2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

第2课 【名师导学 ◆◆预习先知 新知梳理 ①定理：有两个角 的三角形是 等腰三角形。这一定理可以简述为： 等角对等边。 ②先假设命题的结论不成立，然后推导 出与定义、基本事实、已有定理或已 知条件相 的结果，从而证明 命题的结论一定成立，这种证明方法 称为 ☑例题引路 【例1】如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD, 垂足为D,DE∥AC,交AB于点E。 求证：△BDE是等腰三角形。 【名师点拨】先证明∠EAD=∠EDA,再 由∠B+∠EAD=∠EDA十∠EDB 90°，可得∠B=∠EDB。 【学生解答】 【例2】用反证法证明：一个三角形中不 能有两个钝角。 【学生解答】 等腰三角形的判定与反证法 基础过关 ●·。逐点击破 知识点1等腰三角形的判定 1.三角形两个角的度数如图所示，则该三角 100 形是 ( ）40° A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.（教材P22习题T12变式)如图，上午8时，灯塔C IN 689 一条船从海岛A出发，以20 n mile/h的速度 岛B 向正北航行，10时到达海岛B处。从海岛A, B望灯塔C,测得∠NAC=34°，∠NBC=68°， 岛A 则从海岛B到灯塔C的距离为n mile。. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上一点，∠B= 30°，∠DAB=45°。求证：△ACD是等腰三角形。 知识点2反证法 4.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐 角”时，应先假设 A.三个内角都是锐角 B.三个内角都是钝角 C.三个内角都不是锐角 D.三个内角都不是钝角 5.阅读下列文字，解答问题。 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC。 证明：假设AC=BC。∠A≠45°，∠C=90°，.∠A≠ ∠B。.AC≠BC,这与假设矛盾。AC≠BC。 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方 法；若有错误，请予以纠正。 第一章三角形的证明及其应用11 【能力提升 、♪·整合运用 6.(易错题)如图，C为两个直角三角尺的公共 顶点，∠A=∠B=30°，则图中等腰三角形 共有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第6题图) (第7题图) 7.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 2∠C,将△ABD沿AD所在直线翻折，点B 的对应点为点E。若AC=8,AB=5,则BD 的长为。 8.如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别是 边AB,AC上的动点，BD=CE,BE与CD 交于点O。 (1)求证：△OBC是等腰三角形； (2)当△BDO是以∠ABE为顶角的等腰三 角形时，求∠ABE的度数。 12数学Ⅲ八年级下册(BS) ·思维拓展 ♪◆◆强化素养 9.类比探究新趋势如图，在△ABC中，已知 ∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB: (1)图①中的等腰三角形是 (2)若过点O作一直线EF和边BC平行，与 AB交于点E,与AC交于点F,如图②，则 图②中有哪几个等腰三角形？并直接写出 线段EF和EB,FC之间的数量关系。 (3)若∠ABC≠∠ACB,其他条件不变，如图 ③，则图③中是否还有等腰三角形？ (2)中第二问的关系是否还存在？写出 你的理由。 图① 图② 【变式】（教材P17随堂练习 T1变式)如图，在△ABC中， BC=7,∠ABC和∠ACB的 平分线相交于点D,过点D B 作BC的平行线交AB于点E,交AC于点 F。若△AEF的周长为14，则△ABC的周 长是参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和与全等三角形的性质与判定 新知梳理 ①180°②相等3相等相等 例题引路 【例1】解：：BD⊥AC,∠BDA=90°。：∠A+∠ABD十∠BDA=180°，∴∠ABD= 180°-∠BDA-∠A=180°-90°-54°=36°。∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=48°-36=12°。 易错典例 【例2】A 基础过关 1.A2.C3.64°4.解：三角形内角和为180°，∠A十∠B+∠C=180°。∠A十 ∠B=80∠C=180-80=100。又：∠C=2∠A∠A=合∠C=50。六∠B 弥80°-∠A=80°-50°=30°。 5.B6.3 能力提升 7.A8.49°9.96°10.(1)证明：.AD=BE,.AD+BD=BE+BD,即AB=DE。在 AC=DF. △ABC和△DEF中，∠A=∠EDF,△ABC≌△DEF(SAS)。(2)解：：∠A=∠EDF, AB=DE, ∠A=55°，.∠EDF=55°。又.∠E=45°，.∠F=180°-∠E-∠EDF=180°-45°-55°=80。 思维拓展 11.(1)证明：：MN∥BC,∴.∠B=∠MAB,∠C=∠NAC。