2 专题3 活用等腰三角形的“三线合一”巧解题&专题4 等腰三角形中易漏解或多解问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 基础过关 1.A2.C3.64°4.解：BD⊥AC,∠BDA=90°。∠A十∠ABD+∠BDA= 180°，∴∠ABD=180°-∠BDA-∠A=180°-90°-54°=36°。∴.∠DBC=∠ABC ∠ABD=48°-36°=12°。5.B6.A7.两直线平行，同位角相等BDAB=DE SAS全等三角形的对应角相等同位角相等，两直线平行 能力提升 AB=DC, 8.A9.45°10.1811.(1)证明：在△ABC和△DCE中，BC=CE,∴.△ABC≌ AC-DE. △DCE(SSS)。.∠ABC=∠DCE。.AB∥CE。(2)解：由(1)知△DCE≌△ABC, ∴.∠A=∠D=25°。：∠B=50°，.∠BGD=180°-∠B-∠D=105°。.∠AGD= 弥180°-∠BGD=75°。∠AFG=180°-∠A-∠AGD=80° 思维拓展 12.解：(1)①30°②：∠P=130°，∠PBC+∠PCB+∠P=180°，∠PBC+∠PCB= 180°-∠P=180°-130°=50°。：BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,∴.∠ABC= 2∠PBC,∠ACB=2∠PCB。∴.∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=100°。∴.∠A =180°-（∠ABC十∠ACB)=80°。(2）连接BC。:∠ABD,∠ACD的平分线交于点 E,∴∠ABE=∠DBE=合∠ABD,∠ACE=∠DCE=令∠ACD.“∠DBC+∠DCB =180°-∠D,∴·∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+(∠ABD+∠ACD)=180° ∠A,即180°-∠D+(∠ABD+∠ACD)=180°-∠A,整理，得∠ABD十∠ACD=∠D 她 -∠A,则∠EBC+∠ECB=∠DBC+∠DCB+号（∠ABD+∠ACD)=18O°-∠E, 即180°-∠D+2（∠D-∠A)=180°-∠E,整理，得2∠E=∠D+∠A。 第2课时三角形内角和定理的推论 基础过关 1,∠1，∠32.D3.C4.30°5.解：(1)：∠A=35°，∠ACD=83°，∠B=∠ACD 梁 -∠A=48°。(2)：∠B=48°，∠D=42°，∴∠AFE=∠B+∠D=90°。6.(1)证明： :∠ADB是△BCD的外角，.∠ADB>∠EBC。(2)解：：∠A=65°，∠ABD=30°， .∠CDE=∠A十∠ABD=95°。.'∠DCE=30°，.∠BEC=∠CDE+∠DCE=125°。 7.解：(1)：∠A=30°，∠ABC=70°，∴∠BCD=∠A十∠ABC=100°。CE是∠BCD 的平分线∠BCE=号∠BCD=50。(2):∠BCE=50,∠ABC=0,∠BBC- ∠ABC-∠BCE=20°。DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°。 能力提升 8.D9.C10.92°11.解：∠BAC>∠B。理由如下：∠BAC是△ACD的外角， 线 ∠BAC>∠ACD。,CD平分∠ACE,.∠ACD=∠DCE。∠BAC>∠DCE。又 :∠DCE是△BCD的外角，∠DCE>∠B。.∠BAC>∠B。12.解：这个零件不 合格。理由如下：连接AD并延长到点E。假设这个零件合格，则∠CDE=∠C十 ∠CAD,∠BDE=∠B+∠BAD,∴∠CDB=∠CDE+∠BDE=∠B+∠C+∠CAD+ ∠BAD=∠B十∠C十∠BAC=21°+32°+90°=143°≠148°。∴.这个零件不合格。 思维拓展 13.解：1)50°(2)∠P=号∠A(3)证明：BP,CP分别是∠ABC和∠ACD的平 分线，·∠PBC=号∠ABC,∠PCD=∠ACD.÷∠P=∠PCD-∠PBC 合∠ACD-7∠ABC=合（∠ACD-∠ABC)=合∠A. 专题一与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 母题：解：：∠A=40°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°。：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,·∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB。∠BPC=180° (∠PBC+∠PCB)=180° (∠ABC+∠ACB)=10. 【延伸问】解：∠A=n°， 第1页（共48页） ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°。：BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB, ∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB.÷∠BPC=1SOP-(∠PBC+∠PCB) 180-(∠ABC+∠ACB)=90+是i。【变式题1】解：(1)：∠ACB=70, ∴.∠ACD=180°-∠ACB=110°。BO,CO分别平分∠ABC,∠ACD,∴.∠CBO= 合∠ABC=30,∠D0=合∠ACD=55.∠0=∠0-∠C0=25。(2)∠0= 合∠A.