2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 新知梳理 ①相等等角②中线高国相等60 例题引路 AB=AC, 【例1】证明：，△ABC为等边三角形，∴.AB=AC。在△ABD和△ACD中，BD=CD,.△ABD≌△ACD(SSS)。∴.∠BAD= AD=AD, ∠CAD。∴.AE⊥BC。 易错典例 【例2】80°或50 基础过关 1.C2.C3.证明：DE∥AC,∠EDA=∠CAD。AE=ED,∴∠EAD=∠EDA。.∠EAD=∠CAD。:AB=AC, .AD⊥BC。4.C5.15° 能力提升 6.D7.45°8.30°或15°9.证明：：△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC=60°。CD=CE,∴.∠CED=∠CDE。 :∠ACB=∠CED+∠CDE,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30.:BD=ED,∠CBD=∠CED=30.÷∠ABD=∠ABC ∠CBD=0°。∴∠ABD=∠CBD。.BD是△ABC的角平分线。：△ABC是等边三角形，∴.BD是△ABC的AC边上的中线。 .D为AC的中点。 思维拓展 10,解：(1)△ABD与△ACE全等。理由如下：，△ABC与△ADE均是顶角为40的等腰三角形，∴.∠BAC=∠DAE=40°，AB=AC,AD AB=AC, =AE。.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。 AD=AE, (2)△ABC和△ADE均为等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°。∴∠BAC-∠DAC= AB=AC, ∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。∴.∠ADB= AD-AE. ∠AEC。∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，.∠AEC=120°。.∠BEC=∠AEC-∠AED=60°。 第2课时等腰三角形的判定与反证法 新知梳理 ①相等②矛盾反证法 例题引路 【例1】证明：DE∥AC,.∠CAD=∠EDA。AD平分∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD。.∠EAD=∠EDA。:AD⊥BD, ∠ADB=90°。∠EAD十∠B=90°，∠EDA十∠BDE=90°。∴∠B=∠BDE。.BE=DE。.△BDE是等腰三角形。 【例2】证明：假设在△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，则∠A十∠B>180°，而∠C>0°，∴.∠A十∠B+∠C>180°， 这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立。.一个三角形中不能有两个钝角。 基础过关 1.C2.403.证明：AB=AC,.∠C=∠B=30°。∠DAB=45°，.∠ADC=∠B+∠DAB=75°。∴∠DAC=180°-∠ADC -∠C=75°。∠DAC=∠ADC。.AC=CD。△ACD是等腰三角形。4.C5.解：有错误。改正如下：假设AC=BC,则 ∠A=∠B。:∠C=90°，∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾。.AC=BC不成立。.AC≠BC。 能力提升 BD=CE, 6.D7.38.(1)证明：△ABC是等边三角形，∴∠DBC=∠ECB=60°。在△BCD和△CBE中，∠DBC=∠ECB,∴△BCD≌ BC=CB. △CBE(SAS)。∴.∠BCD=∠CBE。.OB=OC。.△OBC是等腰三角形。(2)解：由(1)得∠BCD=∠CBE,∠ABC=60°，设 ∠BCD=∠CBE=x,则∠ABE=60°-x,∠BOD=∠BCD十∠CBE=2x。:△BDO是以∠ABE为顶角的等腰三角形，∴.BD=OB。 .∠BDO=∠BOD=2x。∠ABE+∠BDO+∠BOD=180°，.60°-x+2x+2x=180°，解得x=40°。∴.∠ABE=60°-40°= 20°。 第3页（共48页） 思维拓展 9.解：(1)△ABC,△BOC(2)有5个等腰三角形：△ABC,△BOC,△BEO,△CFO,△AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系 为EF=EB+FC。(3)还有等腰三角形，即△BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：：BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB,∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC= ∠FCO,.BE=EO,FO=FC,∴.EF=EO十FO=EB+FC。【变式题】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°。D为BC中点，AD⊥BC,AD平分∠BAC。 AE=CF, ∴∠EAD=∠CAD=∠C=45°。∴AD=CD。在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠C,∴△ADE≌△CDF(SAS)。∴DE=DF。 AD=CD, 2.证明：连接BD。:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点∠DBC=∠ABC=号X60=30,∠ACB=60。:CE= CD,∠CDE=∠E。:∠ACB=∠CDE+∠E,.2∠E=60°。∠E=30°。∠DBC=∠E=30°。BD=ED。.△BDE为等 腰三角形。又DM LBC,∴.BM=EM。3.证明：过点A作AE⊥BC于点E。∴∠CAE十∠C=90°。AB=AC,∠CAE= 名∠BAC.:BD1AC∠DBC+∠C-90,∠DBC=∠CAE。∠DBC=号∠BAC。4证明：过点A作AM1BC于点 M。AB=AC,∠BAC=2∠BAM。:AD=AE,.∠ADE=∠E。∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。∠BAM=∠E。 AB=AE, .DE∥AM。:AM⊥BC,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和△AED中，∠B=∠E,∴.△ABC≌△AED(SAS)。 BC=ED, AC=AD。又点F是CD的中点，.AF⊥CD。 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.52.103.94°【变式题1】50°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40°5.120°或75°或30°6.34°或28°或22 7.65°或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 新知梳理 ①三②60°3一半 例题引路 【例1】解：△DEF是等边三角形。理由如下：：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°。，∠1=∠2=∠3， .∠DFE=∠3十∠FAC=∠1十∠FAC=∠CAB=60°。同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形。 易错典例 【例2号 基础过关 1.D2.∠B=60°（答案不唯一）3.证明：DC=DB,.∠DCB=∠B=30°。.∠ADC=∠DCB十∠B=30°+30°=60°。又 :AD=DC,.△ADC是等边三角形。4.35.66.22√ 能力提升 7.D8.B9.√310.(1)证明：AB=AC,∴∠B=∠C。:FE⊥BC,∴.∠CEF=90°。∴.∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90。 ∠F=∠BDE。∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA。AF=AD。△ADF是等腰三角形。(2)解：DE⊥BC,∠DEB= 90.“∠B=60∠BDE=90-∠B=90-60=30.BE=BD=号×6=3。：AB=AC,∠B=60,△ABC是等边三角 形。.BC=AB=AD+BD=3十6=9。∴.EC=BC-BE=9-3=6。 思维拓展 11,解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：：∠B=60°，DE∥BC,.∠ADE=∠B=60°。由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°， ∴∠BDF=60°。∴∠DFB=180°-∠B-∠BDF=60°。∴.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD= 90时，点F在△ABC内，：∠BDF=60°，∠DBF=30°。.BD=2DF。由折叠得DF=AD,BD=2AD。3AD=9。∴.AD= 3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可得AD=DF=2BD,.3BD=9。∴.BD=3。.AD=6。综上所述，AD 的长为3或6。 答图① 答图② 第4页（共48页）第2课 【名师导学 ◆◆预习先知 新知梳理 ①定理：有两个角 的三角形是 等腰三角形。这一定理可以简述为： 等角对等边。 ②先假设命题的结论不成立，然后推导 出与定义、基本事实、已有定理或已 知条件相 的结果，从而证明 命题的结论一定成立，这种证明方法 称为 ☑例题引路 【例1】如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD, 垂足为D,DE∥AC,交AB于点E。 求证：△BDE是等腰三角形。 【名师点拨】先证明∠EAD=∠EDA,再 由∠B+∠EAD=∠EDA+∠EDB= 90°，可得∠B=∠EDB。 【学生解答】 【例2】用反证法证明：一个三角形中不 能有两个钝角。 【学生解答】 11第一章三角形的证明及其应用 等腰三角形的判定与反证法 基础过关 ●·。逐点击破 知识点1等腰三角形的判定 1.三角形两个角的度数如图所示，则该三角 100 形是 ( ）40° A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.（教材P22习题T12变式)如图，上午8时，灯塔C IN 689 一条船从海岛A出发，以20 n mile/h的速度 岛B 向正北航行，10时到达海岛B处。从海岛A, B望灯塔C,测得∠NAC=34°，∠NBC=68°， 岛A 则从海岛B到灯塔C的距离为n mile。 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上一点，∠B= 30°，∠DAB=45°。求证：△ACD是等腰三角形。 知识点2反证法 4.用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐 角”时，应先假设 A.三个内角都是锐角 B.三个内角都是钝角 C.三个内角都不是锐角 D.三个内角都不是钝角 5.阅读下列文字，解答问题。 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC。 证明：假设AC=BC。∠A≠45°，∠C=90°，.∠A≠ ∠B。.AC≠BC,这与假设矛盾。AC≠BC。 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方 法；若有错误，请予以纠正。 【能力提升 ···整合运用 6.(2025·西安长安区月考)如图，∠B=∠C= 36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰 三角形的个数为 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 (第6题图) (第7题图) 7.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 2∠C,将△ABD沿AD所在直线翻折，点B 的对应点为点E。若AC=8,AB=5,则BD 的长为 8.如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别是 边AB,AC上的动点，BD=CE,BE与CD 交于点O。 (1)求证：△OBC是等腰三角形； (2)当△BDO是以∠ABE为顶角的等腰三 角形时，求∠ABE的度数。 【思维拓展 ◆◆◆强化素养 9.类比探究新趋势如图，在△ABC中，已知 ∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB: (1)图①中的等腰三角形是 (2)若过点O作一直线EF和边BC平行， 与AB交于点E,与AC交于点F,如图 ②，则图②中有哪几个等腰三角形？并 直接写出线段EF和EB,FC之间的数 量关系。 (3)若∠ABC≠∠ACB,其他条件不变，如图 ③，则图③中是否还有等腰三角形？(2) 中第二问的关系是否还存在？写出你的 理由。 1 【变式题】（教材P17随堂练 习T1变式)如图，在△ABC 中，BC=7,∠ABC和∠ACB 的平分线相交于点D,过点 B D作BC的平行线交AB于点E,交AC于 点F。若△AEF的周长为14，则△ABC的 周长是。 数学八年级下册(BS)12