第4章 因式分解章末对点导练学业质量自我评价-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

八年级数学BS版下册 第四章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是 A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2+b2=(a+b)2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.2(a+b)=2a+2b 2.一次课堂练习，一名同学做了下列4道因式分解题，这名同学做错了的题是 () A.z2-2xy+y2=(x-y)2 B.x'y-xy2=xy(x-y) C.x2-y2=(x+y)(x-y) D.x3-x=x(x2-1) 3.将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能因式分解，则此单项式不能是 () A.-2 B.-15m2 C.8m D.-8m 4.若n为整数，则关于代数式(3n十3)(2十2)一6的值，下列说法不一定成立的 是 () A.被9整除 B.被6整除 C.被3整除 D.被2整除 5.已知甲、乙、丙均为x的一次整式，且其一次项的系数均为正整数.若甲与乙相 乘为x2一4，乙与丙相乘为x2一2x,则甲与丙相乘的积为 () A.2x+2 B.x+2x C.2x-2 D.x2-2x 6.若x-2y-2=0,x2-4y2+4m=0(0<m<1),则多项式2m.x-x2-4my-4y 一4xy的值可能是 () A.-1 B.0 c 16 D.7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.（2025上海)分解因式：ab2+a2b= 8.下面是丽丽对多项式3(x一2)2一(2一x)3进行因式分解的过程： 解：原式=3(x-2)2-(x-2)3第一步 =(x-2)[3-(x-2)]第二步 =(x-2)2(5-x).第三步 开始出现错误的一步是第 步 9.(2025周口三模)如图，某市有一块面积为(3a2-2a-1)m2 的长方形空地，规划部门计划在这块长方形空地上修建一个 长(a+1)m、宽(a-1)m的长方形花坛，其余四周（阴影部 a-1 a+l 分)全部修建成健身休闲区.已知a>1,S,S2分别表示长方 B 形花坛的面积和健身休闲区的面积，则S1 S2(填 第9题图 “>”“<”或“=”). 10.甲、乙两名同学分解因式x2十ax十b时，甲看错了b,分解结果为(x十2)(x十 4),乙看错了a,分解结果为(x十1)(x十9)，则a十b= 11.已知a2-1=2024×2026,且a为正整数，则a= 12.已知x为自然数，且x十22与x-23都是一个自然数的平方，则x的值为 444444 159 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)计算：20242-2022×2026. (2)分解因式：9x2-6xy+y2. 14.已知代数式A=4(a2b-ab2)-2(ab2-a2b). (1)化简A. (2)若a-b=2,ab=3,求A的值. 15.先因式分解，再计算求值： (1)3abc-12a3b2c+12a2bc,其中a=-2,b=-2,c=1. (2)x(x十y)(x-y)-x(x+y)2,其中x+y=1,xy=-2 16.下面是小明同学将多项式一16mb2+4ma2分解因式的具体步骤： 分解因式：一16mb2十4ma2. 利用加法交换律变形，得4ma2一16mb2,第一步 提取公因式m,得m(4a2-16b2),第二步 逆用积的乘方公式，得m[(2a)2-(4b)2门，第三步 运用平方差公式因式分解，得m(2a十4b)(2a-4b).第四步 (1)事实上，小明的解法是错误的，造成错误的原因是 (2)请给出这个问题的正确解法. 17.如下图，一个长方形模具的长为2a,宽为a,中间开出两个边长为b的正方 形孔. (1)求图中阴影部分的面积（用含a,b的式子表示）. (2)用因式分解的方法计算当a=15.7,b=4.3时，阴影部分的面积. 2a 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0. 试判断△ABC的形状，并说明理由. 160 19.已知多项式36(a2十ka十25)一25b2(k是一个常数)在给定k的值的条件下可 以因式分解. (1)写出k可能给定的值. (2)针对其中一个给定的值，写出因式分解的结果. 20.基本事实：若ab=0,则a=0或b=0.如：方程x2-x一6=0可通过因式分解 化为(x一3)(x十2)=0，由基本事实得x一3=0或x十2=0，即方程的解为 x=3或x=-2. (1)试利用上述基本事实解方程：4x3一x=0. (2)若(x2+y2)(x2+y2-14)+49=0,求x2+y2的值. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.【阅读材料】因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1. 解：令x十y=A,则原式=A2+2A十1第一步 =(A十1)2.第二步 再将“A”还原，则原式=(x十y十1)2.第三步 【问题解决】 (1)上面解法中的第二步运用了因式分解的方法中的 A.提公因式法B.平方差公式法C.两数和的完全平方公式法 (2)因式分解：(x-y)2+4(x-y)+4= (3)求证：若n为正整数，则(n+1)(n十2)(n2+3n)+1的值是某个整数的 平方. 161 22.