理由如下：BO,C0分别平分∠ABC,∠ACD,:∠CB0=之∠ABC ∠DC0=分∠ACD.∴∠0=∠DC0-∠CB0=合（∠ACD-∠ABC)=∠A. 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，.∠CAB十∠CBA=180°-∠C=110°。.∠EAB十 ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=250°。：AD,BD是△ABC的外角平分线， ÷∠DAB=∠EAB,∠DBA=∠FBA.÷∠DAB+∠DBA=名（∠EAB十 ∠FBA)=125°。∴.∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=55°。(2）由题意，得∠CAB+ ∠CBA=180°-∠C。.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+∠C。 :AD,BD是△ABC的外角平分线，∠DAB=号∠EAB,∠DBA=∠FBA ÷∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=90+∠C.∠D=180-(∠DAB+ ∠DBA)=90°- 第3课时多边形的内角和 基础过关 1.C2.D3.9104.解：由题意，得子×(n-2)×180-360=90,解得m=12。 .n的值为12.5.C6.135 能力提升 7.A8.B9.360°或540°或720°10.解：(1)·n边形的内角和是(n-2)·180°，.内 角和一定是180的倍数。：2014÷180=11…34，.内角和不可能为2014°。(2)设 小华求的是n边形的内角和。由题意，得(m一2)·180<2014，解得m<13品。“易 得多边形的边数是13，故小华求的是十三边形的内角和。(3)十三边形的内角和是 (13-2)×180°=1980°，2014°-1980°=34°，因此这个外角的度数为34°。 第4课时多边形的外角和 基础过关 1.B2.B3.D4.C5.360°6.解：设这个多边形的边数为n。根据题意，得(n一 2)·180°=4×360°+180°，解得n=11。答：这个多边形的边数是11。 能力提升 7.C8.A9.340°10.解：(1)由题意，得这个正多边形的外角为40°，这个正多边 形的边数为360°÷40°=9。.10×9=90(m)。答：小明一共走了90m。(2)这个正多 边形的内角和为(9-2)×180°=1260°。 专题二求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M。:∠BOM是△ABO的外角，∠BOM=∠BAO +∠B①。：∠COM是△AOC的外角，∴.∠COM=∠CAO+∠C②。①+②，得 ∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C。 (2)140°(3)解法一：解：设AB,CD交于点O。∠ABC=64°，∠BCD=46°， .∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°。∴.∠AOD=∠COB=70°。同(1)，易得 ∠AED=∠A十∠D十∠AOD=28°+12°+70°=110°。解法二：解：连接AD。由题意， 易得∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD=64°+46=110°。：∠BAE=28°，∠CDE= 12°，.∠DAE+∠ADE=(∠DAB十∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°。.∠AED= 180°-（∠DAE十∠ADE)=110°。(4）解：如图， F 连接AD。同(1)， E0130 1002B 1入 得∠F+∠2+∠3=∠DEF,∠1+∠4+∠C=∠ABC。∴.∠F+∠2+∠3+∠1+∠4 +∠C=∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，即∠A +∠C+∠D+∠F=230°。2.180°【变式题1】360°【变式题2540° 第2页（共48页） 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 基础过关 1.C2.C3.25°4.证明：.DE∥AC,.∠EDA=∠CAD。AE=ED,.∠EAD =∠EDA。∠EAD=∠CAD。AB=AC,AD⊥BC。5.C6.D7.5 8.解：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。BD是AC边上的高，∴∠DBC= 号∠AC=30。DE=BD.∠E=∠DX=30。∴∠BDE=180-∠E-∠DC=I2。 能力提升 9.D10.45°11.解：(1)，△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°。AD=AE,AC⊥ DE,AC平分∠DAE。·∠DAC=∠DAE=40。·∠BAD=∠BAC-∠DAC 20。(2):AD=AE,∠ADE=号180°-∠DAE)=50°。△ABC为等边三角形， .∠B=60°。∴.∠ADC=∠BAD+∠B=80°。∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=30°。 思维拓展 12.解：(1)△ABD与△ACE全等。理由如下：：△ABC与△ADE均是顶角为40°的等 腰三角形，∴∠BAC=∠DAE=40°，AB=AC,AD=AE。·∠BAC-∠DAC=∠DAE AB=AC, -∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，)∠BAD=∠CAE,.△ABD≌ AD=AE. △ACE(SAS)。(2),△ABC和△ADE均为等边三角形，.AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°。∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 AB=AC, ∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE AD-AE. (SAS)。.∠ADB=∠AEC。∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，.∠AEC =120°。.∠BEC=∠AEC-∠AED=60°。 第2课时等腰三角形的判定与反证法 基础过关 1.A2.A3.404.证明：AB=AC,∴.∠C=∠B=30°。∠DAB=45°，∴∠ADC =∠B+∠DAB=75°。∴.∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75°。..∠DAC=∠ADC。 .AC=CD。∴△ACD是等腰三角形。5.证明：：DE∥AC,∴∠CAD=∠EDA。 AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD。∠EAD=∠EDA。:AD⊥BD,∴·∠ADB =90。∴.∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠BDE=90°。∴∠B=∠BDE。.BE=DE △BDE是等腰三角形。6.C7.解：有错误。改正如下：假设AC=BC,则∠A= ∠B。:∠C=90°，∴.∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾。∴AC=BC不成立。.AC ≠BC。 能力提升 8.D9.310.(1)证明：.△ABC是等边三角形，∴.∠DBC=∠ECB=60°。在△BCD BD=CE. 和△CBE中，J∠DBC=∠ECB,.△BCD≌△CBE(SAS)。∴∠BCD=∠CBE。 BC=CB, ∴.OB=OC。∴.△OBC是等腰三角形。(2)解：由(1)得∠BCD=∠CBE,∠ABC=60°， 设∠BCD=∠CBE=x,则∠ABE=60°-x,∠BOD=∠BCD+∠CBE=2x,:'△BDO 是以∠ABE为顶角的等腰三角形，BD=OB。·∠BDO=∠BOD=2x。,∠ABE+十 ∠BDO十∠BOD=180°，.60°-x+2x十2x=180°，解得x=40°。∴.∠ABE=60°-40°=20°。 思维拓展 11.解：(1)△ABC,△BOC(2)有5个等腰三角形：△ABC,△BOC,△BEO,△CFO, △AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系为EF=EB十FC。(3)还有等腰三角形， 即△BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：：BO平分∠ABC, CO平分∠ACB,.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又：EF∥BC,.∠EOB= ∠CBO,∠FOC=∠BCO。∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO。.BE=EO,FO= FC。∴.EF=EO+FO=EB+FC。【变式】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴.∠B=∠C=45°。 D为BC中点，.AD⊥BC,AD平分∠BAC。.∠EAD=∠CAD=∠C=45°。 AE=CF, .AD=CD。在△ADE和△CDF中， ∠EAD=∠C,..△ADE≌△CDF(SAS)。 AD=CD, 第3页（共48页） ∴.DE=DF。2.证明：连接BD。在等边三角形ABC中，点D是AC的中点， ÷∠DBC=号∠ABC=号X60=30,∠ACB=60。CE=CD,∠CDE=∠E. ∠ACB=∠CDE+∠E,.2∠E=60°。∴∠E=30°。∠DBC=∠E=30°。.BD =ED。∴△BDE为等腰三角形。又：DM⊥BC,.BM=EM。3证明：过点A作 AE⊥BC于点E。∴∠CAE+∠C=90。:AB=AC,∴∠CAE=号∠BAC。:BDL AC,∠DBC+∠C=90。∠DBC=∠CAE。∠DBC=∠BAC。4.证明：过 点A作AM⊥BC于点M。:AB=AC,∠BAC=2∠BAM。:AD=AE,∴.∠ADE= ∠E。.∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。.∠BAM=∠E。..DE∥AM。.'AM⊥BC AB=AE, ,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和△AED中，∠B=∠E,.△ABC≌ BC=ED. △AED(SAS),.AC=AD。又：点F是CD的中点，∴.AF⊥CD。 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题150°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40 5.120°或75°或30°6.34°或28°或22°7.65或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 基础过关 1.D2.