:∠MAB+∠NAC+∠BAC 地 180°，.∠B+∠C+∠BAC=180°。(2)解：①30°②：∠P=130°，∠PBC+∠PCB+∠P =180°，∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-130°=50°。：BP,CP分别平分∠ABC, ∠ACB,.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB。.∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB =100°。∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=80°。(3）解：连接BC。∠ABD,∠ACD的 平分线交于点E,∴∠ABE=∠DBE=∠ABD,∠ACE=∠DCE=合∠ACD。'∠DBC +∠DCB=180°-∠D,∴.∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+(∠ABD+∠ACD)=180 -∠A,即180°-∠D十（∠ABD十∠ACD)=180°-∠A,整理，得∠ABD+∠ACD=∠D 0 ∠A.则∠EBC+∠ECB=∠DBC+∠DCB+合（∠ABD+∠ACD)=I8O-∠E,即18O -∠D+2(∠D-∠A)=180°-∠E,整理，得2∠E=∠D+∠A。 第2课时三角形内角和定理的推论 新知梳理 ①和②大于 例题引路 【例】(1)证明：∠ADB是△CBD的外角，∴.∠ADB>∠EBC。(2)解：：∠A=65°， 线 ∠ABD=30°，，.∠CDE=∠A十∠ABD=95°。∠DCE=30°，.∠BEC=∠CDE十 ∠DCE=125°。 基础过关 1.∠1，∠32.D3.C4.C5.解：(1)∠A=35°，∠ACD=83°，∠B=∠ACD-∠A =48°。(2)∠B=48°，∠D=42°，∴.∠AFE=∠B+∠D=90°。 能力提升 6.D7.C8.92°9.解：∠BAC>∠B。理由如下：∠BAC是△ACD的外角，∴∠BAC >∠ACD。:CD平分∠ACE,∴.∠ACD=∠DCE。∠BAC>∠DCE。又：∠DCE是 △BCD的外角，∠DCE>∠B。∠BAC>∠B。10.解：这个零件不合格。理由如下： 连接AD并延长到点E。假设这个零件合格，则∠CDE=∠C+∠CAD,∠BDE=∠B+ ∠BAD,∴.∠CDB=∠CDE+∠BDE=∠B+∠C+∠CAD+∠BAD=∠B+∠C+∠BAC =21°+32°+90°=143°≠148°，.这个零件不合格。 思维拓展 山.1)解：50(2)解：∠P=方∠A(3)证明：BP,CP分别是∠ABC和∠ACD的平分 线，∠PBC=是∠ABC,∠PCD=7∠ACD。·∠P=∠PCD-∠PBC=∠ACD ∠ABC=Z(∠ACD-∠ABC)=Z∠A。 第1页（共48页） 专题一与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 母题：解：：∠A=40°，∴.∠ABC十∠ACB=180°-∠A=140°。：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,∠PBC=号∠ABC,∠PCB=号∠ACB。·∠BPC=180°-（∠PBC+ ∠PCB)=180-合（∠ABC+∠ACB)=110。【延伸向】解：“∠A=,∠ABC+ ∠ACB=180°-∠A=180°-n°。BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,∴.∠PBC= ∠ABC.∠PCB=号∠ACB.∠BPC-1S0-(∠PEBC+∠PCB)=180-(∠ABC 十∠ACB)=90+子。【变式题1】解：1)：∠ACB=70,∠ACD=180°-∠ACB= 110。:B0,C0分别平分∠ABC,∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30°，∠DC0=号∠ACD =55。∴∠0=∠DC0-∠CB0=25。(2)∠0=号∠A。理由如下：B0,C0分别平分 ∠ABC,∠ACD,∴.∠CBO=号∠ABC,∠DCO=号∠ACD.·∠O=∠DC0-∠CBO= 号（∠ACD-∠ABC)=∠A。【变式题2】解：(1）：∠C=70,∠CAB+∠CBA= 180°-∠C=110°。.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=250°。：AD,BD是 △ABC的外角平分线∠DAB=合∠EAB,∠DBA=号∠FBA。·∠DAB+∠DBA= 合（∠EAB+∠FBA)=125.∠D=180-(∠DAB+∠DBA)=55.(2)由题意，得 ∠CAB+∠CBA=180°-∠C。.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+ ∠C。AD,BD是△ABC的外角平分线，∠DAB=号∠EAB,∠DBA=∠FBA. ∴∠DAB+∠DBA=合（∠EAB+∠FBA)=90+2∠C。·∠D=180-(∠DAB+ ∠DBA)=90°-z∠C. 第3课时多边形的内角和 基础过关 1.C2.D3.9104解：由题意，得×(m-2)180°-360=90，解得n=12。∴n的值 为12.5.C6.135° 能力提升 7.A8.B9.360°或540°或720°10.解：(1)：n边形的内角和是(n-2)·180°，.内角和 一定是180°的倍数。