3 第1课时 直角三角形的性质与判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第1课 【名师导学 ◆◆预习先知 新知梳理 ①定理：(1)直角三角形的两个锐角 ;(2)有两个角互余的三角 形是 ②勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 ③勾股定理的逆定理：如果三角形两边 的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是 三角形。 ④在两个命题中，如果一个命题的条件 和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么这两个命题称为 如果把其中一个命题称为原命题，那 么另一个命题就称为它的 如果一个定理的逆命题经过证明是 真命题，那么它也是一个定理，其中 一个定理称为另一个定理的 ☑例题引路 【例】如图，在△ABC中，∠ACB=37°， ∠BAC=53°，AB=3,BC=4,D是 △ABC外一点，连接CD,AD,且CD= 12,AD=13. (1)求AC的长； (2)求∠BCD的度数。 【学生解答】 3直角三角形 时直角三角形的性质与判定 基础过关 ●，。逐点击破 知识点1直角三角形的性质 1.(2025·贵阳期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°， 则∠B的度数是 A.50° B.60° C.70° D.80° 2.(2025·连云港中考)如图，长为3m的 梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的 h m 距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为 m。 1.8m 知识点2直角三角形的判定 3.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=130°，∠B= 40°，则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,CD=12 5 (1)求AD的长； (2)求证：△ABC是直角三角形。 知识点3逆命题和逆定理 5.下列定理中，没有逆定理的是 A.等腰三角形的两个底角相等 B.直角三角形两个锐角的和等于90° C.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 D.全等三角形的对应角相等 6.命题“如果a2=b,那么a=b”的逆命题是（选填 “真”或“假”)命题。 第一章三角形的证明及其应用17 【能力提升 ◆◆整合运用 7.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是 a,b,c,下列条件中，不能判定△ABC是直角 三角形的是 A.a:b:c=2:3:4 B.∠A+∠B=90° C.∠A：∠B:∠C=1:2：3 D.b2=a2-c2 8.某车站地下通道入口的设计示意图如图所 示，其中AD是运送行人和物品的电动扶 梯，点D在BC的延长线上，BC=1m,AD 14m,AB∥CM∥DN,AB⊥BD,CE⊥AD, ∠BAD=30°。地下通道入口的最大高度 CE的长为 m。 30 9.写出命题“如果一个三角形是直角三角形， 那么它的两个锐角的平分线所夹的锐角是 45”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。 18数学Ⅲ八年级下册(BS) 10.(2025·贵阳期末)劳动教育是新时代教育 体系中的重要组成部分。如图，△ABC区 域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场 地，小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬 菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到AB= 13 m,AC=15 m,AD=12 m,BD=5 m. (1)请判断小路AD是否与BC垂直，并说 明理由； (2)求劳动场地△ABC的面积。 【思维拓展 ◆·强化素养 11.新定义新趋势(2025·河南中考)定义：有 两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角 三角形”。如图，在△ABC中，AB=AC= 5,BC=8,P为边BC上的一点。若△APC 为“反直角三角形”，则BP的长为△AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系为EF=EB十FC。(3)还有等腰三角形，即 △BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：，BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB,∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又：EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC= ∠BCO,∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴.BE=EO,FO=FC,∴.EF=EO+FO= EB+FC。【变式】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。：D为 BC中点，AD⊥BC,AD平分∠BAC。∴∠EAD=∠CAD=∠C=45°。∴.AD=CD。在 AE=CF, △ADE和△CDF中，∠EAD=∠C,△ADE≌△CDF(SAS)。∴.DE=DF。2.证明： AD=CD, 连接BD。:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，∠DBC=号∠ABC=令×60° 30°，∠ACB=60°。CE=CD,∠CDE=∠E。:∠ACB=∠CDE+∠E,2∠E=60。 ∠E=30°。∴∠DBC=∠E=30°。BD=ED。△BDE为等腰三角形。又DM⊥ BC,∴.BM=EM。3.证明：过点A作AE⊥BC于点E。∠CAE十∠C=90°。AB= AC,÷∠CAE=∠BAC。:BD⊥AC,·∠DBC+∠C=90。·∠DBC=∠CAE。 :∠DBC=方∠BAC。4.证明：过点A作AMLBC于点M。AB=AC,∠BAC 2∠BAM。:AD=AE,.∠ADE=∠E。∴∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。∠BAM= ∠E。DE∥AM。AM⊥BC,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和 AB=AE, △AED中，∠B=∠E,∴△ABC≌△AED(SAS),AC=AD。又，点F是CD的中点， BC=ED, .AF⊥CD 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题1】50°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40° 5.120或75°或30°6.34°或28°或22°7.65°或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 新知梳理 ①三260°3一半 例题引路 【例1】解：△DEF是等边三角形。理由如下：：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB =∠CAB=60°。：∠1=∠2=∠3，∴.∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB= 60°。同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形。 易错典例 【例21号 基础过关 1.D2.∠B=60°（答案不唯一）3.证明：DC=DB,·∠DCB=∠B=30°。.∠ADC= ∠DCB+∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,.△ADC是等边三角形。4.35.66.2 能力提升 7.D8.B9.√310.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C。FE⊥BC,.∠CEF=90。 ∠F+∠C=90,∠BDE+∠B=90°。∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA,∴.∠F= ∠FDA。∴AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC,∠DEB=90°。 :∠B=60,∴∠BDE=90-∠B=90-60=30。BE=号BD=号×6=3。：AB= AC,∠B=60,.△ABC是等边三角形。.BC=AB=AD十BD=3+6=9。∴.EC=BC BE=9-3=6。 思维拓展 11.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：∠B=60°，DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60。 由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，..∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B-∠BDF= 60°。∴.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD=90时，点F 在△ABC内，：∠BDF=60°，∴.∠DBF=30°。∴.BD=2DF。由折叠得DF=AD,∴.BD= 2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可得 AD=DF=2BD,∴.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 第4页（共48页） 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 新知梳理 ①互余直角三角形②平方和③直角④互逆命题逆命题逆定理 例题引路 【例】解：(1)：∠ACB=37°，∠BAC=53°，∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-37°-53° =90°。.AC=√AB+BC=√32+4=5。(2)：AC+CD=25+144=169,AD= 169,.AC+CD=AD。.∠ACD=90°。.∠BCD=∠ACD+∠ACB=127°。 基础过关 1,A2.2.43.C4.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC-CD= VP-(得)=9。(2)证明：在R△BCD中，由勾股定理，得BD=√C一CD- V3-(号)=号.∴AB=AD+BD=9+号-5。：+3=5，即AC+BC=AB, 51 .△ABC是直角三角形。5.D6.真 能力提升 7.A8.3J39.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这 个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是∠ABC的平分 D B 线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相交于点O,且∠AOE =45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平分线，AD是∠BAC的平 分线，∠OAB=合∠BAC,∠OBA=号∠ABC.∠OAB+∠OBA=号（∠BAC+ 1 ∠ABC。∠A0E=2(180-∠C)。又：∠A0E=45,:∠C=S0。△ABC是直角 三角形。10.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB=13m,AD=12m,BD=5m,∴AB= 169,AD2+BD=144+25=169。.AB2=AD+BD。.∠ADB=90°。∴AD⊥BC。 (2):AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB=90°，∴.CD=√15-12=9(m)。∴.BC= CD十BD=9+5=14(m。∴劳动场地△ABC的面积为2×14X12=84(m)。 思维拓展 .或号 4 第2课时直角三角形全等的判定 新知梳理 ①HL 例题引路 【例I】证明：连接AD。DF⊥AB,DE⊥AC,∠DFA=∠DEA=90°。在Rt△ADF和 △ADE中，AP二AP,R△ADF≌R△ADECHL,DF=DE。yD是BC的中点 .DB=DC。在Rt△DBF和Rt△DCE中， DE=DE,·Rt△DBF≌Rt△DCE(H), ∴∠B=∠C,.AB=AC。 易错典例 【例2】C 基础过关 1.B2.B3.证明：：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC是直 角三角形。在R△ADE和R:△BEC中，DE=EC:R△ADE≌R△BEC(HL)。 AD=BE, 4.C5.证明：：EF⊥AC,∠F+∠C=90°。∠ABC=90°，∴∠A十∠C=90°。∠A ∠F=∠A, =∠F。在△FBD和△ABC中，J∠FBD=∠ABC=90°，∴.△FBD≌△ABC(AAS)。 BD=BC, :.BF=AB 能力提升 B7.78,5或109.D证明：在R△ABE和R△CBF中，AB=CB,·Rt△AB Rt△CBF(HL)。(2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∠BCF=∠BAE=23°。：AB=BC, ∠ABC=90°，.∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68。 思维拓展 10.证明：(1)'AD是△ABC的中线，.BD=CD。'BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BED=∠F 第5页（共48页） ∠BED=∠F =90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。∴.BE= BD=CD. CF。(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中， 中，BEC,R△BGE≌R△CAF(HL)。GE= AF。∴GE-AE-AF-AE,即AG=EF。由(I)知△BED≌△CFD,DE=DF=合EF。 .AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。∴.∠ABC=180° ∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE。 :∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD BA=BC, =∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴·△ABD≌△CBE(SAS)。 BD=BE, ∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC,AD =AE,∠BAC=∠DAE=6O°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。(2)解：由 AD=AE, (1)知△ABD≌△ACE,BD=CE=3。:△ADE是等边三角形，.DE=AE=2。∴BE =BD十DE=5.3.证明：(1)：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴.AB=AC,AE =AD。.·∠BAC=∠DAE=90°，，.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE= AB=AC, ∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1) AE-AD. 知△ABE≌△ACD,∴.∠ABE=∠ACD。.∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。 ∴∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。∴.DC⊥BE。4.证明：(1)：△ABC和△CDE 都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°。.∠BCD=180°-∠BCA (CA=CB, -∠ECD=60°。·∠ACD=∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS)。.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由 ∠MAC=∠NBC, (1),得∠ACM=∠BCN=60°。在△ACM和△BCN中，JCA=CB, ∴.△ACM≌ ∠ACM=∠BCN, △BCN(ASA)。∴.CM=CN。:∠MCN=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120° ②AE=BD(2)①·△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴.CA =CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。∴.∠CDB=180°-∠CDE= CE=CD, 135°。在△ACE和△BCD中，J∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS)。.∠CEA= CA=CB, ∠CDB=135°。.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理由如下： :△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°，∠DCE=90, ∴∠DCM=号∠DCE=46=∠CDE。CM=DM,由①知△ACE≌△BCD,AE= BD。∴.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 【例1】证明：，AB=AD,∴.点A在BD的垂直平分线上。：BC=DC,∴点C在BD的垂直 平分线上。AC垂直平分BD。又：点E在AC上，BE=DE。 易错典例 【例2】68°或22 基础过关 1.D2.B3.104.B5.证明：：∠C=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=90°-30°=60°。BD 平分∠ABC,∠ABD=∠ABC=30。·∠A=∠ABD。DA=DB。·点D在线段 AB的垂直平分线上。 能力提升 6.D7.48.证明：(1)：AD∥BC,∠ADE=∠FCE。:E是CD的中点，.DE=CE。 ∠ADE=∠FCE, 在△ADE和△FCE中， DE=CE. .△ADE≌△FCE(ASA)。.FC=AD。 ∠AED=∠FEC, 第6页（共48页）