2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 基础过关 1.A2.C3.64°4.解：BD⊥AC,∠BDA=90°。∠A十∠ABD+∠BDA= 180°，∴∠ABD=180°-∠BDA-∠A=180°-90°-54°=36°。∴.∠DBC=∠ABC ∠ABD=48°-36°=12°。5.B6.A7.两直线平行，同位角相等BDAB=DE SAS全等三角形的对应角相等同位角相等，两直线平行 能力提升 AB=DC, 8.A9.45°10.1811.(1)证明：在△ABC和△DCE中，BC=CE,∴.△ABC≌ AC-DE. △DCE(SSS)。.∠ABC=∠DCE。.AB∥CE。(2)解：由(1)知△DCE≌△ABC, ∴.∠A=∠D=25°。：∠B=50°，.∠BGD=180°-∠B-∠D=105°。.∠AGD= 弥180°-∠BGD=75°。∠AFG=180°-∠A-∠AGD=80° 思维拓展 12.解：(1)①30°②：∠P=130°，∠PBC+∠PCB+∠P=180°，∠PBC+∠PCB= 180°-∠P=180°-130°=50°。：BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,∴.∠ABC= 2∠PBC,∠ACB=2∠PCB。∴.∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=100°。∴.∠A =180°-（∠ABC十∠ACB)=80°。(2）连接BC。:∠ABD,∠ACD的平分线交于点 E,∴∠ABE=∠DBE=合∠ABD,∠ACE=∠DCE=令∠ACD.“∠DBC+∠DCB =180°-∠D,∴·∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+(∠ABD+∠ACD)=180° ∠A,即180°-∠D+(∠ABD+∠ACD)=180°-∠A,整理，得∠ABD十∠ACD=∠D 她 -∠A,则∠EBC+∠ECB=∠DBC+∠DCB+号（∠ABD+∠ACD)=18O°-∠E, 即180°-∠D+2（∠D-∠A)=180°-∠E,整理，得2∠E=∠D+∠A。 第2课时三角形内角和定理的推论 基础过关 1,∠1，∠32.D3.C4.30°5.解：(1)：∠A=35°，∠ACD=83°，∠B=∠ACD 梁 -∠A=48°。(2)：∠B=48°，∠D=42°，∴∠AFE=∠B+∠D=90°。6.(1)证明： :∠ADB是△BCD的外角，.∠ADB>∠EBC。(2)解：：∠A=65°，∠ABD=30°， .∠CDE=∠A十∠ABD=95°。.'∠DCE=30°，.∠BEC=∠CDE+∠DCE=125°。 7.解：(1)：∠A=30°，∠ABC=70°，∴∠BCD=∠A十∠ABC=100°。CE是∠BCD 的平分线∠BCE=号∠BCD=50。(2):∠BCE=50,∠ABC=0,∠BBC- ∠ABC-∠BCE=20°。DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°。 能力提升 8.D9.C10.92°11.解：∠BAC>∠B。理由如下：∠BAC是△ACD的外角， 线 ∠BAC>∠ACD。,CD平分∠ACE,.∠ACD=∠DCE。∠BAC>∠DCE。又 :∠DCE是△BCD的外角，∠DCE>∠B。.∠BAC>∠B。12.解：这个零件不 合格。理由如下：连接AD并延长到点E。假设这个零件合格，则∠CDE=∠C十 ∠CAD,∠BDE=∠B+∠BAD,∴∠CDB=∠CDE+∠BDE=∠B+∠C+∠CAD+ ∠BAD=∠B十∠C十∠BAC=21°+32°+90°=143°≠148°。∴.这个零件不合格。 思维拓展 13.解：1)50°(2)∠P=号∠A(3)证明：BP,CP分别是∠ABC和∠ACD的平 分线，·∠PBC=号∠ABC,∠PCD=∠ACD.÷∠P=∠PCD-∠PBC 合∠ACD-7∠ABC=合（∠ACD-∠ABC)=合∠A. 专题一与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 母题：解：：∠A=40°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°。：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,·∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB。∠BPC=180° (∠PBC+∠PCB)=180° (∠ABC+∠ACB)=10. 【延伸问】解：∠A=n°， 第1页（共48页） ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°。：BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB, ∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB.÷∠BPC=1SOP-(∠PBC+∠PCB) 180-(∠ABC+∠ACB)=90+是i。【变式题1】解：(1)：∠ACB=70, ∴.∠ACD=180°-∠ACB=110°。BO,CO分别平分∠ABC,∠ACD,∴.∠CBO= 合∠ABC=30,∠D0=合∠ACD=55.∠0=∠0-∠C0=25。(2)∠0= 合∠A.理由如下：BO,C0分别平分∠ABC,∠ACD,:∠CB0=之∠ABC ∠DC0=分∠ACD.∴∠0=∠DC0-∠CB0=合（∠ACD-∠ABC)=∠A. 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，.∠CAB十∠CBA=180°-∠C=110°。.∠EAB十 ∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=250°。：AD,BD是△ABC的外角平分线， ÷∠DAB=∠EAB,∠DBA=∠FBA.÷∠DAB+∠DBA=名（∠EAB十 ∠FBA)=125°。∴.∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=55°。(2）由题意，得∠CAB+ ∠CBA=180°-∠C。.