1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理（教学课件）数学新教材湘教版七年级下册

该初中数学课件聚焦整式乘法中乘法公式的运用，通过回顾平方差公式和完全平方公式导入，以“做一做”例题引导学生观察式子特征，调整运算顺序连续运用公式，搭建从基础公式到复杂运算的学习支架。 其亮点在于采用换元、分组等转化策略，结合“整体思想”例题（如将(a+b+c)²看作(a+b)+c的平方），培养学生符号意识与推理能力。课堂小结提炼“移位置、整体、转化”方法，助力学生形成严谨运算习惯，教师可借助分层练习提升教学效率。

1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 第一章 整式的乘法 【新教材】湘教版·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征，能准确识别并运用公式进行整式乘法运算。 能通过换元、分组等转化策略，将复杂整式运算转化为符合乘法公式的形式，提升运算的准确性与灵活性。 在公式应用中体会转化、归纳的数学思想，发展符号意识与严谨的代数运算习惯。 新知导入 回顾： 什么是平方差公式和完全平方公式？ 平方差公式： (x+y)(xy)=x2y2 完全平方公式2： (xy)2=x22xy+y2 完全平方公式1： (x+y)2=x2+2xy+y2 注意 x,y可以是单项式，也可以是多项式。 新知探究 做一做：运用乘法公式计算： (x+1)(x2+1)(x1). 先观察式子特征，看能否运用乘法公式。 = x4 1. 解：原式 = (x+1)(x1)(x2 +1) = (x21)(x2+1) 交换律 = [(x+1)(x1)](x2 +1) 结合律 运用交换律和结合律改变运算顺序，再连续运用平方差公式. 新知探究 举一反三：运用乘法公式计算： (3x1)(9x2+1)(3x+1). = 81x4 1. 解：原式 = [(3x1)(3x+1)](9x2+1) = (9x21)(9x2+1) 例题精讲 将其中几项看成一个整体 ，从而构造出特殊的结构，利 用乘法公式简化计算 . 例7 运用乘法公式计算： （1） (a+b+c)2 ； （2） (a–b+c)(a+b–c). =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 解：(1) (a+b+c)2 x,y可以是单项式，也可以是多项式。 把a+b看成一个整体 例题精讲 （2） (a–b+c)(a+b–c). 解：原式=[a–(b–c)][a+(b–c)] =a2–(b–c)2 =a2–(b2–2bc+c2) =a2–b2+2bc–c2. 找符号相同的项和符号相反的项，符号相同的项作为“x”，符号相反的项作为“y”. 例题精讲 例8 运用乘法公式计算： (1) (a+b)2+(ab)2； (2) (a+b)2(ab)2。 解：(a+b)2+(ab)2 =a2+2ab+b2+a22ab+b2 =2a2+2b2 已知a+b和ab，求a2+b2： a2+b2= 例题精讲 (2) (a+b)2(ab)2。 解：(a+b)2(ab)2 =[(a+b)+(ab)][(a+b)(ab)] =2a·2b =4ab 解：(a+b)2(ab)2 = a2+2ab+b2a2+2abb2 = 4ab 法一 法二 已知a+b和ab，求ab： ab= 新知探究 1.已知a+b和ab，求a2+b2、(ab)2： a2+b2=2ab (ab)2=(a+b)24ab 2.已知ab和ab，求a2+b2、(ab)2： a2+b2=(a+b)2=(ab)2+4ab 3.已知a+b和ab，求a2+b2、ab： a2+b2= ab= 例题精讲 例9 运用乘法公式计算: (x+y)3 . 解：原式=(x+y)(x+y)2 =(x+y)(x2+2xy+y2) =x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3 =x3+3x2y+3xy2+y3. 新知探究 思考： 先填空：(1) 152=100×1×___＋25； (2) 252=100×2× ＋25； (3) 352=100× × ＋ . 由此猜测：十位数字是a、个位数字是5的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100×___× ＋ . 2 3 3 4 25 a (a＋1) 25 10a+5 课堂小结 三招利用乘法公式简化计算 : 1. 移位置 : 有时交换位置，改变运算顺序，可利用乘法公式简化计算 . 2. 整体 : 有时将其中几项看成一个整体 ，从而构造出特殊的结构，利 用 乘法公式简化计算 . 3. 转化 : 将较复杂的未知问题，经过变形，转化为可轻易解决或已解决的问题 . 课堂练习 题型一 乘法公式在计算中的应用 1.运用乘法公式计算： (1)(x+2y)(x24y2)(x2y). (2)(a+b3)(ab+3). (3)(x2+x3)(x2x3). 解： (1)原式=[(x+2y)(x2y)](x24y2)=(x24y2)(x24y2)=x48x2y2+16y4. (2)原式=[a+(b3)][a(b3)]=a2(b3)2=a2(b26b+9)=a2b2+6b9. (3)原式=(x23+x)(x23x)=(x23)2x2=x46x2+9x2=x47x2+9. 课堂练习 题型二 乘法公式在整除问题中的应用 2.观察：(2+3)222=7×3；(4+3)242=11×3. 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除. 验证：(1) (6+3)262的结果是3的_______倍； (2) 设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 15 (2) 由题意得偶数为2n，比2n大3的数为(2n+3)， 所以(2n+3)2(2n)2=(2n+3+2n)(2n+32n ) = 3 ( 4 n+ 3 ). 因为4n+3为整数， 所以3(4n+3)能被3整除. 巩固作业 1.达标作业：教材P21—22练习T1、2、3； 2.提升作业：教材P22 习题1.2—学而时习之T4； 3.拓展作业：教材P22 习题1.2—温故而知新T5、6、7. 感谢聆听! $