第4章 因式分解(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3简单的图案设计 当堂练习 1.下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是 米 88*8 A B 2.如图，它可以看成由基本图形A经过 变换得到的，也可以看成由这个基本图形 经过 变换得到的，还可以看成是由这个基本图形经过 变换得到的。 图① 图② (第2题图) (第3题图) 3.如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在 AE上，△ABC绕着点A经过逆时针旋转后能够与△ADE重合，将图①作为“基本图 形”绕着点A经过逆时针旋转三次得到图②，三次旋转的角度分别为 第四章 因式分解 1因式分解 当堂练习 1.在(2x十y)(2x一y)=4x2-y2中，从左向右的变形是 ,从右向左的变形是 (填“因式分解”或“整式的乘法”)。 2.如果多项式2x十B可以分解为2(x十2)，那么B为 A.2 B.2x C.4 D.4.x 3.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)4a(a+2b)=4a2+8ab; (2)a2-4=(a+2)(a-2); (3)x2-3x+2=x(x-3)+2。 ·24· 2提公因式法 第1课时提公因式为单项式的因式分解 当堂练习 1.多项式a+3ab的公因式是 A.a B.a2 C.3a D.ab 2.因式分解3x2一3x的结果是 A.x(3x-3) B.x(x-1) C.3x(x-3) D.3x(x-1) 3.因式分解： (1)2a2-3ab (2)-4xy2+6xy。 第2课时提公因式为多项式的因式分解 当堂练习 1.将a(x一y)一b(x一y)用提取公因式法分解因式，应提取的公因式是 A.x-y B.a-b C.a+b D.x十y 2.因式分解2x(a-b)-4y(a-b)正确的是 A.2(a-b)(x+2y) B.2(a-b)(x-2y) C.(a-b)(2x+4y) D.(a-b)(2x-4y》 3.因式分解： (1)(x+2)x-x-2; (2)(x2y-xy2)+(y-x)。 ·25· 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 知识梳理 ①a2-b= ②当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解。 当堂练习 1.下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是 A.x2-x B.x2+1 C.x2+4y2 D.x2-4y2 2.下列因式分解中，结果正确的是 ( A.x2-4=(x+2)(x-2) B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3) C.4m2-n2=(2m+n)(m-n) D.x2-4=(x-2)2 3.因式分解：m2-16= 4.把下列各多项式因式分解： (1)1-m2; (2)2x3y-2xy3; (3)18a3-2a; (4)(x+2y)2-9x2: (5)m2-n2+2m-2; (6)9(x-y)2-4(x+y)2。 ·26· 第2课时运用完全平方公式因式分解 知识梳理 ①a2+2ab+b2= ,a2-2ab+b2= ②根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种 因式分解的方法叫作公式法。 ③运用公式法的前提是符合平方差或完全平方式的一般形式（有时需要变形）；公式法通 常与提公因式法综合使用。 当堂练习 1.对多项式x2一2x十1因式分解，结果正确的是 A.(x+1)2 B.(x+1)(x-1) C.(x-1)2 D.(x+1)(x-2) 2.下列各式因式分解正确的是 A.1+4x2=(1+2x)2 B.6a-9-a2=-(a-3)2 C.1+4m-4m2=(1-2m)2 D.x2+xy+y2=(x+y)2 3.已知y2十y+16可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值是 A.8 B.4 C.±8 D.±4 4.分解因式：a3-2a2+a= 5.把下列各式因式分解： (1)x2-4xy+4y2; (2)(m-n)2+12(n-m)+36; (3)-3x3+18x2-27x; (4)-4p2+12pq-9q。 6.利用公式法计算。 (1)3972-1032; (2)972+6×97+32. ·27·第3课时中心对称 当堂练习 1.D2.D3.解：如图， △ABC即为所求。 31 简单的图案设计 当堂练习 1.B2.平移旋转轴对称3.90°，180°，270 第四章因式分解 1 因式分解 当堂练习 1.整式的乘法因式分解2.C3.解：(1)4a(a十2b)=4a十8ab,左边是整式的乘积 形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解。(2)a2一4=(a十2)(a一2)，左边 是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解。(3)x2-3x十2=x(x-3)十 2,右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解。 2提公因式法 第1课时提公因式为单项式的因式分解 当堂练习 1.A2.D3.解：(1)原式=a·2a-a·3b=a(2a-3b)。(2)原式=-(4xy2-6xy)= -(2xy·2y-2xy·3)=-2xy(2y-3)。 第2课时提公因式为多项式的因式分解 当堂练习 1.A2.B3.解：(1)原式=(x十2)x-(x十2)=(x十2)(x-1)。(2)原式=xy(x-y) -(x-y)=(x-y)(xy-1)。 3公式法 第1课时运用平方差公式因式分解 知识梳理 ①(a+b)(a-b) 当堂练习 1.D2.A3.(m十4)(m-4)4.解：(1)原式=(1十m)(1-m)。(2)原式=2xy(x2 -y2)=2xy(x+y)(x-y)。(3)原式=2a(9a2-1)=2a(3a+1)(3a-1)。(4)原式= (x十2y+3x)(x+2y-3x)=(4x十2y)(-2x十2y)=-4(2x十y)(x-y)。(5)原式= (m2-n2)十(2m-2n)=(m十n)(m-n)十2(m-n)=(m-n)(m十n+2)。(6)原式= [3(x-y)+2(x+y)][3(x-y)-2(x+y)]=(3x-3y+2x+2y)(3x-3y-2x-2y)= (5x-y)(x-5y)。 第2课时运用完全平方公式因式分解 知识梳理 ①(a+b)2(a-b) 当堂练习 1.C2.B3.C4.a(a-1)25.解：(1)原式=(x-2y)2。(2)原式=(m-n)2- 12(m-n)十36=(m--6)2。(3)原式=-3x(x2-6x+9)=-3x(x-3)2。(4)原式 =-(4p-12pg十9g)=-(2p-3g)2.6.解：(1)原式=(397+103)×(397-103) =500×294=147000。(2)原式=97+2×97×3+3=(97+3)2=1002=10000。 第五章分式与分式方程 1分式及其基本性质 第1课时分式的有关概念 当堂练习 1.B2.A3.-5 第2课时分式的基本性质 当堂练习 1,A2.B3.(1)1-2a(2)2z4.解：(1)原式=二3x。（2)原式=2十x)(2- 1 y(x-2) =-2+。(3)原式=aa+2=1 y ab(a+2b)b 2分式的运算 第1课时分式的乘除法 知识梳理 ①分子分母 bd ac ⑧颠倒位置 ad ®乘方二 第46页（共48页） 当堂练习 1B2D3第4餐：0)原武=号（与）·兰=-，@)原式=2， Tab a+6)(a-6-a十6(3)原式=ab》. 14a2b =4a ·a0)·abb-。(4)原式 1 1 =「x+y)(x-y)7 1 1 xy x)·x十2·x+y)·x x ry2-yo 第2课时同分母分式的加减法 当堂练习 1C2A3解：)原武=品=2)原式=品。品。会合1， 1 第3课时异分母分式的加减法 当堂练习 1 3y4 8x2 1.解：1)最简公分母是12ry,12'6x可=127y。(2)最简公分母是2(a a(a-3)a-1」 2a-2 +3)(a-3),2a+6=2a+3a3)'-9-2a十3a-3.2.解：1)原式 m=n.2原式-华+号 m(m+1)m(m十1)n(m+1)-m(m十1）) 2aa1DL4a=2a0.3)原武z+》2三Y+xy-2 a十1a+1 x2-y2 -x2-y x-y y(y-x) y Gx)( 第4课时分式的混合运算 知识梳理 ①乘方最简分式 当堂练习 1B2-a-303朝：1原武=千三号-产22)原式=” 2(x-1) +务品+祭出=2.《原式=·》-吊· x+1 x+1 x十3 -名4解：原式= 厂x2 x十 (x+1)2 司)景六·当片“分式中分母不能为0，十1≠0，且一1≠ 0。“x≠-1且x≠1。·x只能取0。当x=0时，原式=0=-1。 3分式方程 第1课时分式方程的概念 知识梳理 ①未知数 当堂练习 1B2A3A4®059号2=0.5 第2课时分式方程的解法 知识梳理 ①最简公分母0②0 当堂练习 1.C2.D3.54.