∠B=60(答案不唯一)3.554.证明：：DC=DB,.∠DCB=∠B=30°。 ∴.∠ADC=∠DCB十∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,∴.△ADC是等边三角形。 5.B6.67.28.解：(1)等边三角形ABC的边长为4，∠A=60°，AB=4。:D 是AB的中点AD=号AB=2。DF⊥AC,∠AFD=90。六∠ADF=180- ∠AFD-∠A=30°。·AF=号AD=1。(2):等边三角形ABC的边长为4，“∠C= 60°，AC=BC=4。∴.CF=AC-AF=3。:FE⊥BC,.∠CEF=90°。∴.∠CFE=180 -∠CEF-∠C=30.CE=CF=1.5。BE=BC-CE=2.5. 能力提升 9.D10.B1L.√312.(1)证明：：AB=AC,∠B=∠C。:FE⊥BC,∴∠CEF= 90°。∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°。∴∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA, ∴∠F=∠FDA。∴.AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC, ∠DEB=90。:∠B=60,∠BDE=90°-∠B=90°-60=30。BE=号BD =号×6=3。：AB=AC,∠B=60,△ABC是等边三角形。BC=AB=AD+BD =3十6=9。∴.EC=BC-BE=9-3=6。 思维拓展 13.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：：∠B=60°，DE∥BC,∠ADE=∠B= 60°。由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，∴∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B- ∠BDF=60°。.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD =90时，点F在△ABC内，，∠BDF=60°，∴∠DBF=30°。.BD=2DF。由折叠得 DF=AD,.BD=2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F 在△ABC外，同理可得AD=DF=2BD,.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 基础过关 1.A2.2.43.20V24.B5.D6.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD= acD-V-()- 16 。(2)证明：在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD= VC=CD-√3-（号）=号.AB=AD+BD-号+号-54+32=5， 9 5 第4页（共48页） 即AC2十BC2=AB,∴△ABC是直角三角形。7.D8.解：(1)逆命题：如果两个三 角形的面积相等，那么这两个三角形全等。原命题是真命题，逆命题是假命题。(2)逆 命题：如果a>0,b>0,那么ab>0。原命题是假命题，逆命题是真命题。 能力提升 9.A10.3√311，解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°， 那么这个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是 ∠ABC的平分线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相 交于点O,且∠AOE=45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平 分线，AD是∠BAC的平分线，∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC。·∠0AB +∠OBA=(∠BAC+∠ABC).∠A0E=(I80-∠C).又：∠A0E=45, ∴∠C=90°。.△ABC是直角三角形。12.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB= 13m,AD=12m,BD=5m,∴.AB2=169,AD+BD2=144+25=169。∴.AB2=AD +BD。.∠ADB=90°。.AD⊥BC。(2).AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB =90°，.CD=√15-12=9(m)。.BC=CD+BD=9十5=14(m)。.劳动场地 △ABC的面积为号×14×12=84(m)。 思维拓展 13.或号 11 第2课时直角三角形全等的判定 基础过关 1.B2.B3.证明：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC 直角三角形，在R△ADE和R△BEC中，BE,RI△ADE≌R△BBC L证明：在R△ABE和R△CBF中，A_CB,R△ABE≌R△CBF(H (2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∴.