2014÷180=11…34，.内角和不可能为2014°。(2)设小华求的 的内角和。由题意，得n2)·180°<2014，解得n<13。∴易得多 数是13，故小华求的是十三边形的内角和。(3)十三边形的内角和是(13一2)×180°= 1980°，2014°-1980°=34°，因此这个外角的度数为34°。 第4课时多边形的外角和 基础过关 1.B2.B3.D4.C5.360°6.解：设这个多边形的边数为n。根据题意，得(n一2)· 180°=4×360°+180°，解得n=11。答：这个多边形的边数是11。 能力提升 7.C8.A9.340°10.解：(1)由题意，得这个正多边形的外角为40°，.这个正多边形的 边数为360°÷40°=9。.10×9=90(m)。答：小明一共走了90m。(2)这个正多边形的内 角和为(9-2)×180°=1260°。 专题二求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M。.∠BOM是△ABO的外角，.∠BOM=∠BAO十 ∠B。:∠COM是△AOC的外角，.∠COM=∠CAO+∠C。∴.∠BOM+∠COM= ∠BAO+∠B+∠CAO+∠C=∠BAC+∠B+∠C,即∠BOC=∠A+∠B+∠C。 (2)140°(3)解法一：解：设AB,CD交于点O。:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴.∠COB= 180°-∠ABC-∠BCD=70°。.∠AOD=∠COB=70°。同(1)，易得∠AED=∠A+∠D +∠AOD=28°+12+70°=110°。解法二：解：连接AD。由题意，易得∠DAB+∠ADC =∠ABC+∠BCD=64°+46=110°。：∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴.∠DAE+∠ADE= (∠DAB+∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°。.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)= 110°。(4)解：如图， 连接AD。同(1)，得∠F十∠2十∠3=∠DEF, A6E0130° 4 1000B 1 D 第2页（共48页） ∠1+∠4+∠C=∠ABC。∴.∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠BAF+∠C+∠CDE+ ∠F=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，即∠A+∠C+∠D+∠F=230°。2.180° 【变式题1】360°【变式题2540° 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 新知梳理 ①相等等角②中线高目相等60 例题引路 AB=AC, 【例1】证明：：△ABC为等边三角形，.AB=AC。在△ABD和△ACD中，BD=CD, AD-AD, ..△ABD≌△ACD(SSS)。.∠BAD=∠CAD。.AE⊥BC。 易错典例 【例2】80°或50 基础过关 1.C2.C3.证明：DE∥AC,.∠EDA=∠CAD。AE=ED,.∠EAD=∠EDA。 ∠EAD=∠CAD。,AB=AC,.AD⊥BC。4.C5.15 能力提升 6.D7.D8.45°9.(1)证明：.AB=AC,∠CBA=45°，.∠ACB=∠CBA=45°。 ∠CAB=180°-∠ACB-∠CBA=90°。.AC⊥AB。(2)解：△ACD是等边三角形， ∠DAC=60°，AD=AC。:∠CAB=90°，AC=AB,∴.∠DAB=∠DAC+∠CAB=150°， AD=AB.∴∠DBA=(180-∠DAB)=I5.六∠DBC=∠ABC∠DBA=30, 思维拓展 10.解：(1)△ABD与△ACE全等。理由如下：.△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三 角形，∴.∠BAC=∠DAE=40°，AB=AC,AD=AE。∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE- AB=AC, ∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌ AD=AE, △ACE(SAS)。(2),△ABC和△ADE均为等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=∠ADE=∠AED=60°。.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE。在△ABD和△ACE中，J∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。.∠ADB AD=AE, =∠AEC。,∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，∠AEC=120°。.∠BEC= ∠AEC-∠AED=60°。 第2课时等腰三角形的判定与反证法 新知梳理 ①相等②矛盾反证法 例题引路 【例I】证明：：DE∥AC,∴.∠CAD=∠EDA。AD平分∠BAC,.∠CAD=∠EAD。 ∠EAD=∠EDA。:AD⊥BD,∴.∠ADB=90°。∴∠EAD+∠B=9O°，∠EDA+ ∠BDE=90°。∠B=∠BDE。