3 第2课时 直角三角形全等的判定&专题5 共顶点的等腰三角形手拉手模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第2课时直角 『基础过关 ◆D逐点击破 知识点1用“HL”证明直角三角形全等 1.如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根 据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还 要添加一个条件是 A.∠A=∠D B.AB=CD C.AE=EF D.∠B=∠C (第1题图) (第2题图) 2.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1=40°， 则∠2的度数为 A.40° B.50° C.60 D.75 3.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点， 且AD=BE,∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌ Rt△BEC。 4.如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°， F为AB延长线上一点，点E在BC上，且 AE=CF。 (1)求证：△ABE≌△CBF; 19第一章三角形的证明及其应用 三角形全等的判定 (2)若∠BAE=23°，求∠ACF的度数。 知识点2用其他方法证明直角三角形全等 5.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是 ( ) A.两条直角边分别对应相等 B.斜边和一个锐角分别对应相等 C.两个锐角对应相等 D.斜边和一直角边分别对应相等 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在 边AB上，且DB=BC,过点D作EF⊥AC, 分别交AC于点E,交CB的延长线于点F。 求证：BF=AB。 口能力提升 >>整合运用 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB 上，AD=AC,DE⊥AB,交BC于点E,连接 AE。若∠B=28°，则∠AEC的度数为( A.28° B.59° C.609 D.62° MA D PB C (第7题图) (第8题图) 8.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分 别在直线MN与PQ上，点E在AB上， AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB的 长为 9.分类讨论新理念如图，有一个 X Rt△ABC,∠C=90°，AC=10, BC=5,一条线段PQ=AB,P, Q两点分别在AC和过点A且 垂直于AC的射线AX上运动，当AP= 时，才能使△ABC与△PQA 全等。 10.如图，点D,E分别在AB,AC上，∠ADC= ∠AEB=90°，BE,CD相交于点O,OB= OC。求证：∠1=∠2。 【思维拓展 ◆◆◆强化素养 11.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂 足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F, G是DA的延长线上一点，连接BG。 (1)求证：BE=CF; (2)若BG=CA,求证：AG=2DE。 数学八年级下册配BS版20 专题五共顶点的等腰三角形一 手拉手模型【回归教材】 B右手 背景：两个共顶点、等顶角的等腰三角形所组成的图形。 左手E 模型解读 已知：如图，CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD。 义 结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等，即△ACE≌△BCD。 左手 (1)等边三角形手拉手： 常见 模型 (2)等腰三角形手拉手 呈现 等腰直角三角形 一般等腰三角形 1.如图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点 BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接 B在ED的延长线上，连接CE。 AD,CE。求证：∠BAD=∠BCE。 (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AE=2,CE=3,求BE的长。 21第一章三角形的证明及其应用 3.如图，已知△ABC与△ADE都是等腰直角 三角形，点B,C,E在同一条直线上，且 ∠BAC=∠DAE=90°。 求证：(1)△ABE≌△ACD; (2)DC⊥BE。 4.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且 点A,C,E在同一条直线上，AD与BC相交 于点M,BE与CD相交于点N,连接MN。 求证：(1)AD=BE; (2)△CMN是等边三角形。 5.(1)问题发现：如图①，△ABC和△DCE都 是等边三角形，点B,D,E在同一条直线 上，连接AE。 ①∠AEC的度数为 ②线段AE,BD之间的数量关系为 (2)拓展探究：如图②，△ABC和△DCE都 是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°，点B,D,E在同一条直线上，CM是 △DCE中DE边上的高，连接AE。 ①求∠AEB的度数。 ②判断线段CM,AE,BM之间的数量关 系，并说明理由。 图① 图② 数学八年级下册配BS版22∴.DE=DF。2.证明：连接BD。在等边三角形ABC中，点D是AC的中点， ÷∠DBC=号∠ABC=号X60=30,∠ACB=60。CE=CD,∠CDE=∠E. ∠ACB=∠CDE+∠E,.2∠E=60°。∴∠E=30°。∠DBC=∠E=30°。.BD =ED。∴△BDE为等腰三角形。又：DM⊥BC,.BM=EM。3证明：过点A作 AE⊥BC于点E。∴∠CAE+∠C=90。:AB=AC,∴∠CAE=号∠BAC。:BDL AC,∠DBC+∠C=90。∠DBC=∠CAE。∠DBC=∠BAC。4.证明：过 点A作AM⊥BC于点M。:AB=AC,∠BAC=2∠BAM。:AD=AE,∴.∠ADE= ∠E。.∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。.∠BAM=∠E。..DE∥AM。.'AM⊥BC AB=AE, ,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和△AED中，∠B=∠E,.