3 第2课时 直角三角形全等的判定&专题5 共顶点的等腰三角形手拉手模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

△AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系为EF=EB十FC。(3)还有等腰三角形，即 △BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：，BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB,∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又：EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC= ∠BCO,∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴.BE=EO,FO=FC,∴.EF=EO+FO= EB+FC。【变式】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。：D为 BC中点，AD⊥BC,AD平分∠BAC。∴∠EAD=∠CAD=∠C=45°。∴.AD=CD。在 AE=CF, △ADE和△CDF中，∠EAD=∠C,△ADE≌△CDF(SAS)。∴.DE=DF。2.证明： AD=CD, 连接BD。:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，∠DBC=号∠ABC=令×60° 30°，∠ACB=60°。CE=CD,∠CDE=∠E。:∠ACB=∠CDE+∠E,2∠E=60。 ∠E=30°。∴∠DBC=∠E=30°。BD=ED。△BDE为等腰三角形。又DM⊥ BC,∴.BM=EM。3.证明：过点A作AE⊥BC于点E。∠CAE十∠C=90°。AB= AC,÷∠CAE=∠BAC。:BD⊥AC,·∠DBC+∠C=90。·∠DBC=∠CAE。 :∠DBC=方∠BAC。4.证明：过点A作AMLBC于点M。AB=AC,∠BAC 2∠BAM。:AD=AE,.∠ADE=∠E。∴∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。∠BAM= ∠E。DE∥AM。AM⊥BC,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和 AB=AE, △AED中，∠B=∠E,∴△ABC≌△AED(SAS),AC=AD。又，点F是CD的中点， BC=ED, .AF⊥CD 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题1】50°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40° 5.120或75°或30°6.34°或28°或22°7.65°或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 新知梳理 ①三260°3一半 例题引路 【例1】解：△DEF是等边三角形。理由如下：：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB =∠CAB=60°。：∠1=∠2=∠3，∴.∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB= 60°。同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形。 易错典例 【例21号 基础过关 1.D2.∠B=60°（答案不唯一）3.证明：DC=DB,·∠DCB=∠B=30°。.∠ADC= ∠DCB+∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,.△ADC是等边三角形。4.35.66.2 能力提升 7.D8.B9.√310.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C。FE⊥BC,.∠CEF=90。 ∠F+∠C=90,∠BDE+∠B=90°。∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA,∴.∠F= ∠FDA。∴AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC,∠DEB=90°。 :∠B=60,∴∠BDE=90-∠B=90-60=30。BE=号BD=号×6=3。：AB= AC,∠B=60,.△ABC是等边三角形。.BC=AB=AD十BD=3+6=9。∴.EC=BC BE=9-3=6。 思维拓展 11.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：∠B=60°，DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60。 由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，..∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B-∠BDF= 60°。∴.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD=90时，点F 在△ABC内，：∠BDF=60°，∴.∠DBF=30°。∴.BD=2DF。由折叠得DF=AD,∴.BD= 2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可得 AD=DF=2BD,∴.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 第4页（共48页） 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 新知梳理 ①互余直角三角形②平方和③直角④互逆命题逆命题逆定理 例题引路 【例】解：(1)：∠ACB=37°，∠BAC=53°，∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-37°-53° =90°。.AC=√AB+BC=√32+4=5。(2)：AC+CD=25+144=169,AD= 169,.AC+CD=AD。.∠ACD=90°。.∠BCD=∠ACD+∠ACB=127°。 基础过关 1,A2.2.43.C4.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC-CD= VP-(得)=9。(2)证明：在R△BCD中，由勾股定理，得BD=√C一CD- V3-(号)=号.∴AB=AD+BD=9+号-5。：+3=5，即AC+BC=AB, 51 .△ABC是直角三角形。5.D6.真 能力提升 7.A8.3J39.