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+∠C。 :AD,BD是△ABC的外角平分线，∠DAB=号∠EAB,∠DBA=∠FBA ÷∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=90+∠C.∠D=180-(∠DAB+ ∠DBA)=90°- 第3课时多边形的内角和 基础过关 1.C2.D3.9104.解：由题意，得子×(n-2)×180-360=90,解得m=12。 .n的值为12.5.C6.135 能力提升 7.A8.B9.360°或540°或720°10.解：(1)·n边形的内角和是(n-2)·180°，.内 角和一定是180的倍数。：2014÷180=11…34，.内角和不可能为2014°。(2)设 小华求的是n边形的内角和。由题意，得(m一2)·180<2014，解得m<13品。“易 得多边形的边数是13，故小华求的是十三边形的内角和。(3)十三边形的内角和是 (13-2)×180°=1980°，2014°-1980°=34°，因此这个外角的度数为34°。 第4课时多边形的外角和 基础过关 1.B2.B3.D4.C5.360°6.解：设这个多边形的边数为n。根据题意，得(n一 2)·180°=4×360°+180°，解得n=11。答：这个多边形的边数是11。 能力提升 7.C8.A9.340°10.解：(1)由题意，得这个正多边形的外角为40°，这个正多边 形的边数为360°÷40°=9。.10×9=90(m)。答：小明一共走了90m。(2)这个正多 边形的内角和为(9-2)×180°=1260°。 专题二求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M。:∠BOM是△ABO的外角，∠BOM=∠BAO +∠B①。：∠COM是△AOC的外角，∴.∠COM=∠CAO+∠C②。①+②，得 ∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C。 (2)140°(3)解法一：解：设AB,CD交于点O。∠ABC=64°，∠BCD=46°， .∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°。∴.∠AOD=∠COB=70°。同(1)，易得 ∠AED=∠A十∠D十∠AOD=28°+12°+70°=110°。解法二：解：连接AD。由题意， 易得∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD=64°+46=110°。：∠BAE=28°，∠CDE= 12°，.∠DAE+∠ADE=(∠DAB十∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°。.∠AED= 180°-（∠DAE十∠ADE)=110°。(4）解：如图， F 连接AD。同(1)， E0130 1002B 1入 得∠F+∠2+∠3=∠DEF,∠1+∠4+∠C=∠ABC。∴.∠F+∠2+∠3+∠1+∠4 +∠C=∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，即∠A +∠C+∠D+∠F=230°。2.180°【变式题1】360°【变式题2540° 第2页（共48页） 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 基础过关 1.C2.C3.25°4.证明：.DE∥AC,.∠EDA=∠CAD。AE=ED,.∠EAD =∠EDA。∠EAD=∠CAD。AB=AC,AD⊥BC。5.C6.D7.5 8.解：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。BD是AC边上的高，∴∠DBC= 号∠AC=30。DE=BD.∠E=∠DX=30。∴∠BDE=180-∠E-∠DC=I2。 能力提升 9.D10.45°11.解：(1)，△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°。AD=AE,AC⊥ DE,AC平分∠DAE。·∠DAC=∠DAE=40。·∠BAD=∠BAC-∠DAC 20。(2):AD=AE,∠ADE=号180°-∠DAE)=50°。△ABC为等边三角形， .∠B=60°。∴.∠ADC=∠BAD+∠B=80°。∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=30°。 思维拓展 12.解：(1)△ABD与△ACE全等。理由如下：：△ABC与△ADE均是顶角为40°的等 腰三角形，∴∠BAC=∠DAE=40°，AB=AC,AD=AE。·∠BAC-∠DAC=∠DAE AB=AC, -∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，)∠BAD=∠CAE,.△ABD≌ AD=AE. △ACE(SAS)。(2),△ABC和△ADE均为等边三角形，.AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°。∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 AB=AC, ∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE AD-AE. (SAS)。.∠ADB=∠AEC。∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，.∠AEC =120°。.∠BEC=∠AEC-∠AED=60°。 第2课时等腰三角形的判定与反证法 基础过关 1.A2.A3.404.证明：AB=AC,∴.∠C=∠B=30°。∠DAB=45°，∴∠ADC =∠B+∠DAB=75°。∴.∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75°。..∠DAC=∠ADC。 .AC=CD。∴△ACD是等腰三角形。5.证明：：DE∥AC,∴∠CAD=∠EDA。 AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD。∠EAD=∠EDA。:AD⊥BD,∴·∠ADB =90。∴.∠EAD+∠B=90°，∠EDA+∠BDE=90°。∴∠B=∠BDE。.BE=DE △BDE是等腰三角形。6.C7.解：有错误。改正如下：假设AC=BC,则∠A= ∠B。:∠C=90°，∴.∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾。∴AC=BC不成立。.AC ≠BC。 能力提升 8.D9.310.(1)证明：.△ABC是等边三角形，∴.∠DBC=∠ECB=60°。在△BCD BD=CE. 和△CBE中，J∠DBC=∠ECB,.△BCD≌△CBE(SAS)。∴∠BCD=∠CBE。 BC=CB, ∴.OB=OC。∴.△OBC是等腰三角形。(2)解：由(1)得∠BCD=∠CBE,∠ABC=60°， 设∠BCD=∠CBE=x,则∠ABE=60°-x,∠BOD=∠BCD+∠CBE=2x,:'△BDO 是以∠ABE为顶角的等腰三角形，BD=OB。·∠BDO=∠BOD=2x。,∠ABE+十 ∠BDO十∠BOD=180°，.60°-x+2x十2x=180°，解得x=40°。∴.∠ABE=60°-40°=20°。 思维拓展 11.解：(1)△ABC,△BOC(2)有5个等腰三角形：△ABC,△BOC,△BEO,△CFO, △AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系为EF=EB十FC。(3)还有等腰三角形， 即△BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：：BO平分∠ABC, CO平分∠ACB,.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又：EF∥BC,.∠EOB= ∠CBO,∠FOC=∠BCO。∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO。.BE=EO,FO= FC。∴.EF=EO+FO=EB+FC。【变式】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴.∠B=∠C=45°。 D为BC中点，.AD⊥BC,AD平分∠BAC。.∠EAD=∠CAD=∠C=45°。 AE=CF, .AD=CD。在△ADE和△CDF中， ∠EAD=∠C,..△ADE≌△CDF(SAS)。 AD=CD, 第3页（共48页）第2课时 等腰三 基础过关 逐点击破 知识点1等腰三角形的判定 1.日常生活情境化将一个平板保护套展开放 置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示。 若∠ABC=∠ACB,AB=10cm,则AC的 长为 A.10 cm B.11 cm C.12 cm D.13 cm 2.下列三角形中，不是等腰三角形的是( 50°35 452 4㎡ B 3.(教材P22习题T12变式)如灯塔C 689 图，上午8时，一条船从海岛A 岛B 出发，以20 n mile/h的速度向 34 正北航行，10时到达海岛B ●岛A 处。从海岛A,B望灯塔C,测得∠NAC 34°，∠NBC=68°，则从海岛B到灯塔C的距 离为n mile. 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上 一点，∠B=30°，∠DAB=45°。 求证：△ACD是等腰三角形。 11第一章三角形的证明及其应用 角形的判定与反证法 5.如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D, DE∥AC,交AB于点E。 求证：△BDE是等腰三角形。 知识点2反证法 6.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一 个内角是锐角”时，应先假设 A.三个内角都是锐角 B.三个内角都是钝角 C.三个内角都不是锐角 D.三个内角都不是钝角 7.阅读下列文字，解答问题。 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°， 则AC≠BC。 证明：假设AC=BC。.∠A≠45°，∠C= 90°，.∠A≠∠B。∴.AC≠BC,这与假设矛 盾。.AC≠BC 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出 其证明的方法；若有错误，请予以纠正。 口能力提升 >》整合运用 8.(易错题)如图，C为两个直角三角尺的公共 顶点，∠A=∠B=30°，则图中等腰三角形 共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第8题图) (第9题图) 9.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 2∠C,将△ABD沿AD所在直线翻折，点B 的对应点为点E。若AC=8,AB=5,则BD 的长为 10.如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别 是边AB,AC上的动点，BD=CE,BE与 CD交于点O。 (1)求证：△OBC是等腰三角形； (2)当△BDO是以∠ABE为顶角的等腰三 角形时，求∠ABE的度数。 【思维拓展 ◆◆，强化素养 11.类比探究新趋势如图，在△ABC中，已知 ∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB。 (1)图①中的等腰三角形是 (2)若过点O作一直线EF和边BC平行，与 AB交于点E,与AC交于点F,如图②，则 图②中有哪几个等腰三角形？并直接写 出线段EF和EB,F℃之间的数量关系。 (3)若∠ABC≠∠ACB,其他条件不变，如 图③，则图③中是否还有等腰三角形？ (2)中第二问的关系是否还存在？写出 你的理由。 A.A 图① 图② 图③ 【变式】（教材P17随堂练习 T1变式)如图，在△ABC 中，BC=7,∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点 D,过点D作BC的平行线交AB于点E, 交AC于点F。若△AEF的周长为14，则 △ABC的周长是 数学八年级下册配BS版12