∴BE=DE。△BDE是等腰三角形。【例2】证明：假 设在△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，则∠A十∠B>180°，而∠C>0°， ∴∠A十∠B十∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立。.一个三角形中 不能有两个钝角。 基础过关 1.C2.403.证明：AB=AC,.∠C=∠B=30°。∠DAB=45°，.∠ADC=∠B十 ∠DAB=75°。.∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75°。.∠DAC=∠ADC。.AC=CD。 .△ACD是等腰三角形。4.C5.解：有错误。改正如下：假设AC=BC,则∠A=∠B。 :∠C=90°，∠B=∠A=45°，这与∠A≠45矛盾。.AC=BC不成立。AC≠BC。 能力提升 6.D7.38.(1)证明：，△ABC是等边三角形，.∠DBC=∠ECB=60°。在△BCD和 BD=CE, △CBE中，∠DBC=∠ECB,∴.△BCD≌△CBE(SAS)。·∠BCD=∠CBE。∴.OB= BC=CB, OC。.△OBC是等腰三角形。(2)解：由(1)得∠BCD=∠CBE,∠ABC=60°，设∠BCD= ∠CBE=x,则∠ABE=60°-x,∠BOD=∠BCD+∠CBE=2x,:'△BDO是以∠ABE为 顶角的等腰三角形，.BD=OB。.∠BDO=∠BOD=2x。∠ABE十∠BDO十∠BOD= 180°，.60°-x十2x十2x=180°，解得x=40°。∠ABE=60°-40°=20°。 思维拓展 9.解：(1)△ABC,△BOC (2)有5个等腰三角形：△ABC,△BOC,△BEO,△CFO, 第3页（共48页） △AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系为EF=EB十FC。(3)还有等腰三角形，即 △BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：，BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB,∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又：EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC= ∠BCO,∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴.BE=EO,FO=FC,∴.EF=EO+FO= EB+FC。【变式】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°。：D为 BC中点，AD⊥BC,AD平分∠BAC。∴∠EAD=∠CAD=∠C=45°。∴.AD=CD。在 AE=CF, △ADE和△CDF中，∠EAD=∠C,△ADE≌△CDF(SAS)。∴.DE=DF。2.证明： AD=CD, 连接BD。:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，∠DBC=号∠ABC=令×60° 30°，∠ACB=60°。CE=CD,∠CDE=∠E。:∠ACB=∠CDE+∠E,2∠E=60。 ∠E=30°。∴∠DBC=∠E=30°。BD=ED。△BDE为等腰三角形。又DM⊥ BC,∴.BM=EM。3.证明：过点A作AE⊥BC于点E。∠CAE十∠C=90°。AB= AC,÷∠CAE=∠BAC。:BD⊥AC,·∠DBC+∠C=90。·∠DBC=∠CAE。 :∠DBC=方∠BAC。4.证明：过点A作AMLBC于点M。AB=AC,∠BAC 2∠BAM。:AD=AE,.∠ADE=∠E。∴∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。∠BAM= ∠E。DE∥AM。AM⊥BC,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和 AB=AE, △AED中，∠B=∠E,∴△ABC≌△AED(SAS),AC=AD。又，点F是CD的中点， BC=ED, .AF⊥CD 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.C2.103.94°【变式题1】50°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40° 5.120或75°或30°6.34°或28°或22°7.65°或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 新知梳理 ①三260°3一半 例题引路 【例1】解：△DEF是等边三角形。理由如下：：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB =∠CAB=60°。：∠1=∠2=∠3，∴.∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB= 60°。同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形。 易错典例 【例21号 基础过关 1.D2.∠B=60°（答案不唯一）3.证明：DC=DB,·∠DCB=∠B=30°。.