【阅读理解】在第四章的学习中，我们了解了因式分解除了提公因式法、公式法 外，还有其他方法可以帮助我们快速对一个多项式进行因式分解.以分解因式 a2十4ab十3b2为例，小明参考教材，利用图①中的图形拼出了如图②所示的长 方形。 a bbb h 图① 图② 小红参考课外阅读，知道了配方法，给出如下过程： a2+4ab+3b2 =a2+4ab+(2b)2-(2b)2+3b2 =(a+2b)2-(2b)2+3b2 =(a+2b)2-b2 =… 【尝试解决】 (1)由拼图法可得a2+4ab+3b2可以因式分解为 (2)请根据小红的思路对a2+4ab十3b2进行因式分解. (3)上述两种方法，任选一种将a2+5ab十6b2因式分解（若选择拼图法，请画 出图形，并做适当标注：若选配方法，请写出完整的过程). 六、解答题（本大题共12分） 23.【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算 和解题，这种解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广 泛的应用 例如：求a2十6a十8的最小值. 解：a2+6a+8=a2+6a+9-1=(a+3)2-1. .(a+3)2≥0. .(a+3)2-1≥-1，即a2+6a+8的最小值为-1. 【应用】请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：a+8a十 (2)代数式x2-4x-12的最小值为 【拓展】(3)如下图，乐乐想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够 长)围成一个长方形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF 处，另用其他材料).设长方形ABCD的边AB=xm,当x取多少时，羊圈的面 积取得最大值？ 1141419 162.BD=CE,∠B=∠ACE=45°， ∴.∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°， ..CE2+CD2=ED2. 在Rt△ADE中，AD2+AE=ED,AD=AE, .ED2=2AD2. 又CE=BD,∴.BD2+CD=2AD2 (3)2【解析】(3)如图②，过点A 作AE⊥AD,使AE=AD,连接 CE,DE,.∠EDA=45. ∠ABC=∠ACB=45°， ∴.∠BAC=90°， ∴.∠BAC=∠DAE, 图② ∴.∠BAD=∠CAE. (AB=AC, 在△BAD与△CAE中，∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS),.BD=CE=3. ,∠ADC=∠EDA=45°，∴.∠EDC=90°， ∴.DE=√CE2-CD=2√2. ∠DAE=90°， .AD2+AE2=DE2,.2AD=8,.AD=2. 第四章学业质量自我评价 1.A2.D3.B4.A 5.B【解析】：甲与乙相乘的积为x2-4=(x+2)(x一 2),乙与丙相乘的积为x2一2x=x(x一2)，.甲为x十 2,乙为x一2，丙为x,.甲与丙相乘的积为x(x十2) =x2+2x. 6.C【解析】x-2y-2=0,x2-4y2十4m=0(0<m <1),.x-2y=2,4m=4y2-x2=(2y+x)(2y-x) =-(x+2y)(x-2y),∴.x十2y=-2m, ..2mx-x-4my-4y-4xy =(2m.x-4my)-(x2+4.xy+4y2) =2n(x-2y)-(x+2y) =4m-4m =-(4m2-4m+1)十1 =-(2m-1)2+1. .0<m<1,.0<2m<2,.-1<2n-1<1, .0≤(2m-1)2<1,.0<-(2m-1)2+1≤1. 故选项C符合题意. 7.ab(a+b)8.一9.<10.15 11.2025【解析】，a2-1=(a-1)(a+1)=2024× 2026,.a-1=2024,a+1=2026,.a=2025. 12.507或59或27【解析】设a2=x+22,b2=x一23， 则a2-b2=(.x+22)一(x-23)=45. .a2-b2=(a+b)(a-b),.(a+b)(a-b)=45. a,b都是自然数，∴.a十b,a一b都是自然数，且a十 b>a-b, /0+6=45, a+b=15,a+b=9, 或 或 la-b=1 (a-b=3 a-b=5, 你阳低-经政信9成公-2 .x=b十23=507或59或27. 13.解：(1)2024-2022×2026 =2024-(2024-2)×(2024+2) =20242-(20242-22) =20242-2024+4 =4. (2)9.x2-6.xy+y =(3x)-2×3.x·y十y =(3x-y)2. 14.解：(1)A=4(a2b-ab2)-2(ab2-a2b) =4a2b-4ab2-2ab2+2a2b =6a2b-6ab2. (2),a-b=2,ab=3, .∴.A=6a2b-6ab2=6ab(a-b)=6×3×2=36. 15.解：(1)原式=3a2bc(a2-4ab+4b2)=3a2bc(a 2b)2. 1 当a=-2,b=-2c=1时， 原式=3×(-2)×(-)×1×[-2-2× (-2)]=-6. (2)原式=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=-2xy(x +y). 当x+y=1y=-2时，原式=-2×(-2）×1 =1. 16.