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这 个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是∠ABC的平分 D B 线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相交于点O,且∠AOE =45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平分线，AD是∠BAC的平 分线，∠OAB=合∠BAC,∠OBA=号∠ABC.∠OAB+∠OBA=号（∠BAC+ 1 ∠ABC。∠A0E=2(180-∠C)。又：∠A0E=45,:∠C=S0。△ABC是直角 三角形。10.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB=13m,AD=12m,BD=5m,∴AB= 169,AD2+BD=144+25=169。.AB2=AD+BD。.∠ADB=90°。∴AD⊥BC。 (2):AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB=90°，∴.CD=√15-12=9(m)。∴.BC= CD十BD=9+5=14(m。∴劳动场地△ABC的面积为2×14X12=84(m)。 思维拓展 .或号 4 第2课时直角三角形全等的判定 新知梳理 ①HL 例题引路 【例I】证明：连接AD。DF⊥AB,DE⊥AC,∠DFA=∠DEA=90°。在Rt△ADF和 △ADE中，AP二AP,R△ADF≌R△ADECHL,DF=DE。yD是BC的中点 .DB=DC。在Rt△DBF和Rt△DCE中， DE=DE,·Rt△DBF≌Rt△DCE(H), ∴∠B=∠C,.AB=AC。 易错典例 【例2】C 基础过关 1.B2.B3.证明：：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC是直 角三角形。在R△ADE和R:△BEC中，DE=EC:R△ADE≌R△BEC(HL)。 AD=BE, 4.C5.证明：：EF⊥AC,∠F+∠C=90°。∠ABC=90°，∴∠A十∠C=90°。∠A ∠F=∠A, =∠F。在△FBD和△ABC中，J∠FBD=∠ABC=90°，∴.△FBD≌△ABC(AAS)。 BD=BC, :.BF=AB 能力提升 B7.78,5或109.D证明：在R△ABE和R△CBF中，AB=CB,·Rt△AB Rt△CBF(HL)。(2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∠BCF=∠BAE=23°。：AB=BC, ∠ABC=90°，.∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68。 思维拓展 10.证明：(1)'AD是△ABC的中线，.BD=CD。'BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BED=∠F 第5页（共48页） ∠BED=∠F =90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。∴.BE= BD=CD. CF。(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中， 中，BEC,R△BGE≌R△CAF(HL)。GE= AF。∴GE-AE-AF-AE,即AG=EF。由(I)知△BED≌△CFD,DE=DF=合EF。 .AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。∴.∠ABC=180° ∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE。 :∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD BA=BC, =∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴·△ABD≌△CBE(SAS)。 BD=BE, ∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC,AD =AE,∠BAC=∠DAE=6O°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。(2)解：由 AD=AE, (1)知△ABD≌△ACE,BD=CE=3。:△ADE是等边三角形，.DE=AE=2。∴BE =BD十DE=5.3.证明：(1)：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴.AB=AC,AE =AD。.·∠BAC=∠DAE=90°，，.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE= AB=AC, ∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1) AE-AD. 知△ABE≌△ACD,∴.∠ABE=∠ACD。.∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。 ∴∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。∴.DC⊥BE。4.证明：(1)：△ABC和△CDE 都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°。.∠BCD=180°-∠BCA (CA=CB, -∠ECD=60°。·∠ACD=∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS)。.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由 ∠MAC=∠NBC, (1),得∠ACM=∠BCN=60°。在△ACM和△BCN中，JCA=CB, ∴.△ACM≌ ∠ACM=∠BCN, △BCN(ASA)。∴.CM=CN。:∠MCN=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120° ②AE=BD(2)①·△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴.CA =CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。∴.∠CDB=180°-∠CDE= CE=CD, 135°。在△ACE和△BCD中，J∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS)。.∠CEA= CA=CB, ∠CDB=135°。.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理由如下： :△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°，∠DCE=90, ∴∠DCM=号∠DCE=46=∠CDE。