∠BCF=∠BAE=23°。AB=BC,∠ABC=90°， .∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68°。5.C6.证明：：EF⊥ AC,.∠F十∠C=90°。.∠ABC=90°，∴.∠A十∠C=90°。..∠A=∠F。在△FBD和 ∠F=∠A, △ABC中，∠FBD=∠ABC=90°，.△FBD≌△ABC(AAS)。BF=AB。 BD=BC. 能力提升 7.B8.79.5或1010.证明：∠ADC=∠AEB=90°，.∠BDC=∠CEB=90°。 ∠BDO=∠CEO, 在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC,.△DOB≌△EOC(AAS)。.OD=OE。 OB=OC, t在R△A0有R△AB0中，O0-0ER△AW2R△ABOL.∠1=∠， 思维拓展 11.证明：(1)AD是△ABC的中线，.BD=CD。:BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED= ∠BED=∠F, ∠F=90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。 BD=CD, :BE-CF.2)在RI AGE和R△CAP中，EC:R△GER△CMF (HL)。.GE=AF。.GE-AE=AF-AE,即AG=EF。由(1)知△BED≌△CFD, ·DE=DF=2EF。·AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。.∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180° 2∠BDE。·∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+ (BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)。∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：'△ABC和△ADE都是等边三角 第5页（共48页） 形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE AB=AC, ∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌ AD-AE, △ACE(SAS)。(2)解：由(1)知△ABD≌△ACE,∴BD=CE=3。:△ADE是等边三 角形，.DE=AE=2。..BE=BD十DE=5.3.证明：(1)△ABC与△ADE都是等 腰直角三角形，∴.AB=AC,AE=AD。:∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC+∠CAE= AB=AC, ∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD, AE-AD, .△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1)知△ABE≌△ACD,.∠ABE=∠ACD :∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。∴.∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。 .DC⊥BE。4.证明：(1)△ABC和△CDE都是等边三角形，∴.CA=CB,CD= CE,∠BCA=∠ECD=60°。∴∠BCD=180°-∠BCA-∠ECD=60°。∴.∠ACD= CA=CB, ∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE(SAS)。 CD=CE. ∴.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由(1)，得∠ACM=∠BCN Y∠MAC=∠VNBC, =60°。在△ACM和△BCN中，：JCA=CB, .△ACM≌△BCN(ASA)。 L∠ACM=∠BCN, .CM=CN。∠MCV=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120°②AE= BD(2)①：△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，.CA= CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。.∠CDB=180°-∠CDE CE=CD. =135°。在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS)。 CA=CB, ∴.∠CEA=∠CDB=135°。∴.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理 由如下：：△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°， ∠DCE=90,∠DCM=2∠DCE=45=∠CDE,CM=DM。由①知△ACE2 △BCD,..AE=BD。.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 基础过关 1.D2.B3.104.