∠ADC= ∠DCB+∠B=30°+30°=60°。又：AD=DC,.△ADC是等边三角形。4.35.66.2 能力提升 7.D8.B9.√310.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C。FE⊥BC,.∠CEF=90。 ∠F+∠C=90,∠BDE+∠B=90°。∠F=∠BDE。:∠BDE=∠FDA,∴.∠F= ∠FDA。∴AF=AD。.△ADF是等腰三角形。(2)解：：DE⊥BC,∠DEB=90°。 :∠B=60,∴∠BDE=90-∠B=90-60=30。BE=号BD=号×6=3。：AB= AC,∠B=60,.△ABC是等边三角形。.BC=AB=AD十BD=3+6=9。∴.EC=BC BE=9-3=6。 思维拓展 11.解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：∠B=60°，DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60。 由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°，..∠BDF=60°。∴.∠DFB=180°-∠B-∠BDF= 60°。∴.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD=90时，点F 在△ABC内，：∠BDF=60°，∴.∠DBF=30°。∴.BD=2DF。由折叠得DF=AD,∴.BD= 2AD。.3AD=9。.AD=3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可得 AD=DF=2BD,∴.AD=6。综上所述，AD的长为3或6。 答图① 答图② 第4页（共48页） 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 新知梳理 ①互余直角三角形②平方和③直角④互逆命题逆命题逆定理 例题引路 【例】解：(1)：∠ACB=37°，∠BAC=53°，∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-37°-53° =90°。.AC=√AB+BC=√32+4=5。(2)：AC+CD=25+144=169,AD= 169,.AC+CD=AD。.∠ACD=90°。.∠BCD=∠ACD+∠ACB=127°。 基础过关 1,A2.2.43.C4.(1)解：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC-CD= VP-(得)=9。(2)证明：在R△BCD中，由勾股定理，得BD=√C一CD- V3-(号)=号.∴AB=AD+BD=9+号-5。：+3=5，即AC+BC=AB, 51 .△ABC是直角三角形。5.D6.真 能力提升 7.A8.3J39.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这 个三角形是直角三角形。已知：如图， 在△ABC中，BE是∠ABC的平分 D B 线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相交于点O,且∠AOE =45°。求证：△ABC是直角三角形。证明：：BE是∠ABC的平分线，AD是∠BAC的平 分线，∠OAB=合∠BAC,∠OBA=号∠ABC.∠OAB+∠OBA=号（∠BAC+ 1 ∠ABC。∠A0E=2(180-∠C)。又：∠A0E=45,:∠C=S0。△ABC是直角 三角形。10.解：(1)AD⊥BC。理由如下：：AB=13m,AD=12m,BD=5m,∴AB= 169,AD2+BD=144+25=169。.AB2=AD+BD。.∠ADB=90°。∴AD⊥BC。 (2):AC=15m,AD=12m,∠ADC=∠ADB=90°，∴.CD=√15-12=9(m)。∴.BC= CD十BD=9+5=14(m。∴劳动场地△ABC的面积为2×14X12=84(m)。 思维拓展 .或号 4 第2课时直角三角形全等的判定 新知梳理 ①HL 例题引路 【例I】证明：连接AD。DF⊥AB,DE⊥AC,∠DFA=∠DEA=90°。在Rt△ADF和 △ADE中，AP二AP,R△ADF≌R△ADECHL,DF=DE。yD是BC的中点 .DB=DC。在Rt△DBF和Rt△DCE中， DE=DE,·Rt△DBF≌Rt△DCE(H), ∴∠B=∠C,.AB=AC。 易错典例 【例2】C 基础过关 1.B2.B3.证明：：∠1=∠2，∴.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴.△ADE和△BEC是直 角三角形。在R△ADE和R:△BEC中，DE=EC:R△ADE≌R△BEC(HL)。 AD=BE, 4.C5.证明：：EF⊥AC,∠F+∠C=90°。∠ABC=90°，∴∠A十∠C=90°。∠A ∠F=∠A, =∠F。在△FBD和△ABC中，J∠FBD=∠ABC=90°，∴.△FBD≌△ABC(AAS)。 BD=BC, :.BF=AB 能力提升 B7.78,5或109.D证明：在R△ABE和R△CBF中，AB=CB,·Rt△AB Rt△CBF(HL)。(2)解：：Rt△ABE≌Rt△CBF,∠BCF=∠BAE=23°。：AB=BC, ∠ABC=90°，.∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68。 思维拓展 10.