20.1勾股定理(十大题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1勾股定理（十大题型） 目录 题型一、勾股树（数）问题 2 题型二、勾股定理与无理数 3 题型三、用勾股定理理解三角形 4 题型四、已知两点坐标求两点距离 4 题型五、边长面积问题 5 题型六、勾股定理与网格问题 6 题型七、勾股定理的证明方法 8 题型八、以弦图为背景的计算题 9 题型九、勾股定理折叠问题 11 题型十、用勾股定理构造图形解决问题 13 题型 核心知识点 ⚠️ 易错点与特别注意 题型一 勾股树（数） a b c S₁+S₂ = S₃ 以直角三角形三边向外作正方形，两小正方形面积和等于大正方形面积。 勾股树无限延伸 • 分清斜边对应的大正方形，避免面积加减错位。 • 多个勾股树嵌套时用整体面积减去重叠。 • 等腰直角三角形斜边 = × 直角边。 题型二 勾股与无理数 2 1 在数轴上构造直角三角形，斜边长即无理数（如 , ）。原点起，圆弧交数轴。 • 尺规作图必须保留圆弧痕迹。 • 负半轴对称，勿漏 −。 • 核心拆解：。 题型三 理解三角形 高 底 直接使用a²+b²=c²（直角）；非直角三角形作高构造直角三角形。 • 优先“双勾股”列方程，避免盲目设未知数。 • 钝角三角形高可能在外部。 • 30°、45°特殊三边比例快速求解。 题型四 坐标距离 (x₁,y₁) (x₂,y₂) d = 水平、竖直直角边。 • 横纵坐标差对应直角边，不是简单相减。 • 结果保留最简二次根式，不化为小数。 题型五 边长面积 已知两边及夹角作高；已知三边用面积法求高；斜边高 h=。 • 已知两边及第三边高，可能有两解（锐角/钝角）。 • 灵活运用面积恒等，避免复杂方程。 题型六 网格问题 利用网格线垂直特性，斜线段作为直角三角形斜边，格点距离求斜边长。 • 边长常为无理数，验证是否为有理数。 • 垂直判定：斜率积=-1 或 1:2与2:1对角线。 • 割补法或皮克定理求面积。 题型七 证明方法 面积法：赵爽弦图、总统证法、毕达哥拉斯拼图。整体面积 = 各部分面积和。 • 证明逻辑清晰：总面积 = 小面积 + 4×直角三角形。 • 必须标注全等三角形，字母标记明确。 题型八 弦图计算 赵爽弦图：c² = (a-b)² + 2ab，大正方形=小正方形+4×直角△。 • 中间小正方形边长 = |a-b|。 • 联立方程组求a,b,c，注意勾股弦称谓。 题型九 折叠问题 折叠前后对应边相等、角相等。折痕是对称轴，在直角三角形中列勾股方程。 • 关键：找出折叠后形成的直角三角形。 • 长方形、直角三角形纸片是常客。 • 设未知数，利用勾股列方程。 题型十 构造图形 最短路径（圆柱/长方体展开）、测量问题（树折断、梯子滑动）、动态最值。 • 立体图形必须展开成平面，再连线。 • 实际问题需写答并检验合理性。 • 将实际问题抽象为直角三角形模型。 通用解题策略 1 直角优先 · 找/构直角 2 设元列方程 · 平方关系 3 数形结合 · 根号联想斜边 4 折叠对称 · 对应边相等 ⑤ 网格无惧 · 构造Rt△ 题型一、勾股树（数）问题 1．下列各组数是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．5，12，13 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（  ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 3．勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 4．下列各组数中，是一组勾股数的是（　　） A．1，1， B． C． D．5，12，13 5．下列各组数是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 题型二、勾股定理与无理数 6．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 7．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 8．如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是　　　　. 9．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为 ． 10．如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为 ． 题型三、用勾股定理理解三角形 11．已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为（    ） A．3 B． C．3或 D．6 12．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 13．某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形（），如图，钢架的长为13米，中柱（D为的中点）的长为5米，则的长为 米． 14．如图是直角三角形，，以直角三角形的三条边向外作三个等边三角形，则的面积为 ． 15．一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型四、已知两点坐标求两点距离 16．已知点，，则线段的长为 17．点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 18．若点的坐标为，则点到轴的距离是 ，到原点的距离是 ． 19．如图所示是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为，球员C的位置为. (1)请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出球员B的位置坐标； (3)求出球员B与球员A的距离. 20．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型五、边长面积问题 21．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 24．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 25．如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，． （1）计算： ； （2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则 ． 题型六、勾股定理与网格问题 26．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 27．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 28．如图，在的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（    ） A． B． C． D． 29．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为 ． 30．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个顶点叫做格点． (1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为的正方形； (2)在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，． 题型七、勾股定理的证明方法 31．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 32．下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 33．勾股定理是几何学中的明珠，它的证明方法已超过五百种．我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理，它由四个如图1的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示．用它证明勾股定理的思路是用两种求法来表示同一个图形的面积，从而得到等式． (1)在图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即_____；也可直接表示为大正方形边长的平方，即_____，所以_____，勾股定理得到了验证． (2)小数同学发现，把两个图1的直角三角形（，）按图3摆放（其中点在上）构造图形，也可以验证勾股定理．