2 第1课时 等腰三角形与等边三角形的性质-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

第1课时 【名师导学 ◆，预习先知 新知梳理 ①等腰三角形的两底角 这 定理可以简述为：等边对 ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的 、底边上的 重合。 ③等边三角形的三个内角都 并且每个角都等于 ☑例题引路 【例1】如图，D是等边 三角形ABC中一点， 连接BD,CD,AD的延 长线交BC于点E。若 BD=CD,求证：AE⊥BC 【名师点拨】先利用“SSS”证明△ABD≌ △ACD,得出∠BAD=∠CAD,再由等 腰三角形“三线合一”的性质即可证出。 【学生解答】 钮易错典例 【例2】已知等腰三角形的一个内角为 80°，则等腰三角形的底角的度数为 【易错剖析】首先要讨论80°的角是顶 角还是底角，再利用等腰三角形的性质 和三角形内角和定理求出底角的度数。 【学生解答】 9第一章三角形的证明及其应用 2等腰三角形 等腰三角形与等边三角形的性质 【基础过关 ●●·逐点击破 知识点1等腰三角形的性质 1.已知等腰三角形顶角的度数是40°，则底角的度数为( A.60 B.65 C.70 D.75 2.如图，为了让杆DE垂直插于地面，工程人员从杆DE上一 点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,然后将 杆插在BC的中点处（点B,E,C在同一直线上），这种操作 方法的依据是 A.等边对等角 D B.等角对等边 C.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线 R/ 7十77十T7777 及底边上的高重合 D.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 3.如图，在△ABC中，AB=AC,过BC边上一点D作DE∥ AC,交AB于点E,且AE=DE。求证：AD⊥BC。 知识点2等边三角形的性质 4.如图，△ABC是等边三角形，点D在AB边上。若∠BCD= 13°，则∠ADC的度数为 A.45 B.60° C.73 D.77 (第4题图) (第5题图) 5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,垂足为D,点E在 线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE的度数为 【能力提升 ◆♪》整合运用 6.建筑测量情境化古建筑中的房梁三角架的示 意图如图所示。在△ABC中，AB=AC,D是BC 的中点，连接AD,E是AC上一点，且AD=DE。 若∠BAC=110°，则∠ADE的度数为( B D A.55° B.60° C.62.5°D.70° 7.如图，已知等边三角形纸片ABC,点E在 AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使 点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥ BC,则∠EFD的度数为 R (第7题图) (第8题图) 8.分类讨论新理念(2025·咸阳渭城区期中) 如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，点 D为AB边上一动点（不与点A,B重合），当 △BCD为等腰三角形时，∠ACD的度数是 9.(2025·安康旬阳市期末)如图，在等边三角 形ABC中，D是边AC上的一点，点E在边 BC的延长线上，若BD=ED,CD=CE。求 证：D为AC的中点。 【思维拓展 ◆·强化素养 10.(1)如图①，△ABC与△ADE均是顶角为 40°的等腰三角形，BC,DE分别是底边， △ABD与△ACE全等吗？为什么？ (2)如图②，△ABC和△ADE均为等边三 角形，点B,D,E在同一直线上，连接 CE,求∠BEC的度数。 图① 图② 数学八年级下册(BS)102等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 新知梳理 ①相等等角②中线高国相等60 例题引路 AB=AC, 【例1】证明：，△ABC为等边三角形，∴.AB=AC。在△ABD和△ACD中，BD=CD,.△ABD≌△ACD(SSS)。∴.∠BAD= AD=AD, ∠CAD。∴.AE⊥BC。 易错典例 【例2】80°或50 基础过关 1.C2.C3.证明：DE∥AC,∠EDA=∠CAD。AE=ED,∴∠EAD=∠EDA。.∠EAD=∠CAD。:AB=AC, .AD⊥BC。4.C5.15° 能力提升 6.D7.45°8.30°或15°9.证明：：△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=∠ABC=60°。CD=CE,∴.∠CED=∠CDE。 :∠ACB=∠CED+∠CDE,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30.:BD=ED,∠CBD=∠CED=30.÷∠ABD=∠ABC ∠CBD=0°。∴∠ABD=∠CBD。.BD是△ABC的角平分线。：△ABC是等边三角形，∴.BD是△ABC的AC边上的中线。 .D为AC的中点。 思维拓展 10,解：(1)△ABD与△ACE全等。理由如下：，△ABC与△ADE均是顶角为40的等腰三角形，∴.∠BAC=∠DAE=40°，AB=AC,AD AB=AC, =AE。.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。 AD=AE, (2)△ABC和△ADE均为等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ADE=∠AED=60°。∴∠BAC-∠DAC= AB=AC, ∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)。∴.∠ADB= AD-AE. ∠AEC。∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°，.∠AEC=120°。.∠BEC=∠AEC-∠AED=60°。 第2课时等腰三角形的判定与反证法 新知梳理 ①相等②矛盾反证法 例题引路 【例1】证明：DE∥AC,.∠CAD=∠EDA。AD平分∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD。.∠EAD=∠EDA。:AD⊥BD, ∠ADB=90°。∠EAD十∠B=90°，∠EDA十∠BDE=90°。∴∠B=∠BDE。.BE=DE。.△BDE是等腰三角形。 【例2】证明：假设在△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，则∠A十∠B>180°，而∠C>0°，∴.∠A十∠B+∠C>180°， 这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立。.一个三角形中不能有两个钝角。 基础过关 1.C2.403.证明：AB=AC,.∠C=∠B=30°。∠DAB=45°，.∠ADC=∠B+∠DAB=75°。∴∠DAC=180°-∠ADC -∠C=75°。∠DAC=∠ADC。.AC=CD。△ACD是等腰三角形。4.C5.解：有错误。改正如下：假设AC=BC,则 ∠A=∠B。:∠C=90°，∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾。.AC=BC不成立。.AC≠BC。 能力提升 BD=CE, 6.D7.38.(1)证明：△ABC是等边三角形，∴∠DBC=∠ECB=60°。在△BCD和△CBE中，∠DBC=∠ECB,∴△BCD≌ BC=CB. △CBE(SAS)。∴.∠BCD=∠CBE。.OB=OC。.△OBC是等腰三角形。(2)解：由(1)得∠BCD=∠CBE,∠ABC=60°，设 ∠BCD=∠CBE=x,则∠ABE=60°-x,∠BOD=∠BCD十∠CBE=2x。:△BDO是以∠ABE为顶角的等腰三角形，∴.BD=OB。 .∠BDO=∠BOD=2x。∠ABE+∠BDO+∠BOD=180°，.60°-x+2x+2x=180°，解得x=40°。∴.∠ABE=60°-40°= 20°。 第3页（共48页）