第2章 不等式与不等式组 综合评价(150分)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第二章综合评价 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题（每小题3分，共36分。每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只 有一个选项正确) 1.下列各式是不等式的是 是 A.x+1>0 B.3x-5 1 D.x+y=3 C.2x+1=0 2.下列用不等式表示“。的号与b的和为非负数”正确的是 ( A.2a+b>0 B2a+)>0C.a+b≥0 1 D. 1(a十b)≥0 3.若不等式组的解集为一1≤x≤3，则图中表示正确的是 -2-101234 -2-101234 B -2101234 2101234 D 4.某地某日最高气温是28℃，最低气温是18℃，则该地这天气温t(℃)的 变化范围是 苹 A.t≥18℃ B.18℃≤t≤28℃ C.t<28℃ D.t≤28℃ 封 5.若a<b,则下列结论中，不成立的是 ( A.a+3<b+3 B.a-2>b-2 C.2a<2b D.-a>-6 6.如图，直线y=kx十3经过点(2,0)，则关于x的不等式kx十3<0的解 集是 常 A.x>2 B.x<2 C.x≤2 D.x≥2 W 不等式的两 边都除以同 不等式的解集为 一个负数，需 要改变不等 可2x 号的方向。 -10123 线 (第6题图) (第8题图) 7.在平面直角坐标系中，若点P(m十1，m一3)在第四象限，则m的取值范 围是 ( A.m<-1 B.m>3 C.-1<m<3 D.m>-1 8.如图，两名同学在讨论一个不等式，根据图中对话提供的信息，他们讨论 的不等式可能是 ( ) A.3x≤-9 B.3x≤9 C.-3x≥-9 D.-3.x>-9 x-1<2n, 9.已知关于x的不等式组 的解集是一6<x<3,则m十n的 2.x-5>8m-1 值是 ( A.1 B.-1 C.2 D.-2 第1页（共6页） 10.若关于x的一元一次方程4x一2m+1=5.x一7的解是负数，则m的取 值范围是 ) A.m<0 B.m>4 C.m<4 D.m>0 5x>3x+2a, 11.若不等式组 恰有2个整数解，则a的取值范围是( 2.x-15 A.a>0 B.a≤1 C.0<a≤1 D.0≤a<1 12.某文旅公司推出野外宿营活动，有以下两种优惠方案： 方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费α元），所有人都按半价 优惠； 方案二：所有人都按六折优惠。 某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x 的函数图象如图所示，则下列说法正确的是 ) A.a=480 元方案 B.原票价为480元/人 方案二 4804 400 C.方案二中y关于x的函数表达式为y=480x D.当x>10时，方案一比方案二优惠 x/人 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.如图，托盘天平左边物体的质量为xg,右边物体的质量为20g,托盘呈 现左低右高的状态，则用不等式表示其数量关系为 9 否 (第13题图) (第16题图) 14.如果关于x的不等式(a+2)x>a十2的解集为x<1,那么a的取值范 围是 15.商店购进一批文具盒，进价为每个4元，零售价为每个6元，为促销决定 打折销售，但利润率仍不低于20%，那么该文具盒最多可打 折 销售。 16.“输入一个实数x,然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫作一 次操作，若恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是 三、解答题（本大题共9题，共98分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(本题满分12分)解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)3.x-1≥2(x+1): 第2页（共6页） 2x+1>x,① (2) x+5-x≥1.② 2 18.(本题满分10分)当x为何值时，代数式3x+2的值不小于7x十3的值？ 2 19.(本题满分10分)如图，数轴上的点A表示数2x一1，点B表示数x十3， 且点A始终在点B的左侧，求满足条件的x的取值范围。 B 2x-1 x+3 20.