请按下列小数同学的思路进行验证． ①求证：． ②用两种方法表示同一图形的面积验证勾股定理． 34．如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（c为斜边）． （1）请利用“赵爽弦图”证明结论：（为斜边）． 【动手试一试】 （2）现有三边长为的直角三角形若干个，边长为的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限． （3）用其中一个图形证明（提示：用面积法） 35．（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 题型八、以弦图为背景的计算题 36．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 37．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 38．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 39．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 40．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 题型九、勾股定理折叠问题 41．如图，长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内的点C′处，与交于点E．，则（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 42．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 43．如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 44．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为 ． 45．如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 题型十、用勾股定理构造图形解决问题 46．如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 47．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为 尺． 48．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 49．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． B． C． D． 50．如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理（十大题型） 1．下列各组数是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是指能构成直角三角形三边的一组正整数，需满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A：，，，不是勾股数； B：，，不是正整数，不是勾股数； C：，不是正整数，不是勾股数； D：，，即，且均为正整数，是勾股数． 故选：D． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（  ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的判定，需依据勾股数的定义：若三个正整数a、b、c满足，则称这三个数为勾股数，通过计算各选项中两小边的平方和是否等于最大边的平方来判断即可． 【详解】解：A、，，，不是勾股数， B、，，，是勾股数， C、，，，不是勾股数， D、，，，不是勾股数， 故选B． 3．勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 4．下列各组数中，是一组勾股数的是（　　） A．1，1， B． C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：不是整数，不是勾股数； 选项B：都不是整数，不是勾股数； 选项C：都不是整数，不是勾股数； 选项D：5，12，13都是正整数，且，是勾股数； 故选：D． 5．下列各组数是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、和是小数，不是正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数； 、、不是整数，不符合勾股数定义，不是勾股数； 、是分数，不是正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数； 、均为正整数，且，符合勾股数定义，是勾股数； 故选：． 6．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与数轴上实数的对应关系，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再结合点的位置确定其符号． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长度分别为2和1， 根据勾股定理，斜边的长度为； ∵点在原点的左侧，且原点到点的距离等于该斜边的长度， ∴点表示的实数是． 故答案为：． 7．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点M表示的实数是． 故选：C． 8．如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是　　　　. 【答案】【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,所以斜边长为=,所以-1到点A的距离是,那么点A所表示的数为-1. 答案:-1 9．如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，由题意可得，由勾股定理可得，结合题意得出，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在数轴上A、B两点所表示的数是，， ∴， ∵与数轴垂直，且， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 10．如图，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，点是以点为圆心，为半径画弧与数轴的交点，数轴上点，表示的数分别为，．化简为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，二次根式性质的化简与求值，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据勾股定理求得，，求得，，代入式子后根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知，根据勾股定理： ， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．已知直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三边的长为（    ） A．3 B． C．3或 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是对已知两边长进行分类讨论，明确哪条边是斜边，避免漏解． 分两种情况讨论，当5为直角边时，第三边为斜边，利用勾股定理计算；当5为斜边时，第三边为直角边，再利用勾股定理计算，得到两种可能的结果． 【详解】解：当5为直角边时，第三边为斜边，； 当5为斜边时，第三边为直角边，． 所以第三边的长为3或． 故选：C． 12．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长，题目未明确已知两边是直角边还是斜边． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和4 当3和4为两条直角边时 由勾股定理得，第三边长为； 当4为斜边，3为直角边时 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为5或， 故选：D． 13．某建筑屋顶的钢架截面的主体结构是等腰三角形（），如图，钢架的长为13米，中柱（D为的中点）的长为5米，则的长为 米． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，勾股定理． 根据等腰三角形三线合一得到，，根据勾股定理求出米，即可求出的长． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∵钢架的长为13米，中柱的长为5米， ∴米， ∴米． 故答案为：． 14．如图是直角三角形，，以直角三角形的三条边向外作三个等边三角形，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，利用二次根式的性质化简等知识点． 先由勾股定理求解，过点作于点，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求解，最后由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 过点作于点， ∵等边， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，由勾股定理可得，再由题意得到，则，据此可得答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为， ∴， 又∵三边的平方和为338， ∴， ∴，即， 解得或（舍去） ∴斜边长为13， 故选：C． 16．已知点，，则线段的长为 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离公式：已知在平面直角坐标系中有两点，则这两点间的距离公式为，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可得． 【详解】解：∵点，， ∴． 故答案为：． 17．点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点的坐标，勾股定理．先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：∵点C在第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度， ∴点距离x轴个单位长度， ∴点的坐标为． 故选：B． 18．若点的坐标为，则点到轴的距离是 ，到原点的距离是 ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查点到坐标轴的距离以及勾股定理，熟练掌握点坐标与点到坐标轴的关系是解题的关键． 点到轴的距离为纵坐标的绝对值，点到原点的距离可用勾股定理求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为， ∴点到原点的距离为， 故答案为：，． 19．如图所示是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为，球员C的位置为. (1)请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出球员B的位置坐标； (3)求出球员B与球员A的距离. 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标，建立适当的直角坐标系是解题的关键． （1）先根据球员A，球员C的坐标建立直角坐标系即可； （2）由（1）中直角坐标系确定球员B的坐标即可； （3）利用勾股定理即可求得距离． 【详解】（1）解：∵球员A的位置为，球员C的位置为， ∴以点A所在的直线上方1个单位的直线为x轴，点C所在直线为y轴建立直角坐标系， 如图所示，平面直角坐标系即为所求： （2）解：由（1）图象可知，此时球员B的坐标为． （3）解：∵，， ∴． 20．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 21．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 22．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出，即可求解． 【详解】解：设，，， ∴依题意得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 23．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， ∵中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，， ∴ ∴， 即 ∵， ∵， ∴ ∴阴影部分的面积， 故选：A． 24．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求六个小正方形的面积之和． 【详解】解：根据勾股定理知：，，， ∴． 故答案为：． 25．如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，． （1）计算： ； （2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则 ． 【答案】 4 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，判定，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，所以，利用同样方法可得到，即可得到答案； （2）据此类推， ；再计算即可． 【详解】解：（1）如图： 图中的四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ． 故答案是：4； （2）由（1）可知，这7个正方形摆放的规律是斜放的正方形面积等于左右两边正方形面积之和． ； ； ； ； ． 故答案为：2500． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质，规律探索，熟练掌握以上知识点并找到规律是解题的关键． 26．如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出线段的长度即可； （2）根据等腰三角形的三线合一，作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：， 即线段的长度为5． （2）解：取的中点D，连接，则即为的角平分线． 根据图形可得：， ∴， ∵， ∴平分． 27．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先作出，再根据，取格点，作线段，取格点，使得，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则，最后由勾股定理计算即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ， 先作出， 再根据，取格点，作线段，取格点，使得， 以点为圆心，长为半径画弧交于点，则， 由勾股定理可得． 28．如图，在的正方形网格中，每个小方格的边长为1，连接任意两个格点所得的线段中，长度不可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格，根据勾股定理计算即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：∵在的正方形网格中，若每个小正方形的边长为1， ∴任意两个格点间的距离可能是，，，，，，，，， ∴任意两个格点间的距离不可能是， 故选：B． 29．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的运算，三角形的面积，掌握相关知识是解本题的关键．根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，作， 由勾股定理得， ∵， ， 解得：． 故答案为：． 30．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个顶点叫做格点． (1)在图（1）中以格点为顶点画一个面积为的正方形； (2)在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度． (1)根据正方形的面积公式可得正方形的边长为，由勾股定理可知正方形的边是的矩形的对角线； (2)由勾股定理可知，，所以是的矩形的对角线，是的矩形的对角线，按照要求画出图形． 【详解】（1）解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 又， 正方形的边是的矩形的对角线， 画图如下： （2）解：，， 画图如下： 31．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据列出关系式，进而得出结论． 【详解】证明：如图．， ， ， ． 32．下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 【详解】解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 33．勾股定理是几何学中的明珠，它的证明方法已超过五百种．我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理，它由四个如图1的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示．用它证明勾股定理的思路是用两种求法来表示同一个图形的面积，从而得到等式． (1)在图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即_____；也可直接表示为大正方形边长的平方，即_____，所以_____，勾股定理得到了验证． (2)小数同学发现，把两个图1的直角三角形（，）按图3摆放（其中点在上）构造图形，也可以验证勾股定理．请按下列小数同学的思路进行验证． ①求证：． ②用两种方法表示同一图形的面积验证勾股定理． 【答案】(1)，，． (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）①设交于点，根据全等三角形的性质可得，进而得出即可得证； ②根据两种方法求得四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即；也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证． 故答案为：，，． （2）①证明：如图，设交于点 依题意 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ②解：∵ ∴， ∵， ∴ 又 ∴ ∴，即． 34．如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（c为斜边）． （1）请利用“赵爽弦图”证明结论：（为斜边）． 【动手试一试】 （2）现有三边长为的直角三角形若干个，边长为的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限． （3）用其中一个图形证明（提示：用面积法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析． （3）见解析 【分析】（1）根据正方形的面积，完全平方公式，图形面积的性质证明即可． （2）根据题意，拼图解答即可． （3）根据题意，利用面积法证明即可． 本题考查了勾股定理的证明，面积的性质，熟练掌握证明是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个直角三角形的面积为， 根据题意，得， 故． （2）解：根据题意，拼图如下： （3）解：设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． 35．（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质： （1）根据面积的不同算法即可得乘法公式； （2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答； （3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 由面积的不同算法可得乘法公式：； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【答案】B 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 37．（1）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，请求图2中大正方形的面积． （2）已知关于的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】（1）44；（2）2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解二元一次方程组． （1）设直角三角形的两直角边为，斜边为．根据题意以及勾股定理可得，根据小正方形的面积是4，得出，即可求解． （2）根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：（1）如图，设直角三角形的两直角边为，斜边为． ∵图1中大正方形的面积是24， ． ∵小正方形的面积是4， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积为． （2）把代入得 ， ，得． 38．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图的面积关系与完全平方公式的应用，解题的关键是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的面积，推导出ab的值，再代入完全平方公式计算． 由大正方形面积与小正方形面积可求得；再根据完全平方公式，代入数值即可算出结果． 【详解】解：∵ 大正方形面积为13， ∴ ①，， ∵ 小正方形面积为， ∴ ②， 将②代入①，得， 解得， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 39．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是（    ） A．8 B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果． 【详解】解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为，长直角边为， 根据图2，正中心正方形的边长， ∴． ∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即， ∴， 即，解得，则． 观察火箭图案可知，火箭的高度； 故选：C． 40．【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2所示： 41．如图，长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内的点C′处，与交于点E．，则（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠得到，，平行线的性质，等角对等边，推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故选D． 42．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 43．如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 44．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 45．如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 46．如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路径问题，几何体展开图，勾股定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据长方体展开图，分三种情况进行讨论，利用勾股定理求出每种情况的路程，最后进行比较即可． 【详解】解：①如图所示， 根据勾股定理得； ②如图所示， 根据勾股定理得； ③如图所示， 根据勾股定理得； ∵ ∴最短路程为， 故选：B． 47．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为 尺． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的关键． 设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺， 则由勾股定理可得，， 解得， 即折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为：3.2． 48．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 49．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 故选：A． 50．如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $