精品解析：广西壮族自治区玉林市第一中学2024-2025学年高一上学期期末学业水平测试数学试题

2024-2025学年广西壮族自治区玉林市第一中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案. 【详解】由题意可得，且1，是方程的两根， 为方程的根，， 则不等式可化为，即， 不等式的解集为． 故选: A． 2. 用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值确定正确选项. 【详解】依题意， ，排除CD选项. ，排除B选项. 所以A选项正确. 故选：A 3. 为参加学校运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，那么甲同学被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出从甲、乙、丙、丁4位女同学中随机选出2位同学担任护旗手的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率． 【详解】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2位担任护旗手，共有种方法， 甲被选中，共有3种方法， 甲被选中的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查通过组合的应用求基本事件和古典概型求概率，考查学生的计算能力，比较基础． 4. 已知函数，若函数在上有三个零点，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为在上有三个零点，所以在上有三个不同的解，即函数与的图象在上有三个不同的交点，画出函数图像，结合图象进而求得答案． 【详解】因为在上有三个零点，所以在上有三个不同的解，即函数与的图象在上有三个不同的交点，结合函数图象可知，当直线经过点时，取得最小值，从而取得最大值，且. 【点睛】本题考查函数的零点问题，解题的关键是得出函数与的图象在上有三个不同的交点，属于一般题． 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由，可得，结合，，可得，继而得到，，转化，利用两角差的正弦公式即得解 【详解】由题意，故 故 又， 故 ， 则 故选：C 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 6. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 7. 某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为 A. 0.1 B. 0.01 C. 0.001 D. 0.0001 【答案】B 【解析】 【详解】令，则用计算器作出的对应值表： 由表格数据知，用二分法操作次可将作为得到方程的近似解，，，近似解的精确度应该为0.01，故选B. 8. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ． 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论 其中结论正确的是（ ） A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； B. 深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； C. 平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； D. 平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象结合实际问题，得出结论即可. 【详解】A.图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确; B.由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确; C由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确; D由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误. 故选：ABC 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了直方图和数据分析，难度不大，属于中档题. 10. 已知事件A，B，且，则（ ） A. 如果，那么 B. 如果A与B互斥，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A与B相互独立，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可. 【详解】如果，那么，，故 A正确； 如果A与互斥，那么，，故 B正确； 如果A与相互独立，那么，，故C错误； 如果A与相互独立，那么，故 D正确； 故选：ABD 11. 下列四个命题中为真命题的是（ ） A. “”是“”的既不充分也不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C. 关于的方程有实数根的充要条件是 D. 若集合，则是的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据充要条件、必要条件的定义直接推导可得，注意集合的包含关系与充要条件的关系. 【详解】且，所以A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误； 一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确； 当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论: ①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号) 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】画出的图象，即可判断四个选项的正误. 【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误. 故答案为：②③ 13. 已知函数，给出下列四个命题： ①函数是周期函数； ②函数的图象关于点成中心对称； ③函数的图象关于直线成轴对称； ④函数在区间上单调递增. 其中，所有正确命题的序号是___________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用诱导公式化简函数，借助周期函数的定义判断①；利用函数图象对称的意义判断②③；取特值判断④作答. 【详解】依题意，，因，是周期函数，是它的一个周期，①正确； 因，， 即，因此的图象关于点成对称中心，②正确； 因，， 即，因此的图象关于直线成轴对称，③正确； 因，，， 显然有，而，因此函数在区间上不单调递增，④不正确， 所以，所有正确命题的序号是①②③. 故答案为：①②③ 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 14. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案. 【详解】幂函数在上单调递减，故，解得. ，故，，. 当时 ，不关于轴对称，舍去； 当时 ，关于轴对称，满足； 当时 ，不关于轴对称，舍去； 故，，函数在和上单调递减， 故或或，解得或. 故答案为： 四、解答题（本题共7小题，每题11分，共77分） 15. 已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值； （2）利用单调性定义证明即可； （3）根据的奇偶性和单调性可得的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为为奇函数，所以， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 函数在上单调递减. 下面用单调性定义证明： 任取，且，则 因为在上单调递增，且，所以， 又，所以， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 因为为奇函数，所以， 由得 ， 即， 由（2）可知,函数在上单调递减， 所以， 即，解得或， 所以的取值范围为. 16. 已知的两顶点和垂心. （1）求直线AB的方程； （2）求顶点C的坐标； （3）求BC边的中垂线所在直线的方程. 【答案】(1) ; (2) ；(3) . 【解析】 【分析】(1)由两点间的斜率公式求出，再代入其中一点，由点斜式求出直线的方程（也可直接代两点式求解）； (2)由题可知，，借助斜率公式，进而可分别求出直线与直线的方程，再联立方程，即可求得点的坐标； (3)由中垂线性质知，边的中垂线的斜率等于，再由(2) 可求得边的中点坐标，进而可求解. 【详解】(1)由题意，直线的方程为： 即：. (2)由题作示意图如下： ， 直线的方程为：，即： —— ① 又，直线与轴垂直，直线的方程为： —— ② 联立①②，解得， 故顶点的坐标为 (3)由题意及 (2) 可知，边的中垂线的斜率等于， 边的中点为， 故边的中垂线的方程为： 【点睛】本题考查直线方程与交点坐标的求法，以及垂心的性质，考查能力辨析能力及运算求解能力，属于中档题. 17. 