△ABC≌ BC=ED. △AED(SAS),.AC=AD。又：点F是CD的中点，∴.AF⊥CD。 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题150°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40 5.120°或75°或30°6.34°或28°或22°7.65或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 基础过关 1.D2.∠B=60(答案不唯一)3.554.证明：：DC=DB,.∠DCB=∠B=30°。 ∴.∠ADC=∠DCB十∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,∴.△ADC是等边三角形。 5.B6.67.28.解：(1)等边三角形ABC的边长为4，∠A=60°，AB=4。:D 是AB的中点AD=号AB=2。DF⊥AC,∠AFD=90。六∠ADF=180- ∠AFD-∠A=30°。·AF=号AD=1。(2):等边三角形ABC的边长为4，“∠C= 60°，AC=BC=4。∴.CF=AC-AF=3。:FE⊥BC,.∠CEF=90°。∴.∠CFE=180 -∠CEF-∠C=30.CE=CF=1.5。BE=BC-CE=2.5. 能力提升 9.D10.B1L.√312.(1)证明：：AB=AC,∠B=∠C。:FE⊥BC,∴∠CEF= 90°。∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°。∴∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA, ∴∠F=∠FDA。∴.AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC, ∠DEB=90。:∠B=60,∠BDE=90°-∠B=90°-60=30。BE=号BD =号×6=3。：AB=AC,∠B=60,△ABC是等边三角形。BC=AB=AD+BD =3十6=9。∴.EC=BC-BE=9-3=6。 思维拓展 13.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：：∠B=60°，DE∥BC,∠ADE=∠B= 60°。由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，∴∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B- ∠BDF=60°。.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD =90时，点F在△ABC内，，∠BDF=60°，∴∠DBF=30°。.BD=2DF。由折叠得 DF=AD,.BD=2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F 在△ABC外，同理可得AD=DF=2BD,.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 基础过关 1.A2.2.43.20V24.B5.D6.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD= acD-V-()- 16 。(2)证明：在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD= VC=CD-√3-（号）=号.AB=AD+BD-号+号-54+32=5， 9 5 第4页（共48页） 即AC2十BC2=AB,∴△ABC是直角三角形。7.D8.解：(1)逆命题：如果两个三 角形的面积相等，那么这两个三角形全等。原命题是真命题，逆命题是假命题。(2)逆 命题：如果a>0,b>0,那么ab>0。原命题是假命题，逆命题是真命题。 能力提升 9.A10.3√311，解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°， 那么这个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是 ∠ABC的平分线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相 交于点O,且∠AOE=45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平 分线，AD是∠BAC的平分线，∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC。·∠0AB +∠OBA=(∠BAC+∠ABC).∠A0E=(I80-∠C).又：∠A0E=45, ∴∠C=90°。.△ABC是直角三角形。12.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB= 13m,AD=12m,BD=5m,∴.AB2=169,AD+BD2=144+25=169。∴.AB2=AD +BD。.∠ADB=90°。.AD⊥BC。(2).AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB =90°，.CD=√15-12=9(m)。.BC=CD+BD=9十5=14(m)。.劳动场地 △ABC的面积为号×14×12=84(m)。 思维拓展 13.或号 11 第2课时直角三角形全等的判定 基础过关 1.B2.B3.证明：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC 直角三角形，在R△ADE和R△BEC中，BE,RI△ADE≌R△BBC L证明：在R△ABE和R△CBF中，A_CB,R△ABE≌R△CBF(H (2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∴.∠BCF=∠BAE=23°。AB=BC,∠ABC=90°， .∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68°。5.C6.证明：：EF⊥ AC,.∠F十∠C=90°。.∠ABC=90°，∴.∠A十∠C=90°。..∠A=∠F。在△FBD和 ∠F=∠A, △ABC中，∠FBD=∠ABC=90°，.△FBD≌△ABC(AAS)。BF=AB。 BD=BC. 能力提升 7.B8.79.5或1010.证明：∠ADC=∠AEB=90°，.∠BDC=∠CEB=90°。 ∠BDO=∠CEO, 在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC,.