CM=DM,由①知△ACE≌△BCD,AE= BD。∴.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 【例1】证明：，AB=AD,∴.点A在BD的垂直平分线上。：BC=DC,∴点C在BD的垂直 平分线上。AC垂直平分BD。又：点E在AC上，BE=DE。 易错典例 【例2】68°或22 基础过关 1.D2.B3.104.B5.证明：：∠C=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=90°-30°=60°。BD 平分∠ABC,∠ABD=∠ABC=30。·∠A=∠ABD。DA=DB。·点D在线段 AB的垂直平分线上。 能力提升 6.D7.48.证明：(1)：AD∥BC,∠ADE=∠FCE。:E是CD的中点，.DE=CE。 ∠ADE=∠FCE, 在△ADE和△FCE中， DE=CE. .△ADE≌△FCE(ASA)。.FC=AD。 ∠AED=∠FEC, 第6页（共48页）第2课时 直角三角形全等的判定 名师导学 ◆预习先知 基础过关 。◆。逐点击破 新知梳理 知识点1用“HL”证明直角三角形全等 ①定理：斜边和一条直角边分别相等的1.如图，BE=CF,AEL BC,DF LBC,要根据“HL”证明 两个直角三角形全等。这一定理可 Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是() 简述为“斜边、直角边”或“ A.∠A=∠D B.AB=CD ②判定两个直角三角形全等的方法共有 5种，它们分别是“SSS”“SAS”“ASA” C.AE=EF D.∠B=∠C “AAS”“HL”。 ☑例题引路 【例1】（教材P31习题T3 变式)如图，在△ABC中， D是BC的中点，DF⊥ (第1题图) (第2题图) AB,DE⊥AC,垂足分别 2.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1=40°，则∠2的度 是点F,E,AF=AE。 数为 ( 求证：AB=AC。 A.40 B.50° C.60° D.75° 【名师点拨】先利用“H”证明Rt△ADF≌ 3.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AD=BE, Rt△ADE,得到DF=DE,再由“HL” 证Rt△DBF≌Rt△DCE即可. ∠1=∠2。求证：Rt△ADE≌Rt△BEC。 【学生解答】 知识点2用其他方法证明直角三角形全等 4.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是 A.两条直角边分别对应相等 B.斜边和一个锐角分别对应相等 C.两个锐角对应相等 D.斜边和一直角边分别对应相等 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，且 团易错典例 DB=BC,过点D作EF⊥AC,分别交AC于点E,交CB 【例2】如图，已知AB=AD,那么添加下 的延长线于点F。求证：BF=AB。 列一个条件后，仍无法判定△ABC≌ △ADC的是 A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90 【学生解答】 第一章三角形的证明及其应用19 【能力提升 ◆·整合运用 ■思维拓展 ◆◆，强化素养 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB 10.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂 上，AD=AC,DE⊥AB,交BC于点E,连接 足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F, AE。若∠B=28°，则∠AEC的度数为( G是DA的延长线上一点，连接BG。 A.28° B.59° C.60 D.62 (1)求证：BE=CF; MA D N (2)若BG=CA,求证：AG=2DE。 B (第6题图) (第7题图) 7.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D,B,C分 别在直线MN与PQ上，点E在AB上， AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则AB的 长为 8.分类讨论新理念如图，有一个 人 Rt△ABC,∠C=90°，AC=10, BC=5,一条线段PQ=AB,P Q两点分别在AC和过点A且 垂直于AC的射线AX上运动，当AP 时，才能使△ABC与△PQA 全等。 9.(2025·毕节期末)如图，在△ABC中，AB BC,∠ABC=90°，F为AB延长线上一点， 点E在BC上，且AE=CF。 (1)求证：△ABE≌△CBF; (2)若∠BAE=23°，求∠ACF的度数。 20数学Ⅲ八年级下册(BS) 专题五共顶点的等腰三角形— 手拉手模型【回归教材】 B右手 背景：两个共顶点、等顶角的等腰三角形所组成的图形。 左手E 模型解读 已知：如图，CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD。 结论：左拉左，右拉右，围成的两个三角形全等，即△ACE≌△BCD。 左手 (1)等边三角形手拉手： ☆ 常见 模型 (2)等腰三角形手拉手： 呈现 等腰直角三角形 一般等腰三角形 1.如图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，2.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点 BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接 B在ED的延长线上，连接CE。 AD,CE。求证：∠BAD=∠BCE。 (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AE=2,CE=3,求BE的长。 第一章三角形的证明及其应用21 3.如图，已知△ABC与△ADE都是等腰直角5.(1)问题发现：如图①，△ABC和△DCE都 三角形，点B,C,E在同一条直线上，且 是等边三角形，点B,D,E在同一条直线 ∠BAC=∠DAE=90°。 上，连接AE。 求证：(1)△ABE≌△ACD: ①∠AEC的度数为 (2)DC⊥BE。 ②线段AE,BD之间的数量关系为 (2)拓展探究：如图②，△ABC和△DCE都 是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°，点B,D,E在同一条直线上，CM是 △DCE中DE边上的高，连接AE。 ①求∠AEB的度数。 ②判断线段CM,AE,BM之间的数量关 系，并说明理由。 图⑦ 图② 4.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且 点A,C,E在同一条直线上，AD与BC相交 于点M,BE与CD相交于点N,连接MN。 求证：(1)AD=BE; (2)△CMN是等边三角形。 22数学Ⅲ八年级下册(BS)