解：：∠BAC=100°，∠C=50°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C= 30°。，EF是AB的垂直平分线，BE=AE。∴∠B=∠EAB=30°。∠AED= ∠B+∠BAD=60°。AD⊥BC,∴.∠ADE=90°。.∠EAD=90°-∠AED=30°。 5.D6.C7.B8.证明：∠C=90°，∠A=30°，∠ABC=90°-30°=60°。：BD 平分∠ABC,∠ABD=号∠ABC=30。∠A=∠ABD,DA=DB。÷点D在 线段AB的垂直平分线上。 能力提升 9.D10.41L.(1)证明：连接AE。:EF是AB的垂直平分线，∴AE=BE。:AD⊥ BC,且D为CE的中点，∴AD是CE的垂直平分线。AE=AC。∴BE=AC。 (2)解：·AE=BE,.∠BAE=∠B=35°。·∠AEC=∠B+∠BAE=70°。AE= AC,∠C=∠AEC=70°。∠BAC=180°-∠B-∠C=75°。12.证明：：ED⊥ AB,∠EDB=∠ECB=9O。在R△BDE和R△BCE中，B5BE,.R△BDE ≌Rt△BCE(HL)。.ED=EC。∴.点E在线段CD的垂直平分线上。：BD=BC, ∴.点B在线段CD的垂直平分线上。∴BE垂直平分CD。 思维拓展 13.(1)证明：连接AC。.E是BC的中点，AE⊥BC,.AE垂直平分BC。.AB=AC。 同理可得AC=AD,∴.AB=AD。(2)解：∠EAF=-∠BAE+∠DAF。证明如下：由(1) 知AB=AC=AD。:AE⊥BC,AF⊥CD,·∠BAE=∠EAC,∠CAF=∠DAF。 .∠EAF=∠EAC+∠CAF=∠BAE+∠DAF。 第2课时三角形三边的垂直平分线 基础过关 1.D2.解：如图， AF即为所求。3.解：如图， 第6页（共48页）专题三活用等腰三角形的“ 类型1利用“三线合一”作辅助线解决线段与 角有关问题 1.(教材P21习题T3变式)如图，在等腰直角 三角形ABC中，∠A=90°，D为BC中点， E,F分别为AB,AC上的点，且满足AE= CF。求证：DE=DF。 2.如图，已知等边三角形ABC中，点D是AC 的中点，点E是BC延长线上的一点，且CE= CD,DM⊥BC,垂足为M。求证：BM=EM。 M C 13第一章三角形的证明及其应用 三线合一”巧解题【回归教材】 3.如图，已知AB=AC,BD⊥AC于点D。 求证：∠DBC=∠BAC。 类型2利用“三线合一”作辅助线证垂直 4.(教材P21习题T7变式)如图，在△ABC 中，AB=AC,D为AC上任意一点，延长BA 到点E,使得AE=AD,连接DE。 求证：DE⊥BC。 5.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC= DE,∠B=∠E,点F是CD的中点。 求证：AF⊥CD。 专题四 等腰三角形中罗 类型1腰或底指向不明求等腰三角形的腰长 问题 1.等腰三角形的两边a,b满足(a一3)2+|b一 8|=0,则该等腰三角形的周长是() A.9 B.14 C.19 D.14或19 2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角 形的周长分成9和15两部分，则等腰三角形 的腰长为 类型2腰或底（顶角或底角）指向不明求角的 度数问题 :易错点拔：由三角形的内角和，易知等腰三角形的底角 只可能为锐角。 3.若等腰三角形的一个内角为94°，则它的顶 角的度数为 【变式题1】等腰三角形的一个内角为50°，则这 个等腰三角形的底角的度数为 【变式题2】在等腰三角形ABC中，∠A= 50°，则∠B的度数为 思维呈现： △ABC ∠A为顶角→∠B为底角 为等腰分类 ∠B为底角 讨论 ∠A为底角 三角形 ∠B为顶角 4.若等腰三角形的一个内角是50°，则一腰上 的高与底边的夹角的度数是 5.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB,点E在 OA上，且△OCE为等腰三角形，则∠OEC 的度数为 E,A 漏解或多解问题【易错】 思维呈现： AOCE OE=CE1→∠COE=∠OCE 为等度分类0C=OE→∠0E,C=∠0CE 三角形 OC=CE3→∠OE3C=∠COE 6.有一张三角形纸片ABC,∠A=68°，D是 AC边上的点，沿BD将三角形纸片ABC剪 开后，发现所得两部分均为等腰三角形，则 ∠C的度数为 思维呈现：分三种情况讨论： ①若AB=BD,BD=CD,如图①； ②若AB=AD,BD=CD,如图②； ③若AD=BD,BD=CD,如图③。 D 图① 图② 图③ 类型3当三角形形状不确定时需分类讨论 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则底角的度数为 8.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 70°，则底角的度数为 类型4与等腰三角形的个数有关的问题 9.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD 平分∠ACB,DE∥AC,则图中等腰三角形的 个数为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 (第9题图) (第10题图) 10.如图，在3×3的正方形网格中，点A,B在格 点上。若点C也在格点上，且△ABC是等腰 三角形，则符合条件的点C的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 数学八年级下册配BS版14