(本题满分10分)定义新运算：对于任意实数a,b都有a△b=ab一a b+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算。例如：2△4=2×4一 2-4+1=8-6+1=3. 请根据上述知识解答问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围。 21.(本题满分10分)下面是某同学解不等式组 2x-13x-2-1,① 3 2 的过程，请认真阅读并完成相应任务。 2(x+8)≤10-4(x-3)② 解：由①，得2(2x一1)>3(3x一2)一6。…第一步 4x-2>9x-6-6。 …第二步 4x-9x>-6-6+2. ……第三步 -5x>-10. ……第四步 x>2。 ……第五步 第3页（共6页） 任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误；这一步错误 的原因是 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集。 22.(本题满分10分)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色 低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区 域，升级改造现有照明系统。已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共 需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元。 (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种 路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少。 23.(本题满分12分)如图，已知函数y1=2x十b和y2=a.x一3的图象交于 点P(一2，一5)，这两个函数的图象与x轴分别交于点A,B。 (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求△ABP的面积； (3)根据图象直接写出不等式2x十b<ax一3的解集。 y↑y=2x+b /y,=ax-3 第4页（共6页） 24.(本题满分12分)项目学习 赫章樱桃素有“春果第一枝”之称，备受广大消费者青睐，樱桃成 项目 熟之际总是远销贵阳、昆明和成都等地，赫章已成为名副其实的 背景 “中国樱桃之乡”。赫章某樱桃种植基地欲将nt樱桃运往贵阳、 昆明和成都三地销售 (1)运往各地的樱桃质量均为整数吨； 项目 (2)运往成都的樱桃质量是运往贵阳的樱桃质量的2倍，设安排 要求 at樱桃运往贵阳 当n=20时，将下表补充完整： 贵阳 昆明 成都 合计 任务一 樱桃质量/t a 20 项目 运费/元 300a 500a 560a+1600 任务 在任务一的条件下，若运往昆明的樱桃的质量不多于运 任务二 往贵阳的樱桃质量，且总运费不超过5520元，请帮该种 植基地设计运输方案 任务三 若总运费为7360元，请确定n的最小值 第5页（共6页） 25.(本题满分12分)若一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成 立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“关联性方程（组）”。例如：方程 2x一1=1是不等式x十1>0的“关联性方程”。又如方程组 x十y=7, 是不等式2x十3y>15的“关联性方程组”。根据以上信息， x-y=1 解答下列问题： (1)方程3x+2=-4 (填“是”或“不是”)不等式2x十1>3x+3 的“关联性方程”； 2x一y=-4, (2)已知关于x,y的方程组 x+2y=5a+3 是不等式yx>7的“关 联性方程组”，求a的取值范围； (3)已知关于x的不等式组T+10≥6， 恰有5个整数解，且关于x的方 x+9<2b 程x十b=0是它的“关联性方程”，求b的取值范围。 第6页（共6页）△ADF(ASA)。(2):四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC。由折叠的性质，得CE= AE。△ABE≌△ADF,∴.AE=AF。∴.AF=CE。.四边形AECF是平行四边形。 4.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。∠CEF=∠2。由折叠的性质， 得∠1=∠CEF,∠1=∠2。(2)：∠1=∠2，∴.GE=GF。由折叠的性质，得B'F=BF。 DE=BF,.DE=B'F。AB∥CD,.∠DEG=∠EGF。:GE∥B'F,∠EGF= ∠B'FG。∠DEG=∠B'FG。.△DEG≌△B'FG(SAS)。.DG=B'G。 3三角形的中位线 新知梳理 ①中点②平行于一半 例题引路 【例1】解：：E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，.EH,HG,GF,FE分别是 △ABD,△ADC,△BCD,△ABC的中位线。EH=GF=2BD=号X8=4,HG=EF= 号AC=合×6=3。∴四边形EFGH的周长为(3+)X2=14。【例2】证明：BD.CE是 △ABC的中线，DE是△ABC的中位线。·DEL号BC。又：F,G分别是OB,OC的中 点，FG是△OBC的中位线。FGL号BC。DE业FG。四边形DEFG是平行四边形。 基础过关 1.D2.A3.B4.C5.106.证明：E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点， ∴EF,GH分别是△ABC,△ACD的中位线。∴EF∥AC,EF=号AC,GH∥AC,GH 合ACEF=GH,EF/GH。四边形EFGH是平行四边形。 能力提升 7.C8.C9.30°10.(1)证明：：D,E分别为AB,AC的中点，G,F分别为BH,CH的中 点，∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线。∴DE∥BC,DE=)BC,GF∥BC 2 GF=子BC。DE/GF,DE=GF。四边形DEFG为平行四边形.(2)解：四边形 DEFG为平行四边形，∴.DG=EF=2。:DG⊥BH,∴∠DGB=90°。在Rt△DGB中，由勾 股定理，得BG=√BD-DG=√3-22=√5。 微专题构造三角形中位线的三种常用技巧 1.B2.1.53.C 第六章章末复习 思维导图 中心对称相等相等平分相等平行且相等平分中点平行一半 考点整合 1.C2.C3.C4.C5.BE=DF(答案不唯一)6.25°7.1cm8.证明：连接BF, DE。:四边形ABCD是平行四边形，.DF∥BE,AD=BC。,AF=CE,∴AD十AF=BC 十CE,即DF=BE。又，DF∥BE,∴.四边形BEDF是平行四边形。∴EF与BD互相平 分。9.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB。四边形ABCD是平行四边形， ∠DFO=∠BEO, .DF∥EB。∴.∠DFO=∠BEO。在△DOF和△BOE中，∠DOF=∠BOE,△DOF≌ DO=BO, △BOE(AAS)。(2):△DOF≌△BOE,∴DF=EB。:DF∥EB,.四边形DFBE是平行 四边形。∴DE=BF。10.D1L.27m12.证明：：D,E分别是边AC,BC的中点， ÷DE是△ABC的中位线DE∥AB,且DE=合AB。:CF∥AB,且CF=令AB,DE ∥CF,且DE=CF。.四边形CDEF是平行四边形。，.CD=EF。 聚焦课标 13.解：任务1：629 任务2：过点E作EH⊥OB于点H,则∠OHE=∠BHE=90°。·∠OHE=90°，∠EOB= 30,∴EH=OE。四边形OCDE为平行四边形，OE=CD=10cm。六EH=5cm。 ∴.OH=√OE-EH=√/102-5=5√5(cm),BH=√BE-EH=√/132-5=12(cm)。 .PA=OA=AB-OH-BH=29-5√3-12=17-5√3(cm)。答：限位器P应装在离点A (17-5√3)cm的位置。 第28页（共48页） 综合评价答案 第一章综合评价 1.C2.C3.D4.D5.A6.D7.D8.C9.B10.C11.B12.A13.同旁内角 互补，两直线平行14.2815.216.5或817.(1)解：设这个多边形为n边形。根据题 意，得(n-2)×180°=3×360°。解得n=8。答：这个多边形是八边形。(2)证明：：∠C= ∠CBE,∴.BE=CE。:∠A=40°，∠ABE=20°，∴.∠BEC=∠A+∠ABE=40°+20°=60。 ∴△BCE是等边三角形。18.证明：：AB⊥CF,DE⊥CF,∠ABC=∠DEF=90°。在 R△AC和R△DEF中，g-PE:R△ABC≌R△DEEH.KCEF,BC BE=EF-BE,即CE=BF。19.∠ACD≠∠A+∠B∠A+∠B∠ACB∠ACB ∠A十∠B20.解：如图，点P即为所求。4女B 21.解：AB=AC=4m,AD是 △ABC的中线，∴ADLBC,BD=号BC=3m,在R△ABD中，由勾股定理，得AD= √AB-BD=√7m。:√7<3，.这根木料的长度适合做成中柱AD。22.证明： (I):AE∥BC,∴.∠DAE=∠B,∠EAC=∠ACB。:E为△ABC的外角平分线上的一点， ∠DAE=∠EAC。∴∠B=∠ACB。∴.AB=AC。∴.△ABC是等腰三角形。(2)由(1)， 得∠B=∠ACB,∠EAC=∠ACB,.∠B=∠CAE。在△ABF和△CAE中， AB=CA, ∠B=∠CAE,.△ABF≌△CAE(SAS)。.AF=CE。23.解：(1)BD是线段AE的 BF=AE, 垂直平分线，AB=BE,AD=DE。:△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，AB+BE +CE+CD+AD=19,①CD+CE+DE=CD+CE+AD=7,②①-②，得AB+BE=19 -7=12,∴.AB=BE=6。(2)·∠ABC=30°，∠C=45°，∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C= BA=BE, 180°-30°-45°=105°。在△BAD和△BED中，BD=BD,∴.△BAD≌△BED(SSS). DA=DE, .∠BED=∠BAC=105°。∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°。24.(1)解：在 △ABC中，AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=号×(180°-∠BAC)=30.:BD= BE,∠BDE=∠BED=合X(180-∠B)=73,:AB=AC,AD是边BC上的中线， .AD⊥BC。∴∠ADB=90°。∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°。(2)证明：MF垂直平 分CD,∴DF=CF。由(1)知∠C=30°，∴∠FDC=∠C=30°。∴∠AFD=∠C+∠FDC= 60。:AB=AC,AD是边C上的中线，∠DAF=合∠BAC=60。∠ADF=60. ∠ADF=∠DAF=∠AFD=60°。∴.△ADF是等边三角形。25.解：(1)第一、二小组 的方案都可行。证明如下：第一小组：由题意，得OA=4a,OB=3a,AB=5a。在△AOB中， OB2+OA2=(3a)2+(4a)2=25a2,AB2=(5a)2=25a2,.OA+OB2=AB2。.△AOB是 直角三角形，且∠AOB=90°。.OA⊥OB,即MO⊥PN。第二小组：：AC=BC,OC=BC, .AC=OC=BC。.∠CAO=∠COA,∠COB=∠CBO。又.∠CAO+∠COB+∠COA+ ∠CBO=180°，∴∠COA十∠COB=90°。∴.OA⊥OB,即MO⊥PN。(2)答案日M 不唯一，如：如答图，在射线OM,ON,OP上分别取点A,B,C,放置绳子AB, 入 AC,使AB=AC,用叠合法比较OC与OB的长度。若OC=OB,则墙体与地P乙0B 面垂直，即MO⊥PV于点O,否则不垂直。证明：·AC=AB,OC=OB,.AO 答图 ⊥BC,即MO⊥PN。 第二章综合评价 1.A2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.B10.B11.D12.D13.x>20 14.a<-215.八16.22<x≤6417.解：(1)去括号，得3x-1≥2x十2。移项、合并同类项， 得x≥3。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。一 -1012345 (2)解不等式①，得x>一1。解不等式②，得x≤3。在同一条数轴上表示不等式①②的解 集，如图所示。 一因此，原不等式组的解集为一1<x -2-1012 345 ≤3。 18,解：根据题意，得3x十2≥1士3。去分母，得6十4≥1z十3。移项，合并同类 项，得-x≥-1。两边都除以-1，得x≤1.19.解：由题意，得2x一1<x十3，解得x<4。 20.解：根据题意，得3△x=3x-3-x十1=2x-2。:3△x的值大于5而小于9， ∴径二28：解得子<x<号。21.解：任务一：五不等式的两边都除以一个负数时，不 11 12x-2<9, 等号的方向没有改变任务二：去括号，得2x十16≤10-4x十12。移项，得2x十4x≤10十12 一16。合并同类项，得6x6。两边都除以6，得x≤1。解不等式①，得x<2。因此，原不 第29页（共48页） 等式组的解集为x≤1.22.解：(1)设甲种路灯的单价是x元/盏，乙种路灯的单价是y 元/器。根据题意，得工十2=220；解得=60·答，甲种路灯的单价是60元/盏，乙种路 4y-3.x=140, y=80. 