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以x≠0，且x≠3。方程的两 边都乘x一3》，得2：-3)十=r(-3).解这个方程，得x=名。经检验，x=号 是原方程的根。(2)因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠一2。方程的两边都 乘(x十2)(x一2)，得3x(x-2)十2(x十2)=3(x2一4)。解这个方程，得x=4。经检验， x=4是原方程的根。(3)因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠一2。方程的两 边都乘(x十2)(x一2)，得x(x十2)一(x十2)(x一2)=8。解这个方程，得x=2。经检 验，x=2是原方程的增根，所以，原方程无解。(4)因为分式中分母不能为零，所以x≠ 1,且x≠-1。方程的两边都乘(1十x)(1一x),得1=3(1十x)-5(1-x)。解这个方 程，得=令。经检验，=是原方程的根。 第3课时分式方程的应用 当堂练习 1B253804解：1型1k5r36(2公根搭悠意，得婴-92=10 解得x=0.6。经检验，x=0.6是所列方程的根。答：x的值为0.6。 第47页（共48页） 第六章平行四边形 1平行四边形的性质 第1课时平行四边形的边、角的性质 知识梳理 ①平行②对角线3相等相等 当堂练习 1.B2.A3.D4.C5.解：(1)：在□ABCD中，AB∥DC,∴∠EAB=∠DEA。 :∠BAD的平分线AE交DC于点E,∠DAE=25°，∴∠DAE=∠EAB=∠DEA= 25°。.∠DAB=∠C=2∠DAE=2×25°=50°。.∠B=180°-∠C=180°-50°= 130°。(2).∠DAE=∠DEA,.DE=AD。在□ABCD中，BC=5,AB=8,.AD= BC=5,CD=AB=8。,.EC=CD-DE=8-5=3。.CE的长是3。 第2课时平行四边形的对角线的性质及梯形 知识梳理 ①互相平分②不平行底上底下底腰3相等④相等 当堂练习 1.A2.C3.D4.35.解：(1)四边形ABCD是平行四边形，.OD=OB=2 .BD=4。·AD⊥BD,.∠ADB=90°。在Rt△OAD中，由勾股定理，得AD= /OA-OD=√/42-22=2W3。在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB=√JAD+BD =√(2V3)2+42=2V7。.SOABCD=AD·BD=25X4=85。(2)SOABCD=AB· h=2V7·h=83,h=4√2虹 7 2平行四边形的判定 第1课时平行四边形的判定定理1,2 知识梳理 ①相等平行且相等 当堂练习 1.C2.D3.平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形4.证明： AB∥CD,.∠DCF=∠BAE。:DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC。:∠DFC=180° ∠DFA,∠BEA=180°-∠BEC,.∠DFC=∠BEA。在△DFC和△BEA中， r∠DCF=∠BAE, CF=AE, .△DFC≌△BEA(ASA)。.CD=AB。又.AB∥CD,.四边形 ∠DFC=∠BEA, ABCD为平行四边形。 第2课时平行四边形的判定定理3 知识梳理 ①互相平分 当堂练习 1.D2.对角线互相平分的四边形是平行四边形3.84.证明：：四边形ABCD是平 行四边形，AB∥CD。∠FAE=∠CDE。:E是AD的中点，.AE=DE。在 x∠FAE=∠CDE, △FAE和△CDE中，AE=DE, .△FAE≌△CDE(ASA)。.EF=EC。又 ∠FEA=∠CED, AE=DE,.四边形ACDF是平行四边形。 第3课时平行线之间的距离及平行四边形判定与性质的综合 知识梳理 ①相等②相等 当堂练习 1.B2.B3.72.21°4.205.(-2,3)6.证明：连接DM。AM,BD互相平分并 相交于点O,AO=MO,BO=DO。∴.四边形ABMD是平行四边形。.AD=BM, AD∥BM。又.M为BC的中点，∴.BM=CM。.AD=CM。又AD∥CM,∴.四边 形AMCD是平行四边形。 3三角形的中位线 知识梳理 ①中点②平行 一半 当堂练习 1.D2.B3.D4.C5.55°6.307.证明：：D,F分别是边AB,AC的中点， .DF是△ABC的中位线。.DF∥BC。同理，可得DE∥AC。∴.四边形DECF是平行 四边形。 第48页（共48页）