)。.CD=AB。又.AB∥CD,.四边形 ∠DFC=∠BEA, ABCD为平行四边形。 第2课时平行四边形的判定定理3 知识梳理 ①互相平分 当堂练习 1.D2.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.84.证明：：四边形ABCD是平 行四边形，AB∥CD。∠FAE=∠CDE。:E是AD的中点，.AE=DE。在 x∠FAE=∠CDE, △FAE和△CDE中，AE=DE, .△FAE≌△CDE(ASA)。.EF=EC。又 ∠FEA=∠CED, AE=DE,.四边形ACDF是平行四边形。 第3课时平行线之间的距离及平行四边形判定与性质的综合 知识梳理 ①相等②相等 当堂练习 1.B2.B3.72.21°4.205.(-2,3)6.证明：连接DM。AM,BD互相平分并 相交于点O,AO=MO,BO=DO。∴.四边形ABMD是平行四边形。.AD=BM, AD∥BM。又.M为BC的中点，∴.BM=CM。.AD=CM。又AD∥CM,∴.四边 形AMCD是平行四边形。 3三角形的中位线 知识梳理 ①中点②平行 一半 当堂练习 1.D2.B3.D4.C5.55°6.307.证明：：D,F分别是边AB,AC的中点， .DF是△ABC的中位线。.DF∥BC。同理，可得DE∥AC。∴.四边形DECF是平行 四边形。 第48页（共48页）