2 第3课时 等边三角形的判定与含30角的直角三角形的性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

第3课时 等边三 【名师导学 。预习先知 同新知梳理 ①定理： 个角都相等的三角形是 等边三角形。 ②定理：有一个角等于 的等腰 三角形是等边三角形。 ③定理：在直角三角形中，如果一个锐 角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的 ☑例题引路 【例1】如图，△ABC是等边三角形，且 ∠1=∠2=∠3，判断△DEF的形状， 并说明理由。 【名师点拨】利用三个角都相等证明 △DEF是等边三角形。 【学生解答】 易错典例 【例2】如图，等边 △ABC中，D为AB 的中点，过点D作 DF⊥AC于点F,过 B 点F作FE⊥BC于点E。若AF=3, 则线段BE的长为 【易错剖析】无法准确结合含30°角的 直角三角形的性质推断出线段之间的 数量关系致错。 【学生解答】 15第一章三角形的证明及其应用 角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 【基础过关 ●·●逐点击破 知识点1等边三角形的判定 1.(2025·宝鸡陈仓区期末)下列推理中，不能判断△ABC是 等边三角形的是 A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°，∠B=60° D.AB=AC,且∠B=∠C 2.半开放性题新趋势(2025·资阳中考)如图， 在四边形ABCD中，∠A=∠B,点E在线 段AB上，CE∥AD。要使△BCE成为等边 三角形，可增加的一个条件是 3.如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD=DC= DB,∠B=30°。求证：△ADC是等边三角形。 知识点2含30°角的直角三角形的性质 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6,∠A=30°，则BC 的长为 B 30 A D B (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，一棵树在距离地面2m处折断了，倒下的部分与地 面形成了30°的夹角，这棵树原来的高度是m。 6.如图，点C为直线AB上一个定点，点D为直线AB上一 个动点，直线AB外有一点P,CP=4,∠PCB=30°，当PD 最短时，PD的长是，此时CD的长度为。 【能力提升 、◆，整合运用 7.(教材P21习题T8变式)如图，△ADE是等 边三角形，DE∥BC.若AD=2,BD=3,则 BC的长为 A.1 B.2 C.3 D.5 (第7题图) (第8题图) 8.（教材P20随堂练习T2变式)如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,CD 是AB边上的高，则AD的长为 A.5 B.6 C.7 D.8 B 9.(2025·南充中考)如图，C ∠AOB=90°，在射线OB上 &D 取一点C,以点O为圆心，o EA OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于 点D,连接CD并延长，交射线OA于点E. 若OC=1,则OE的长是 10.(教材P21习题T7变式)如图，△ABC是 等腰三角形，AB=AC,点D是AB上一点， 过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA 的延长线于点F。 (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=6,AD=3,求EC的长。 【思维拓展 ♪◆◆强化素养 11.在△ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动 点，过点D作DE∥BC,交AC于点E,将 △ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F。 (1)如图，若点F恰好落在边BC上，判断 △BDF的形状，并证明； (2)分类讨论新理念若AB=9,当△BDF 是直角三角形时，求AD的长。 备用图 提示 清完成阶段微测试（一）[1.1~1.2] 数学八年级下册(BS)16思维拓展 9.解：(1)△ABC,△BOC(2)有5个等腰三角形：△ABC,△BOC,△BEO,△CFO,△AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系 为EF=EB+FC。(3)还有等腰三角形，即△BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：：BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB,∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC= ∠FCO,.BE=EO,FO=FC,∴.EF=EO十FO=EB+FC。【变式题】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°。D为BC中点，AD⊥BC,AD平分∠BAC。 AE=CF, ∴∠EAD=∠CAD=∠C=45°。∴AD=CD。在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠C,∴△ADE≌△CDF(SAS)。∴DE=DF。 AD=CD, 2.证明：连接BD。:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点∠DBC=∠ABC=号X60=30,∠ACB=60。:CE= CD,∠CDE=∠E。:∠ACB=∠CDE+∠E,.2∠E=60°。∠E=30°。∠DBC=∠E=30°。BD=ED。.△BDE为等 腰三角形。又DM LBC,∴.BM=EM。3.证明：过点A作AE⊥BC于点E。∴∠CAE十∠C=90°。AB=AC,∠CAE= 名∠BAC.:BD1AC∠DBC+∠C-90,∠DBC=∠CAE。∠DBC=号∠BAC。4证明：过点A作AM1BC于点 M。AB=AC,∠BAC=2∠BAM。:AD=AE,.∠ADE=∠E。∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。∠BAM=∠E。 AB=AE, .DE∥AM。:AM⊥BC,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和△AED中，∠B=∠E,∴.△ABC≌△AED(SAS)。 BC=ED, AC=AD。又点F是CD的中点，.AF⊥CD。 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.52.103.94°【变式题1】50°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40°5.120°或75°或30°6.34°或28°或22 7.65°或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 新知梳理 ①三②60°3一半 例题引路 【例1】解：△DEF是等边三角形。理由如下：：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°。，∠1=∠2=∠3， .∠DFE=∠3十∠FAC=∠1十∠FAC=∠CAB=60°。同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形。 易错典例 【例2号 基础过关 1.D2.∠B=60°（答案不唯一）3.证明：DC=DB,.∠DCB=∠B=30°。.∠ADC=∠DCB十∠B=30°+30°=60°。又 :AD=DC,.△ADC是等边三角形。4.35.66.22√ 能力提升 7.D8.B9.√310.(1)证明：AB=AC,∴∠B=∠C。:FE⊥BC,∴.∠CEF=90°。∴.∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90。 ∠F=∠BDE。∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA。AF=AD。△ADF是等腰三角形。(2)解：DE⊥BC,∠DEB= 90.“∠B=60∠BDE=90-∠B=90-60=30.BE=BD=号×6=3。：AB=AC,∠B=60,△ABC是等边三角 形。.BC=AB=AD+BD=3十6=9。∴.EC=BC-BE=9-3=6。 思维拓展 11,解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：：∠B=60°，DE∥BC,.∠ADE=∠B=60°。由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°， ∴∠BDF=60°。∴∠DFB=180°-∠B-∠BDF=60°。∴.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD= 90时，点F在△ABC内，：∠BDF=60°，∠DBF=30°。.BD=2DF。由折叠得DF=AD,BD=2AD。3AD=9。∴.AD= 3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可得AD=DF=2BD,.3BD=9。∴.BD=3。.AD=6。综上所述，AD 的长为3或6。 答图① 答图② 第4页（共48页）