第4章 因式分解 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

∠ABC=90。∴∠AEB=90。∴AB=VAE+BE=50m,:SaE=AE·BE=AB·EP,X40X30=合X50X EF。EF=24m。在Rt△BEF中，BF=√BE-EF=18m。①当BE=BH时，点H在H1的位置，.BH1=30m。AH1= AB-BH1=20m。②当EB=EH时，点H在H2的位置，易得H2F=BF=18m。∴.AH2=AB-BF-H2F=14m。③当HB= HE时，点H在H3的位置，设H3F=xm,则HE=H3B=(18十x)m。H3E=HF2十EF2,.(18十x)=x2+242,解得x=7, 即H3F=7m。.BH3=25m。.AH3=AB-BH3=25m。综上所述，AH的长为20m或14m或25m。 第四章综合评价 1.B2.A3.D4.A5.C6.A7.A8.A【解析】x=-8,.x-4x2+4x2+1=x2(x2-4x十4)十1=x2(x-2)2+1=[x(x -2)]+1=[(-8)×(-8-2)]+1=6401。故选A。9.4ab210.(x-√10)211.-112.0.27元13.11或-13 14.202615.解：原式=(4x十3)2.16.解：情况一：2x2十4x-1十2x2-4x=4x2-1=(2x-1)(2x十1)。情况二：2x2十4x-1+ 2x2十8x十1=4x2十12x=4x(x十3)。情况三：2x2十8x+1十2x2-4x=4x2十4x十1=(2x十1)。（选择一种情况即可）17.解：原 式=2(a-3)2-a(a-3)=(a-3)(2a-6-a)=(a-3)(a-6)。当a=2时，原式=(2-3)×(2-6)=-1×(-4)=4.18.解： 原式=200.1×(7.6+4.3-1.9)=200.1×10=2001.19.解：(1)①(2)原式=9a(x-y)-46(x-y)=(x-y)(9a-4b2)= (x-y)(3a+2b)(3a-2b)。20.解：剩余部分的面积为a-46=(a+2b)(a-2b)。当a=18dm,b=6dm时，原式=(18+2×6) ×(18-2×6)=30×6=180(dm)。即剩余部分的面积为180dm。21.解：：甲看错了a的值，分解的结果是(x十1)(x+9)= x2十10x十9，b=9。乙看错了b的值，分解的结果是(x-2)(x-4)=x2-6x十8，∴a=-6。.这个多项式是x2-6x十9。 x2-6.x十9=(x-3)2.22.解：m=n十2，n2=m十2，m2-n2=n-m。.(m2-n2)十(m-n)=0。∴.(m十n)(m-n)十(m -n)=0。.(m-n)(m十n+1)=0。m≠n,.n十n十1=0，即m十n=-1。.m2-2nn十n2=m·m2-2mn十n·n2=m(n十2) -2mm十n(m十2)=mn+2-2mn十mn十2n=2m十2n=2(m十n)=-2.23.解：(1)令x-y=A,原式=1+6A十9A=(1十3A)2。 将“A"还原，可以得到：原式=(1十3x-3y)2。(2)令a2-4a=B,则原式=(B+1)(B+7)十9=B+8B十16=(B十4)2。将“B”还 原，可以得到：原式=(a-4a十4)=(a-2)。24.解：(1)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由如下：，(2n十1)2 (2m-1)2=(2n十1十2m-1)(2n十1一2n十1)=4n·2=8n。.由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数。(2)S阴影福分=392 372+352-332+…+7-52+32-1=(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+…十(7+5)(7-5)+(3+1)(3-1)=(39+37+ 35+…十3+1)X2=800.25.解：(1)原式=(x2-a2)+(x十a)=(x十a)(x-a)+(x十a)=(x十a)(x-a十1)。(2)原式=(B 2bc十c2)-a2=(b-c)2-a=(b-c十a)(b-c-a)。(3)△ABC是等腰三角形或者直角三角形。理由如下：a-6十c2-ac2=(a -6)+(62-a2c2)=(a2+6)(a2-6)-2(a2-6)=(a2-6)(a+b-c2)=(a+b)(a-b)(a2+6-c2)=0。a,b,c是△ABC的三边 长，.a>0,b>0,c>0。.a十b>0。a-b=0或a2+b-c2=0。当a-b=0时，a=b。此时△ABC是等腰三角形。当a2+形- c2=0时，a2十b2=c2。此时△ABC是直角三角形。综上所述，△ABC是等腰三角形或者直角三角形。26.解：(1)x2十3x十2= (x十1)(x+2)(2)如答图①，a2+4ab+3b=(a+b)(a十3b)。(3)如答图②，9a2+12ab+kb2=(3a十2b)2=9a2+12ab+46;如答 图③，9a2+12ab+b=(3a十3b)(3a+b)=3(a十b)(3a十b)=9a2+12ab+3b。∴.k的值为4或3。 aa bb a a bb b 答图① 答图② 答图③ 第五章综合评价 1C2B3B4C5.D6D7A8B9行10.4山.92.号1B.-寻149815.解：原式-是(x-D -3-2卫·协 x+1 x+1(x+2)2 x十1 ,16.解：因为分式中分母不能为零，所以x≠1。方程的两 边都乘3(x-1D,得3x一3(x-1)=2。解这个方程，得x=号，经检验=号是原方程的根。17.解：2x十y-3=0,2x十y 第33页（共48页）第四章综合评价 至 (时间：120分钟满分：120分) 壶 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 煞 A.（x+2y)2=x2+4xy+4y2 B.x2-4y2=(x-2y)(x+2y) C.a2-3ab+a=a(3a-b) D.x2-4x-1=x(x-4)-1 2.对多项式(a十b)(a-b)十(a-b)提取公因式(a-b)后，剩下的一个因式为 A.a+b+1 B.2a C.2 D.a+b 3.下列各式能用完全平方公式分解因式的是 A.x2+2xy-y B.x2+xy+y2 C.-x2+2xy+y2 D.f-yy 4.若a十b=3,a-b=7,则b2-a2的值为 A.-21 B.21 C.-10 D.10 5.小明在抄分解因式的题日时，不小心漏抄了二项式x2-(○y(“(○”表示漏抄的部分)中y 型 前的式子。若该二项式能因式分解，则（不可能是 A.x B.4 C.-9 D.16 6.取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式 x-y,因式分解的结果是(x-y)(x十y)(x2+y2),当x=9,y=9时，各个因式的值是x-y=0, x十y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为六位数的密码。对于多项式4x3-xy2,取 x=10,y=10时，用上述方法产生的密码可以是 ( A.101030 B.010103 C.100130 D.301001 7.若a为实数，则整数a(a2-1)一a2+1的值 ( A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0 8.《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。在现代， 利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优算法。例如，当x=8时，求多项式 3x3-4x2-35.x+8的值，按照秦九韶算法，可先将多项式3x3-4x2-35x+8进行改写：3x3 4x2一35.x+8=x(3x2一4x一35)+8=x[x(3x一4)一35]+8。按改写后的方式计算与直接计算 墨 相比节省了乘法次数，使计算量减少。参考上述方法，当x=一8时，多项式x一4x3十4x2+1 的值为 A.6401 B.6399 C.-6399 D.-6401 第1页（共6页） 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.多项式8a3b2+12abc的公因式是 10.分解因式：x2-2√J10x+10= 11.如果(x十4)(x-3)是x2-m.x-12的因式，那么m的值是。 12.如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的内径d=0.45,外径D= 0.75m,长l=3m,利用因式分解计算制作一节这样的管道需要 m3的混凝土。（结果 保留π) 13.若关于x的二次三项式x2十(m+1)x十36可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 14.已知a+2b=1,则代数式a一4b2+4b+2025的值为 三、解答题（共12小题，计78分。解答题应写出过程） 15.(本题满分5分)因式分解：16x2+24x+9。 16.（本题满分5分)给出三个多项式：2x2十4x一1,2x2+8x十1,2x2一4x。请选择你最喜欢的两个 多项式进行加法运算，并把结果因式分解。 17.(本题满分5分)先因式分解，再代入求值：2(a一3)2+a(3-a),其中a=2。 第2页（共6页） 18.(本题满分5分)利用因式分解计算： 7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1。 19.（本题满分5分)小华同学分解因式9a(x一y)十4b(y一x)的过程如下，请认真阅读，并解答下 列问题。 解：原式=9a2(x-y)+4b(x-y)① =(x-y)(9a2+4b2)② =(x-y)(3a+2b)③。 (1)以上解答过程从第 步开始出现错误；（填序号） (2)请你写出正确的解答过程。 20.(本题满分5分)如图，在一个边长为α的正方形木板上，挖掉四个边长为b的小正方形，计算 当a=18dm,b=6dm时，剩余部分的面积。 第3页（共6页） 21.(本题满分6分)在分解因式x2十ax十b时，甲看错了a的值，分解的结果是(x+1)(x十9)；乙 看错了b的值，分解的结果是(x一2)(x一4)，求x2十ax十b分解因式的正确结果。 22.（本题满分7分)已知m2=n十2，n2=m十2(m≠n),求m3一2mn+n3的值。 23.（本题满分7分)【阅读材料】 因式分解：(x十y)2十2(x+y)十1。 解：将“x+y”看成整体，令x十y=A,则原式=A2+2A十1=(A十1)2。再将“A”还原，可以得 到：原式=（x十y+1)2。 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法。 【问题解决】 因式分解：(1)1+6(x-y)+9(x-y); (2)(a2-4a+1)(a2-4a+7)+9。 第4页（共6页） 24.（本题满分8分)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特 数”，例如：8=32一12,16=52一32,24=72一52，则8,16,24这三个数都是奇特数。 (1)设两个连续奇数是2一1和2十1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是 8的倍数吗？为什么？ (2)如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为 39,求阴影部分的面积。 B 25.（本题满分8分)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a十3ab-4一6b因式分解。 【观察】 经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式=(2a-4)+(3ab-6b)=2(a-2)+3b(a-2)=(a-2)(2+3b)。 【类比】 (1)请用以上方法将x2一a2+x十a因式分解； 【挑战】 (2)请用以上方法将b2一a2+c2一2bc因式分解； 【应用】 (3)已知△ABC的三边长a,b,c满足条件：a一b+bc2一a2c2=0,判断△ABC的形状，并说明 理由。 第5页（共6页） 26.(本题满分12分)(1)如图①所示的四个图形可拼成如图②所示的一个大长方形，据此写出一 个多项式的因式分解： (2)如图③，有足够多的边长为a的大正方形，长为a、宽为b的长方形和边长为b的小正方形， 利用拼图将多项式a2十4ab+3b进行因式分解，画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式9a2+12ab十kb(k为正整数)可以用拼图法因式分解，求k的值。 口0口0 b口bg 图① 图② 图③ 第6页（共6页）