证明：(1)'AD是△ABC的中线，.BD=CD。'BE⊥AD,CF⊥AD,∴.∠BED=∠F 第5页（共48页） ∠BED=∠F =90°。在△BED和△CFD中，∠BDE=∠CDF,.△BED≌△CFD(AAS)。∴.BE= BD=CD. CF。(2)在Rt△BGE和Rt△CAF中， 中，BEC,R△BGE≌R△CAF(HL)。GE= AF。∴GE-AE-AF-AE,即AG=EF。由(I)知△BED≌△CFD,DE=DF=合EF。 .AG=EF=2DE。 专题五共顶点的等腰三角形一手拉手模型【回归教材】 1.证明：：BA=BC,BD=BE,∴.∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED。∴.∠ABC=180° ∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE。 :∠BAC=∠BDE,∴∠ABC=∠DBE。∴.∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD BA=BC, =∠CBE。在△ABD和△CBE中，∠ABD=∠CBE,∴·△ABD≌△CBE(SAS)。 BD=BE, ∴∠BAD=∠BCE。2.(1)证明：：△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC,AD =AE,∠BAC=∠DAE=6O°。∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= AB=AC, ∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。(2)解：由 AD=AE, (1)知△ABD≌△ACE,BD=CE=3。:△ADE是等边三角形，.DE=AE=2。∴BE =BD十DE=5.3.证明：(1)：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴.AB=AC,AE =AD。.·∠BAC=∠DAE=90°，，.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE= AB=AC, ∠CAD。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD(SAS)。(2)由(1) AE-AD. 知△ABE≌△ACD,∴.∠ABE=∠ACD。.∠BAC=90°，∴.∠ABE+∠ACB=90°。 ∴∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。∴.DC⊥BE。4.证明：(1)：△ABC和△CDE 都是等边三角形，.CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°。.∠BCD=180°-∠BCA (CA=CB, -∠ECD=60°。·∠ACD=∠BCE=120°。在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, .△ACD≌△BCE(SAS)。.AD=BE。(2):△ACD≌△BCE,∴.∠DAC=∠EBC。由 ∠MAC=∠NBC, (1),得∠ACM=∠BCN=60°。在△ACM和△BCN中，JCA=CB, ∴.△ACM≌ ∠ACM=∠BCN, △BCN(ASA)。∴.CM=CN。:∠MCN=60°，∴.△CMN是等边三角形。5.解：(1)①120° ②AE=BD(2)①·△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴.CA =CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD。.∠CDE=∠CED=45°。∴.∠CDB=180°-∠CDE= CE=CD, 135°。在△ACE和△BCD中，J∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS)。.∠CEA= CA=CB, ∠CDB=135°。.∠AEB=∠CEA-∠CED=90°。②CM+AE=BM。理由如下： :△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠CDE=45°，∠DCE=90, ∴∠DCM=号∠DCE=46=∠CDE。CM=DM,由①知△ACE≌△BCD,AE= BD。∴.CM+AE=DM+BD=BM。 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 【例1】证明：，AB=AD,∴.点A在BD的垂直平分线上。：BC=DC,∴点C在BD的垂直 平分线上。AC垂直平分BD。又：点E在AC上，BE=DE。 易错典例 【例2】68°或22 基础过关 1.D2.B3.104.B5.证明：：∠C=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=90°-30°=60°。BD 平分∠ABC,∠ABD=∠ABC=30。·∠A=∠ABD。DA=DB。·点D在线段 AB的垂直平分线上。 能力提升 6.D7.48.证明：(1)：AD∥BC,∠ADE=∠FCE。:E是CD的中点，.DE=CE。 ∠ADE=∠FCE, 在△ADE和△FCE中， DE=CE. .△ADE≌△FCE(ASA)。.FC=AD。 ∠AED=∠FEC, 第6页（共48页）