解：(1)分解因式不彻底，没有把公因式提尽（合理 即可) (2)-16nb2+4ma2 =4m(a2-4b2) =4m(a+2b)(a-2b). 17.解：(1)S别=2a·a-2b2=2(a2-b2). (2)当a=15.7,b=4.3时， S朋影=2(a2-b)=2(a+b)(a-b)=2×(15.7+ 4.3)×(15.7-4.3)=456. 18.解：△ABC是直角三角形.理由如下： a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0, ∴.a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, .(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0, ∴.a=3,b=4,c=5. 32+4=52,.a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形. 19.解：(1)由题意，得a2+ka+25是一个完全平方式，则 k可能给定的值为土10 (2)示例：令k=10,则原多项式为36(a+5)2-25b. 因式分解，得(6a+30+5b)(6a+30一5b). 20.解：(1)4x3-x=x(4x2-1)=x(2x+1)(2x-1)=0, .x=0或2x+1=0或2x-1=0, 1 1 解得x=0或x=一2或x=2 (2)(x2+y2)(x2+y2-14)+49=(x2+y2)2 14(x2十y2)十49=(x2+y2-7)2=0, .x2+y2-7=0,.x2+y2=7 下册参老答案 63个 21.解：(1)C (2)(x-y+2) (3)证明：(n+1)(n十2)(n2+3n)+1 =(n2+3n十2)(n2+3n)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2. n为正整数，∴.n2十3n十1为正整数， .代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值是某个整 数的平方. 22.解：(1)(a十3b)(a十b) (2)a2+4ab+3b2 =a2+4ab+(2b)2-(2b)2+3b =(a+2b)2-(2b)2+3b =(a十2b)2-b2 =(a+2b+b)(a+2b-b) =(a+3b)(a十b). (3)示例：选择配方法. a2+5ab+6b2 =+5a6+52+6 4 =(+o)°- =(a++2)a+-b) =(a+3b)(a+2b). 23.解：(1)16 (2)-16 (3)由题意可知，BC=70十2-2x=(72-2x)m, ∴.S=AB·BC=x(72-2x)=-2x2+72x=-2(x2 -36.x)=-2(x-18)2+648. .-2(x-18)2≤0， ,.当x=18时，羊圈的面积取得最大值. 第五章学业质量自我评价 1.B2.A3.A4.A 5.D【解析】方程两边都乘2(x-1),得2x-4(x-1)= 4-3m 3m,解得x= 2 分式方程的解为正数， 4-3m>0且1 4 2 解得m<3且m≠3： 6.C【解析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是 xh,此项工作的总量是单位“1”，则甲打字员的工作效 率是，乙打字员的工作效率是是 依题意，得一6+3(x6-2)=1, 十 x 2x 整理，得2x-12十3(x-8)=2x,解得x=12. 经检验，x=12是所列分式方程的解，且符合题意。 故甲打字员原计划完成此项工作的时间是12h. 7.18.3z+198 10.k≤-12 64 八年级数学BS版 11.15【解析】设原计划分组时每组的人数为x,则实际 分组时每组的人数为1.5.x. 依题意，得210-210=7，解得x=10. x1.5.x 经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意， .1.5.x=1.5×10=15, .实际分组时每组的人数为15. 1 12.一1或5或-3【解析】方程两边都乘(，x+4)(x一 4),得x+4+m(x一4)=m+3,∴.(m+1)x=5m -1. 当m十1=0时，一元一次方程无解，此时m=一1； 当m十1≠0，x=士4时，原分式方程无意义，则x 0士4，解得m=5或-号 m+1 综上所述，当m=一1或5或一3时，原方程无解。 13.解：1)原式=x-2十+2：（x+2)(x-2) x-2 (x-2)2 (x-2)2 x-2·(x+2)(x-2) =x+2 (2)方程两边都乘(x-3)(x十3)，得x(x+3)一3 (x-3)(x+3), 解得x=一2 经检验，x=一2是原分式方程的解。 14.解：原式=a-1+1a2(a-2) a-1 (a-2) a2(a-2)2 =a-1‘a2(a-2 ,‘a满足a2一4=0，即a=士2且a一2≠0， .a=-2, 六当a=-2时原式=二名号-青 15.解：(1)三 (2)原式= m2-42-m m2-4m+4 2 (m+2)(m-2).2-m=_m+2 (m-2)2 2 2 16.解：设大型客车的速度为xkm/h,则小型客车的速度 为1.2xkm/h. .727212 根据题意，得一 1.2x60,解得x=60. 经检验，x=60是所列分式方程的解，且符合题意. 故大型客车的速度是60km/h. 17.解：(1)设被墨水污染的部分为A. -4÷A 由题意，得x-9 1 六3=x十3'整理，得 x一4 .x-3=1 (x十3)(x-3)·A=x+3解得A=x-4. 故被墨水污染的部分为x一4.