某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为（万元）． （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ （2）现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量（单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？ 【答案】（1）8台 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意将问题转化为对的求解，利用基本不等式即可； （2）先求出一台机器人的最大日工作量，根据最大工作量再求出所需要的人数，通过比较即可求解. 【小问1详解】 由题意． 当且仅当，即时，等号成立， 所以应购买8台，可使每台机器人的平均成本最低． 【小问2详解】 由， 可得当时，， 所以时，． 每台机器人的日平均工作量最大时，安排的人工数最小为20人， 而此时人工操作需要的人工数为，． 所以可减少． 18. 已知函数满足. （1）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）令，若对，，都有成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义，作差化简，结合，，且判断正负，即得证； （2）令，转化为，结合以及二次函数的性质可得，分析即得解. 【小问1详解】 证明：设，，且， 则， 当时，∴，，∴，∴， 即，∴函数在上单调递减， 当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递增， 综上，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由题意知，令，， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，∴， ∵函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递减， ∴当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， ∴，， 又∵对,，都有恒成立， ∴，即，解得， 又∵，∴k的取值范围是． 19. 如图所示,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,. （1）求证:； （2）求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面； （2）由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大，即点在弧中点时最大, 此时外接球的直径即可得解. 【小问1详解】 已知是圆柱的母线， ∴平面， 平面， ， ∵是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点, ∴, 又，平面， ∴平面 平面， ； 【小问2详解】 由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时, 三棱锥的体积最大，即点在弧中点时最大， ， 结合(1)可得三棱锥的外接球的直径即为, 所以此时外接球的直径. . 20. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数． 【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性， （2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论 【详解】解：（1）根据题意，函数为偶函数， 证明：，其定义域为， 有，则是偶函数； （2）证明：设， 则， 又由，则， 必有， 故在上是减函数． 21. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． （Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率； （Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为甲、乙、丙三位同学是否中奖是相互独立，因此可用相互独立事件同时发生的概率求三位同学都没有中奖的概率； （2）将此问题看成是三次独立重复试验，每试验“中奖”发生的概率为. 试题解析：解：设甲、乙、丙三位同学中奖分别为事件A、B、C，那么事件A、B、C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)． (1)三位同学都没有中奖的概率为： P(··)=P()P()P()． (2)三位同学中至少有两位没有中奖的概率为： P=． 考点：1、相互独立事件同时发生的概率；2、独立重复试验. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广西壮族自治区玉林市第一中学高一数学第一学期期末学业水平测试试题 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 3. 为参加学校运动会，某班要从甲，乙，丙，丁四位女同学中随机选出两位同学担任护旗手，那么甲同学被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若函数在上有三个零点，则的最大值为 A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 7. 某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为 A. 0.1 B. 0.01 C. 0.001 D. 0.0001 8. 已知则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论 其中结论正确的是（ ） A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； B. 深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； C. 平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； D. 平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海. 10. 已知事件A，B，且，则（ ） A. 如果，那么 B. 如果A与B互斥，那么 C. 如果A与B相互独立，那么 D. 如果A与B相互独立，那么 11. 下列四个命题中为真命题的是（ ） A. “”是“”的既不充分也不必要条件 B. “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C. 关于的方程有实数根的充要条件是 D. 若集合，则是的充分不必要条件 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论: ①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号) 13. 已知函数，给出下列四个命题： ①函数是周期函数； ②函数的图象关于点成中心对称； ③函数的图象关于直线成轴对称； ④函数在区间上单调递增. 其中，所有正确命题的序号是___________. 14. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________. 四、解答题（本题共7小题，每题11分，共77分） 15. 已知函数 （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围. 16. 已知的两顶点和垂心. （1）求直线AB的方程； （2）求顶点C的坐标； （3）求BC边的中垂线所在直线的方程. 17. 某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为（万元）． （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ （2）现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量（单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？ 18. 已知函数满足. （1）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）令，若对，，都有成立，求实数k的取值范围． 19. 如图所示,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,. （1）求证:； （2）求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积. 20. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数． 21. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料． （Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率； （Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $