第4章 因式分解 综合评价((100分)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第四章综合评价 (时间：90分钟满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共30分。每小题均有A、B、C,D四个选项，其中只 有一个选项正确) 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ( 易 A.(.x+2y)2=x2+4xy+4y B.x2-4y2=(x-2y)(x+2y) C.a2-3ab+a=a(3a-b) D.x2-4x-1=x(x-4)-1 2.多项式8a3b+12ab3c的公因式是 ( A.abc B.4ab C.ab D.4abc 3.下列因式分解正确的是 弥 A.x2+y=(x十y)(x-y) B.x2+4x+4=x(x+4)+4 部 C.(x十1)(x-2)=x2-x-2 D.2x+4=2(x十2) 4.下列各式能用完全平方公式分解因式的是 A.x2+2xy-y B.x2+xy+y2 C.-x2+2xy+y2 D子-y+y 5.如果(x十4)(x-3)是x2-m.x-12的因式，那么m的值是 苹 A.7 B.-7 C.1 D.-1 封 6.若a十b=3,a-b=7,则b2-a的值为 ( A.-21 B.21 C.-10 D.10 7.如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形 的面积。通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn十2n因 场 式分解，其结果正确的是 m mC A.(m+2n)2 B.(m+2n)(m+n) C.(2m+n)(m+n) D.(m十2n)(m-n) 8.取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆， 原理是：如对于多项式x-y,因式分解的结果是(x-y)(x十y)(x2+y), 当x=9,y=9时，各个因式的值是x-y=0,x十y=18,x2+y2=162,于 是就可以把“018162”作为六位数的密码。对于多项式4x3一xy2,取x= 10,y=10时，用上述方法产生的密码可以是 ( ) A.101030 B.010103 C.100130 D.301001 第1页（共6页） 9.若a为实数，则整数a2(a2-1)一a2十1的值 ( A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0 10.《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多 项式简化算法。在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法 依然是最优算法。例如，当x=8时，求多项式3x3一4x2一35x十8的值，按 照秦九韶算法，可先将多项式3x3-4x2-35x+8进行改写：3.x3一4x2 35x+8=x(3x2-4x-35)+8=x[x(3x-4)-35]+8。按改写后的方 式计算与直接计算相比节省了乘法次数，使计算量减少。参考上述方 法，当x=一8时，多项式x4一4x3十4x2十1的值为 () A.6401 B.6399 C.-6399 D.-6401 二、填空题（每小题4分，共16分） 11.因式分解：2a(y-x)-3b(x-y)= 12.如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的内径 d=0.45m,外径D=0.75m,长l=3m,利用因式分解计算制作一节这 样的管道大约需要 m3的混凝土。（结果保留π） 13.若关于x的二次三项式x2十(m十1)x十16可以用完全平方公式进行因 式分解，则m的值为 14.已知a+2b=1,则代数式a2-4b2+4b+2025的值为 三、解答题（本大题共7题，共54分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(本题满分10分) (1)因式分解：16x2+24x+9. 第2页（共6页） (2)给出三个多项式：2x2+4x-1,2x2十8x十1,2x2一4x。请选择你最 喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解。 16.(本题满分6分)利用因式分解计算： (1)5.62-4.42; (2)7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1。 17.(本题满分6分)先因式分解，再求值：2(a-3)2十a(3-a),其中a=2。 第3页（共6页） 18.(本题满分6分)如图，在一个边长为a的正方形木板上，挖掉四个边长 为b的小正方形，计算当a=18dm,b=6dm时，剩余部分的面积。 b 19.(本题满分8分)在分解因式x2十ax十b时，甲看错了a的值，分解的结 果是(x十1)(x十9)；乙看错了b的值，分解的结果是(x一2)(x一4)，求 x2十ax十b分解因式的正确结果。 第4页（共6页） 20.(本题满分8分)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如 图①)，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）。 b b 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是 ;(填序号) ①(a-b)2=a2-2ab+;②a2-b=(a+b)(a-b);③(a+b)2=a2+ 2ab+b。 (2)应用你从(1)中选出的等式，计算：(1一2)(1一3)(1一)…(1 1 1 2024)(1-2025） 第5页（共6页） 21.(本题满分10分)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a+3ab-4-6b因式分解。 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式=(2a-4)+(3ab-6b)=2(a-2)+3b(a-2)=(a-2)(2+3b). 【类比】 (1)请用以上方法将x2一a2十x十a因式分解； 【挑战】 (2)请用以上方法将b2一a2十c2一2bc因式分解； 【应用】 (3)已知△ABC的三边长a,b,c满足条件：a-b+b2c2-a2c2=0,判断 △ABC的形状，并说明理由。 第6页（共6页）∠BDC=∠A+∠ACD=40°+∠B,:∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°，∴.40°+∠B+ 40+∠B+∠B=180,∴∠B=(9)。综上所述，∠B的度数为30或60或(9)广或 答图① 答图② 答图③ 答图④ 第三章综合评价 1.C2.D3.D4.B5.B6.C7.A8.C9.B10.A11.(-1,6)12.12 13.51314.(156,3)15.解：(1).将点A向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 后得到点B,.B(2m-4十1,3m十1十5)，即B(21-3,3m十6)。点B恰好在x轴上，.3m十 6=0,解得m=-2。∴2m-3=-7。.B(-7,0)。(2)由旋转的性质，得∠CAB=∠DAE =70°，∠ACB=∠ADE=75°。：CD∥AB,∴∠ACD=∠CAB=70°。∴.∠BCD=∠ACD +∠ACB=145°。16.证明：.△ABO与△CDO关于点O中心对称，.OB=OD,OA=OC。 .AF=CE,.OA一AF=OC-CE。.OF=OE。在△DOF和△BOE中，OD=OB,∠DOF =∠BOE,OF=OE,∴.△DOF≌△BOE(SAS)。∴.FD=BE。17.解：(1)如图，△A1BC 即为所求。(2)如图，△ABC:即为所求，点C的坐标为（一3,3）。 18.(1)证明：由旋转的性质，得AB=BD,∠ABD=a=60°， .△ABD是等边三角形。∴∠DAB=60°。∠ABC=60°，∴∠DAB=∠ABC。∴AD∥ BC。(2)解：AD=2AE.证明如下：.∠ABC=a=60°，.点E在AB上。.△ABD是等边 三角形，∴.AD=BD,∠ADB=6O°。在△ADF和△BDF中，AD=BD,AF=BF,DF=DF, ÷△ADP2△BDF(S)。∠ADF=∠BDF=合∠ADB=30。DFLAB..÷AE= 2AD,即AD=2AE。 19.解：(1)如图①②所示（答案不唯一）。(2)如图③所示（答案不 20.解：(1)B(2)40(3)△BOD是 图① 图② 图③ 等边三角形。理由如下：：AB=BC,∠ACB=60°，.△ABC是等边三角形。∠ABC 60°。：将△ABO旋转后能与△BCD重合，∴.BD=BO,∠ABO=∠CBD。∴.∠ABO十 ∠OBC=∠CBD十∠OBC。∴.∠OBD=∠ABC=60°。∴.△BOD是等边三角形。2L.解：(1)BD =CE(2)成立，理由如下：由旋转的性质可知，AD=AE,∠BAC=∠DAE,∴.∠BAC-∠CAD= ∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE。又：AB=AC,△ABD≌△ACE(SAS)。∴.BD=CE。 (3)CE长度的最小值为4。【解析】延长AC至点F,使CF=AC,连接EF,过点C作CH⊥EF,则 AF=2AC。:∠ACB=90°，∠ABC=30°，.∠BAC=60°，AB=2AC=AF。由旋转的性质可知 ∠DAE=60°=∠BAF,AD=AE,∴∠BAD=∠FAE。∴.△BAD≌△FAE(SAS)。∴.∠AFE= ∠ABD=30。∴·点E在射线FE上运动。：垂线段最短，∴.当点E与点H重合时，CE的长最 短，为CH的长。：CF=AC=8,∠CFH=30,∴CH=号CF=4。故CE长度的最小值为4。 阶段综合评价（二）[期中] 1.B2.B3.D4.D5.D6.B7.A8.B9.A10.C11.(-1,4)12.x>113.540° 14.50°或140°15.解：(1)移项，得-x-7x>-2-2。合并同类项，得-8x>-4。两边都除以 -8,得x<号。（②）解不等式①，得x<4。解不等式②，得x>0。在同一条数轴上表示不等式① ②的解集，如图。。ㄧ之了因此，原不等式组的解集为0<x≤4.16解： (1):∠AEB=∠C+∠CAE,∠C=42°，∠CAE=18°，∴.∠AEB=60°。，∠CBD=27,∴.∠AFB =∠AEB+∠CBD=87°。(2)：∠BAF=2∠ABF,∠AFB=87°，.3∠ABF=180°-87°=93°。 .∠ABF=31°。∴∠BAF=62.17.证明：：AD∥BC,∠A=90,∠B=180°-∠A=90°。 .△ADE和△BEC都是直角三角形。∠1=∠2，.DE=EC。又AD=BE,.△ADE≌ 第31页（共48页） △BEC(HL)。∴.∠ADE=∠BEC。:∠ADE+∠AED=90°，∴∠BEC+∠AED=90°。 ∴∠DEC=90°。∴.DE⊥CE。18.解：(1)如图，△ABC即为所求。(2)如图，△A2B,C 即为所求。 (3)由勾股定理，得CC=√十4=2√13.19.证 5-4-3-2 明：(1)：DF⊥AB,∴∠DFA=90°。：∠E=30°，.∠BAC=90°-∠E=60°。AD垂直 平分BC,∴AB=AC。∴△ABC是等边三角形。(2)：△ABC是等边三角形，AB=BC =AC,∠B=∠ACB=60°。DF⊥AB,∠DFB=90°。.∠BDF=90°-∠B=30°。 BF=BD.:AD垂直平分BC,BC=2BD=2CD,BD=CD.AC=2CD. ,∠ACB是△CDE的一个外角，∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°。.∠CDE=∠E=30°。 ∴CD=CE。·AE=AC+CE=3CD=3BD。BD=号AE。·BF=合AE。20.解： (1)设甲型号“文房四宝”每套的售价为x元，乙型号“文房四宝”每套的售价为y元。根据 区，丹 解得工=100·答：甲型号“文房四宝”每套的售价为100元，乙型号 1y=80。 “文房四宝”每套的售价为80元。(2)设购买甲型号“文房四宝”α套，则购买乙型号“文房四 宝”(100-a)套。根据题意，得100a十80(100-a)≤9000，解得a≤50。a取最大的正整 数，.a=50。答：最多可购买甲型号“文房四宝”50套。21.解：(1)BD=CE。(2)BD= CE。理由如下：·∠BAE=∠CAD,.∠BAE十∠BAC=∠CAD十∠BAC,即∠EAC= AE=AB, ∠BAD。在△EAC和△BAD中，∠EAC=∠BAD,∴.△EAC≌△BAD(SAS)。∴.BD= AC=AD, CE。(3)CD=2V5。【解析】在AC的上方作等腰直角三角形ACE,使得∠CAE=90°，AC= AE=√2，连接BE。:∠ACB=45°，∠ACE=45°，.∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45° =90°。在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE=√AC+AE=√(W2)”十（√2）2=2。在 Rt△BCE中，由勾股定理，得BE=/BC+CE=√4+2=2√5。：∠BAD=∠CAE= 90°，.∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE。∴.∠BAE=∠DAC。:AB=AD,AE=AC, .△ABE≌△ADC(SAS)。.CD=BE=2√5。 第四章综合评价 1.B2.B3.D4.D5.D6.A7.B8.A9.A10.A【解析】x=-8,∴.x-4x +4x2+1=x2(x2-4x十4)+1=x2(x-2)2+1=[x(x-2)]2+1=[(-8)×(-8-2)]+1= 6401。故选A。11.(y-x)(2a+3b)12.0.27π13.7或-914.202615.解：(1)原 式=(4x十3)2。(2)情况一：2x2十4x-1十2x-4x=4x2-1=(2x-1)(2x十1)。情况 二：2x2+4x-1+2x2+8x+1=4x2+12x=4x(x+3)。情况三：2x2十8x十1+2x2-4x= 4x2十4x十1=(2x十1)2.16.解：(1)原式=(5.6+4.4)×(5.6-4.4)=10×1.2=12。 (2)原式=200.1×(7.6+4.3-1.9)=200.1×10=2001.17.解：原式=2(a-3)2- a(a-3)=(a-3)(2a-6-a)=(a-3)(a-6)。当a=2时，原式=(2-3)×(2-6)=-1 (一4)=4.18.解：剩余部分的面积为a2一4b2=(a十2b)(a-2b)。当a=18dm,b=6dm 时，原式=(18+2×6)×(18一2×6)=30×6=180(dm2)。即剩余部分的面积为180dm。 19.解：甲看错了a的值，分解的结果是(x十1)(x十9)=x2十10x十9，b=9。乙看错 了b的值，分解的结果是(x-2)(x-4)=x2-6x十8，a=-6。∴.这个多项式是x2-6x十 9。·r-6x+9=(x-3.20.解：1②2)原式=(1-合)(1+)(1-号)(1+ 吉)(1-号)(1+)-(1-22)1+20-应)(1+2d)=×是×号 ×号×子××…×83×号3×腮×号=×号8-80器 21.解：(1)原 式=(x2-a2)十(x十a)=(x十a)(x-a)+(x十a)=(x十a)(x-a十1)。(2)原式=(b 2bc十c2)-a2=(b-c)2-a2=(b-c十a)(b-c-a)。(3)△ABC是等腰三角形或者直角三 角形。理由如下：a-b+c2-a2c2=(a-b)十(bc2-a2c2)=(a2+b2)(a2-b)-c2(a2 -6)=(a2-)(a2+B-c2)=(a十b)(a-b)(a2+b2-c2)=0。a,b,c是△ABC的三边 长，∴.a>0,b>0,c>0。.a十b>0。.a-b=0或a2+-c2=0。当a-b=0时，a=b。 此时△ABC是等腰三角形。当a2十b2-c2=0时，a2+b2=c2。此时△ABC是直角三角形。 综上所述，△ABC是等腰三角形或者直角三角形。 第32页（共48页） 第五章综合评价 1 2 1.D2.C3B4.C5.C6.D7.A8B9B10.D山.12.413. 14.9815.解：(1)原式= 3 7—(x一1)门÷《x十2)23—x2十1.x十1文= x+1 x+1 ”(+2)=+2。(2)因为分式中分母不能为零，所以x≠1。方程的两 (2-x)(2十x).x十1 2-x x+1 边都乘3(-1，得3x-3(x-1D=2x,解这个方程，得x=号.经检验=号是原方程的 根。16邮：原式=a卫·石下-当a=+1时，原式生出 √2+1-1 1十√2.17.解：方程的两边都乘2x-3,得3a=2(2x-3)。整理，得4x=3a十6，∴x= 如中。：方程的解为非负数，3中≥0，解得a≥-2。又：2x-3≠0，x≠号 4 2a中5≠子。a≠0。a的取值范围是a≥-2且a≠0.18.解：设模型A每小时能 4 处理：GB数据，则模型B每小时能处理（+10GB数据。根据意，得。-2四解得 x=20。经检验，x=20是所列方程的根。.x十10=20十10=30。答：模型A每小时能处 理20GB数据，模型B每小时能处理30GB数据。19.解：(1)二(2)原式= (号)+2 x-3=2x-5-x+2.(x十2)(x-2)=x-3.（x+2)(x-2） x-2 x-3 x-2 x-3 =x十2。x-2≠0，x-3≠0，x十2≠0，.x≠士2,3。∴当x=4时，原式=4十2=6。（或 当x=5时，原式=5十2=7。)20.解：(1)每盒B种茶叶的进价所购A种茶叶的盒数 (2)选择小红的方程：，，600三10，解得x=20。经检验，x=20是所列方程的根。1.5 x ×20=30(元)。答：每盒A种茶叶的进价为30元，每盒B种茶叶的进价为20元。（答案不 唯一，任选一个即可)(3)设购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶(200-m)盒。根据题 意，得30m十20(200-m)≤5000。解得m≤100。答：最多购进A种茶叶100盒。 21解1是A+B=月+产=+器号+号 x2+6x十9 (x十3)2 2,2=2,A与B互为“和整分式，“和整数值k=2。(2)①C+D=3二 P x-2 -2+—4 xA+中x+2)x-2=x+2)x2) (x+2)(x-2) P一=3x十2x一8+P。:C与D互为“和整分式”，且“和整数 值k=3,:3十28+P=3,即32+2z-8+P=3(x+2)(a-2)。P=3(z+2)(x- (x十2)(x-2) P 2)-(3x2+2x-8)=-2x-4。②由(1)知P=-2x-4,.D= -2x-4 x2-4(x十2)(x-2) -2(x十2) (x+②)(2=一二2。·分式D的值为正整数，且x为正整数，∴x-2=-1。解得x 2 =1。正整数x的值为1。 第六章综合评价 1.B2.D3.B4.A5.C6.C7.B8.B9.D10.D11.AD=BC(答案不唯一) 12.4√213.1314.√715.(1)证明：∠1=∠2，.AB∥CD。又.AD∥BC,.四边形 ABCD是平行四边形。(2)解：，∠C=90°，AB=17,AC=15,∴.BC=√AB-AC=8。 :D,E分别是AB,AC的中点，“DE是△ABC的中位线。“DE=号BC=号×8=4。 16.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,DA=BC。∴.∠DAF=∠BCE。 BE⊥AC,DF⊥AC,.∠BEC=∠DFA=90°。在△BCE和△DAF中， ∠BCE=∠DAF, ∠BEC=∠DFA,.△BCE≌△DAF(AAS)。.BE=DF。17.证明：D,E分别是 BC=DA, BC,AC的中点，∴.ED是△ABC的中位线。∴.DE∥AB。∴∠B=∠EDF。在△ABC和 BC=DE, △FDE中，∠B=∠EDF,.△ABC≌△FDE(SAS)。.∠A=∠F。18.解：四边形 AB-FD, ABCD是平行四边形，.AD∥BC。∠DAE=∠F,∠D=∠ECF。·E是CD的中点， ∠DAE=∠F, .ED=EC。在△ADE和△FCE中，∠D=∠ECF,.△ADE≌△FCE(AAS)。∴AD= ED-EC, CF=3,DE=CE=2。.DC=DE+CE=2+2=4。.□ABCD的周长为2(AD十DC)= 第33页（共48页）