△DOB≌△EOC(AAS)。.OD=OE。 OB=OC, t在R△A0有R△AB0中，O0-0ER△AW2R△ABOL.∠1=∠， 思维拓展 11.证明：(1)AD是△ABC的中线，.BD=CD。:BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED= ∠BED=∠F, ∠F=90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。 BD=CD, :BE-CF.2)在RI AGE和R△CAP中，EC:R△GER△CMF (HL)。.GE=AF。.GE-AE=AF-AE,即AG=EF。由(1)知△BED≌△CFD, ·DE=DF=2EF。·AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。.∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180° 2∠BDE。·∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+ (BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)。∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：'△ABC和△ADE都是等边三角 第5页（共48页） 形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE AB=AC, ∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌ AD-AE, △ACE(SAS)。(2)解：由(1)知△ABD≌△ACE,∴BD=CE=3。:△ADE是等边三 角形，.DE=AE=2。..BE=BD十DE=5.3.证明：(1)△ABC与△ADE都是等 腰直角三角形，∴.AB=AC,AE=AD。:∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC+∠CAE= AB=AC, ∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD, AE-AD, .△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1)知△ABE≌△ACD,.∠ABE=∠ACD :∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。∴.∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。 .DC⊥BE。4.证明：(1)△ABC和△CDE都是等边三角形，∴.CA=CB,CD= CE,∠BCA=∠ECD=60°。∴∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°。∴.∠ACD= CA=CB, ∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS)。 CD=CE. ∴.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由(1)，得∠ACM=∠BCN Y∠MAC=∠VNBC, =60°。在△ACM和△BCN中，：JCA=CB, .△ACM≌△BCN(ASA)。 L∠ACM=∠BCN, .CM=CN。∠MCV=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120°②AE= BD(2)①：△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，.CA= CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。.∠CDB=180°-∠CDE CE=CD. =135°。在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS)。 CA=CB, ∴.∠CEA=∠CDB=135°。∴.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理 由如下：：△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°， ∠DCE=90,∠DCM=2∠DCE=45=∠CDE,CM=DM。由①知△ACE2 △BCD,..AE=BD。.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 基础过关 1.D2.B3.104.解：：∠BAC=100°，∠C=50°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C= 30°。，EF是AB的垂直平分线，BE=AE。∴∠B=∠EAB=30°。∠AED= ∠B+∠BAD=60°。AD⊥BC,∴.∠ADE=90°。.∠EAD=90°-∠AED=30°。 5.D6.C7.B8.证明：∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=90°-30°=60°。：BD 平分∠ABC,∠ABD=号∠ABC=30。∠A=∠ABD,DA=DB。÷点D在 线段AB的垂直平分线上。 能力提升 9.D10.41L.(1)证明：连接AE。:EF是AB的垂直平分线，∴AE=BE。:AD⊥ BC,且D为CE的中点，∴AD是CE的垂直平分线。AE=AC。∴BE=AC。 (2)解：·AE=BE,.∠BAE=∠B=35°。·∠AEC=∠B+∠BAE=70°。AE= AC,∠C=∠AEC=70°。∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。12.证明：：ED⊥ AB,∠EDB=∠ECB=9O。在R△BDE和R△BCE中，B5BE,.R△BDE ≌Rt△BCE(HL)。.ED=EC。∴.点E在线段CD的垂直平分线上。：BD=BC, ∴.点B在线段CD的垂直平分线上。∴BE垂直平分CD。 思维拓展 13.(1)证明：连接AC。.E是BC的中点，AE⊥BC,.AE垂直平分BC。.AB=AC。 同理可得AC=AD,∴.AB=AD。(2)解：∠EAF=-∠BAE+∠DAF。证明如下：由(1) 知AB=AC=AD。:AE⊥BC,AF⊥CD,·∠BAE=∠EAC,∠CAF=∠DAF。 .∠EAF=∠EAC+∠CAF=∠BAE+∠DAF。 第2课时三角形三边的垂直平分线 基础过关 1.D2.解：如图， AF即为所求。3.解：如图， 第6页（共48页）