灯的单价是80元/盏。(2)设购买m盏甲种路灯，则购买(40一)盏乙种路灯，该社区购买 甲、乙两种路灯共花费w元。根据题意，得w=60m十80(40一)=一20十3200。 ”-20<0,∴0随m的增大而减小。又“m≤号(40-m),∴m≤10。∴当m=10时，w取 得最小值，此时40一=40一10=30。答：当购买10盏甲种路灯，30盏乙种路灯时，所需费 用最少。23.解：(1)将P(-2,-5)代入M=2x十b,得-5=2×(-2)十b,解得b=一1。 将P(-2,-5)代入边=ax-3,得-5=一2a-3,解得a=1。这两个函数的表达式分别为 为=2x-1=-3.2在1=2x-1中，令1=0，得0=21，解得=合。六A(分 0。在=x一3中，令为=0，得0=z一3，解得x=3。B(3,0)。AB=3-7=号。 ∴Sm=子AB.1n=子×号×5=平。(3)由函数图象可知，当x<-2时，2x十Kad -3.24.解：任务一：20-3a2a1600-240a任务二：根据题意，得 {560a+1600≤5520，解得5≤a≤7。又a,2a,20-3a均为正整数，a可以为5,6。 20-3aa, ∴.共有2种运输方案：方案一：运往贵阳5t,昆明5t,成都10t;方案二：运往贵阳6t,昆明 2,成都121。任务三：由任务一可知，运往昆明的每吨运费为0a080(元)。根据 题意，得300a十80(n-3a)十500a=7360。化简，得n=92-7a。又：n>3a,∴.92-7a> 3a,解得a<9.2。a的最大值为9。.n的最小值为92-7X9=29.25.解：(1)不是 1 ②)解方程组一=一4，得4·方程组红是不等式习 x+2y=5a+3,时{y=2a+2。 的“关联性方程组”，2a+2(a-1D>7解得a>3。(3)解不等式组十0：得b x+9<2b, 10x<2b一9。解方程x十b=0,得x=一b。由题意，得b-10≤一b<2b一9，解得3<b 5。可设5个整数解为k,友十1，k十2，k十3，k十4.1b10S, 1k十4<2b-9≤k+5。 (k+9b≤k十10， k+9<+14 2 士13<≤+14.6有解心 解得-7<k<一4。.k的整数解为一6 2 2 k+13<k+10, 2 咸5.0当6时：是，产.5<≤4②当5时，84☒ 4.5。∴.由①②，得3.5<b4.5。又.3<b5,.3.5<b≤4.5。 阶段综合评价（一） 1.C2.C3.D4.B5.A6.B7.A8.C9.A10.C11.B12.B13.80° 14.2.815.a≤-316.1017.(1)解：去括号，得3x-6-4十4x<1。移项，得3x十4x< 1+6十4。合并同类项，得7红<11。两边都除以7，得x<号。(2)解：解不等式3x十1≤ 2(x十1)，得x1。解不等式一x<5x十12，得x>-2。因此，原不等式组的解集为一2<x ≤1.18解：不等式2"。m>x-1。去分母，得2m-m>1一2。移项.合并同类项： 2 得(-m-1)x>2(-m-1)。当-m-1≠0，即m≠-1时，原不等式有解；当--1<0，即 m>一1时，原不等式的解集为x<2;当-m-1>0,即m<-1时，原不等式的解集为x> 2.19.解：∠ANC=∠B+∠BAV,∴.∠BAV=∠AVC-∠B=80°-50°=30°。：AV 是∠BAC的平分线，∴.∠BAC=2∠BAV=60°。∴.∠C=180°-∠B-∠BAC=70°。 20.ID证明：在R△ABC和RL△DCB中，ACB.Rt△ABC≌R△DCB(H (2)解：△OBC是等腰三角形。理由如下：：Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ACB=∠DBC。 .0B=OC。∴.△OBC是等腰三角形。21.解：(1)解方程4x十2m十1=2x十5，得x=2 m。由题意，得2-m<0,解得m>2。(2)去分母，得2(x-1)>mx十1。去括号，得2x-2 3 >mx十1。移项、合并同类项，得(2-m)x>3。“m>2,小2-m<0。小x<2m 22.解：(1)如图。 (2)DF垂直平分线段AB,.DB=DA。.∠DAB =∠B=30°。又：∠C=40°，.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-40°=110°。 ∠CAD=∠BAC-∠DAB=110°-30°=80°。AE平分∠DAC,∠DAE=号∠DAC =40°。23.(1)证明：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,.EC=ED。 第30页（共48页）