3 第1课时 直角三角形的性质与判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

第1课 【名师导学 ◆◆预习先知 新知梳理 ①定理：(1)直角三角形的两个锐角 ;(2)有两个角互余的三角 形是 ②勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 ③勾股定理的逆定理：如果三角形两边 的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是三角形。 ④在两个命题中，如果一个命题的条件 和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么这两个命题称为 如果把其中一个命题称为原命题，那 么另一个命题就称为它的 如果一个定理的逆命题经过证明是 真命题，那么它也是一个定理，其中 一个定理称为另一个定理的 ☑例题引路 【例】如图，在△ABC中，∠ACB=37°， ∠BAC=53°，AB=3,BC=4,D是 △ABC外一点，连接CD,AD,且CD= 12,AD=13. (1)求AC的长； (2)求∠BCD的度数。 【学生解答】 17第一章三角形的证明及其应用 3直角三角形 时直角三角形的性质与判定 基础过关 ◆，◆逐点击破 知识点1直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，则∠B的度数 是 ) A.50° B.60° C.70 D.80° 2.(2025·连云港中考)如图，长为3m的 梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的 h m 距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为 m。 1.8m 知识点2直角三角形的判定 3.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=130°，∠B= 40°，则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D D.钝角三角形 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,CD=12 5 (1)求AD的长； (2)求证：△ABC是直角三角形。 知识点3逆命题和逆定理 5.下列定理中，没有逆定理的是 A.等腰三角形的两个底角相等 B.直角三角形两个锐角的和等于90° C.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 D.全等三角形的对应角相等 6.命题“如果a2=b,那么a=b”的逆命题是（选填 “真”或“假”)命题。 【能力提升 ···整合运用 7.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是 a,b,c,下列条件中，不能判定△ABC是直角 三角形的是 ( A.a:b:c=2:3:4 B.∠A+∠B=90° C.∠A：∠B:∠C=1:2:3 D.b2=a2-c2 8.生产生活情境化某车站地下通道入口的设 计示意图如图所示，其中AD是运送行人和 物品的电动扶梯，点D在BC的延长线上， BC=1m,AD=14m,AB∥CM∥DN, AB⊥BD,CE⊥AD,∠BAD=30°。地下通 道人口的最大高度CE的长为 m。 30 9.(2025·渭南临渭区期末)某农场有一块菜 地如图所示，现测得AB=12m,BC=13m, CD=4m,AD=3m,∠D=90°，求这块菜地 的面积。 10.写出命题“如果一个三角形是直角三角形， 那么它的两个锐角的平分线所夹的锐角是 45”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。 思维拓展 ◆◆◆强化素养 11.(2025·西安长安区期中)一副直角三角板 如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥ CF,∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A= 60°，AC=10,则CD= D 数学八年级下册(BS)183直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 新知梳理 ①互余直角三角形②平方和③直角④互逆命题逆命题逆定理 例题引路 【例】解：(1)：∠ACB=37°，∠BAC=53°，六.∠B=180°-∠ACB-∠BAC=180°-37°-53°=90°。∴.AC=√AB+BC= √3+4平=5。(2)AC+CD=25+144=169,AD=169,∴.AC+CD2=AD。.∠ACD=90°。.∠BCD=∠ACD+∠ACB= 127°。 基础过关 1A2243.C41)解：在R△ACD中，由勾股定理，得AD=VAC-CD-√F-(皆)-点.(2)证明：在R△BCD 中，由勾股定理，得BD=√BC-CD-√3-（得） =号.AB=AD+BD=9+号=5。十3=5，即AC+B=AB, 5 .△ABC是直角三角形。5.D6.真 能力提升 7.A8.3√39.解：连接AC。在Rt△ADC中，AC=√/AD+CD严=5m。在△CAB中，：AC+AB=169,BC2=169,∴.AC+ AB=BC。÷△CAB为直角三角形，且∠CAB=90。SB=Sae6-Sae=2AC·AB-号AD·CD=24(m)。 10.解：逆 命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角形是直角三角形。已知：如图，在△ABC中，BE是 ∠ABC的平分线，交AC于点E,AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,BE和AD相交于点O,且∠AOE=45°。求证：△ABC是 直角三角形，证明：BE是∠ABC的平分线，AD是∠BAC的平分线，∠OAB=立∠BAC,∠OBA- 号∠ABC。∠OAB+∠0BA=(∠BAC+∠ABC).∠A0E=2180-∠O。又：∠A0E=45,.∠C =90°。∴.△ABC是直角三角形。 思维拓展 11.15-53 第2课时直角三角形全等的判定 新知梳理 ①HL 例题引路 【例I】证明：连接AD。:DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠DFA=∠DEA=90°。在Rt△ADF和Rt△ADE中， IAD=AD,:.R△ADF≌ AF=AE, DB=DC, Rt△ADE(HL),.DF=DE。D是BC的中点，.DB=DC。在Rt△DBF和Rt△DCE中， ,.Rt△DBF≌Rt△DCE(HL), DF=DE. ∴.∠B=∠C,.AB=AC。 易错典例 【例2】C 基础过关 1.B2.B3.证明：：∠1=∠2，.DE=CE。:∠A=∠B=90°，∴△ADE和△BEC是直角三角形。在Rt△ADE和Rt△BEC 中， DE=EC:R△ADE≌R△BEC(HL)。4.C5.证明：EFLAC,∠F+∠C=90。∠ABC=90,∠A+∠C= AD=BE. ∠F=∠A, 90°。∴.∠A=∠F。在△FBD和△ABC中，∠FBD=∠ABC=90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)。.BF=AB。 BD=BC, 能力提升 6.77.5或108.(1)证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF:R△ABE≌R△CBF(H)。(2)解：R△ABE≌ AB=CB. Rt△CBF,·∠BCF=∠BAE=23°。·AB=BC,∠ABC=90°，∴.∠ACB=45°。∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB=23°+45°=68°。 第5页（共48页）