第03讲 一次函数与实际问题（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习课件聚焦“一次函数与实际问题”核心考点，严格对接课标要求，涵盖实际建模、性质应用、分段函数、方案选择等考情热点，分析近三年中考中档解答题占比，归纳行程、经济等6大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+题型突破”模式，如2025年西藏中考最大利润题，示范列函数关系式、用增减性求最值，培养模型意识与推理能力。通过“问题情境—数学建模—结果验证”步骤，帮助学生掌握分段函数等难点，教师可依此设计专题训练，提升学生实战得分率。

第03讲 一次函数与实际问题 第三章 函数 1大考点 4大重难突破 1大中考命题点 11题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 一次函数的实际建模 能从实际问题中抽象出变量，建立一次函数关系式y=kx+b，明确参数的实际意义 结合行程、经济、工程等背景，提取数量关系列函数式（ 如 2025・湖北武汉卷、2025・浙江杭州卷） 一次函数的性质应用 掌握k（变化率）、b（初始值）的意义，能利用增减性分析实际问题 分析函数的增减趋势（如 “速度越快，路程增长越快”），结合截距判断初始状态 （如 2025・广东深圳卷） 分段一次函数应用 能识别实际问题中的分段条件，建立分段一次函数并求解 考查分段计费（水电、话费）、分段行程等，需分区间计算并验证合理性 （如 2025・江苏南京卷、2025・山东青岛卷） 一次函数的方案选择 能对比多个一次函数的函数值，选择最优方案 结合利润、成本等背景，通过计算函数值或图像交点确定最优方案 （如 2025・四川成都卷、2025・湖南长沙卷） 一次函数的实际验证 能检验函数解是否符合实际问题的取值范围（如非负、整数） 考查结果的实际意义取舍（如 “人数为正整数”“时间不能为负”，如 2025・河南郑州卷） 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 命题趋势：是中考函数应用题的核心考点之一，常以解答题（中档题）为主，部分地区会在选择 填空题中考查基础建模。 题型特点： 1）背景贴近生活：聚焦行程、分段计费、工程、方案选择等实际场景，突出 “数学建模” 的应用价值； 2）融合多知识点：常结合方程、不等式（如方案最优解）、图像分析（如函数交点意义），考查综合运用能力； 3）分段函数是热点：近年侧重考查分段一次函数（如阶梯收费、分阶段行程），强调对 “分段条件” 的理解与计算； 4）突出实际意义：重视结果的合理性验证（如人数、时间的非负性），考查数学与生活的结合。 难度分布：基础建模题难度适中，分段函数 + 方案选择类题目难度中等偏上，是区分度较高的考点。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 备考建议： 1)强化基础建模能力： ①熟练掌握 “设变量→找数量关系→列一次函数y=kx+b” 的流程， 明确k（变化率）、b（初始值）的实际意义； ②针对行程、经济、工程等典型背景，总结固定的数量关系 （如 “利润 = 单利 × 销量”“路程 = 速度 × 时间”）。 2）突破分段函数难点： ①训练 “识别分段节点→分区间列函数→分情况计算→验证区间合理性” 的解题步骤； ②结合图像理解分段函数的 “折线特征”，通过图像交点分析不同阶段的变化规律。 3）重视综合应用训练： ①练习 “一次函数 + 不等式” 的方案选择问题： 通过对比函数值或求交点，确定最优方案； ②结合实际场景验证结果： 养成 “计算后检查取值是否符合实际（如非负、整数）” 的习惯。 4）积累解题技巧： ①用 “列表法” 梳理实际问题中的已知量与变量，减少信息遗漏； ②借助图像辅助分析： 绘制一次函数图像，直观理解增减性、截距、交点的实际意义。 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略. 在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现. 函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识 • 核心梳理 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型 →求出一次函数解析式 →结合函数解析式、函数性质求解； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用 知识 • 核心梳理 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 【提示】 真题 • 实战精炼 1．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（    ） A． B． C． D． 解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为： ， 由图象可得图象经过点， 代入得：， 解得：， ∴， 当，则 A 真题 • 实战精炼 2．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（    ） A． B． C． D． 解： 满足公式， 由表格数据可得，解得， 即， 当温度t为时，， B 真题 • 实战精炼 3．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 。 解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立，解得 即他们相遇时距离A地． 真题 • 实战精炼 4．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 解：不挂物体时弹簧长度厘米， 挂质量千克物体时，弹簧长度厘米， 则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量）， 根据胡克定律，可得， 即，解得． 当弹簧长度厘米时， 弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则， ， ， 两边同时除以， 得：． 编辑 命题点一 ►题型01 最大利润问题 ►题型02 分配方案问题 ►题型03 行程问题 ►题型04 阶梯收费问题 ►题型05 工程问题 ►题型06 分配问题 一次函数与实际问题 命题点一 ►题型07 跨学科问题 ►题型08 计时问题 ►题型09 体积问题 ►题型10 调运问题 ►题型11 几何问题 ►题型01 最大利润问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． ►题型01 最大利润问题 【典例1】（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题：若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ （1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得，解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； ►题型01 最大利润问题 【典例1】（2025·西藏·中考真题）已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，根据题意得 ，解得:， 设获得的总利润为元， ∴ ， ∵，且为正整数， ∴当时， （元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件， 可获得最大利润． ►题型01 最大利润问题 【变式1】（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ （1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个，由题意列方程得： ， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． ►题型01 最大利润问题 【变式1】（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则: ， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为:， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． ►题型01 最大利润问题 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． 当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ ►题型01 最大利润问题 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时， 请直接写出W与x的函数关系式： ． 当每个许愿瓶超过10元时， 请直接写出W与x的函数关系式： ． （1）解：由题意得：当每个许愿瓶不超过10元时, ； 当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； ►题型01 最大利润问题 【变式2】（2025·甘肃武威·模拟预测） (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ （2）解：当时，， ，∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取最大值，最大值为元； 当时， ， ，当时，W取最大值， 又∵x取正整数， ∴或13，W取最大值， ∵要使每天的销售额较大， ∴，此时最大 元； ∵， ∴每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元． ►题型02 分配方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. ►题型02 分配方案问题 【典例2】（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ （1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．根据题意， 列方程组： 解方程组得：； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元 ►题型02 分配方案问题 【典例2】（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时， ． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． ►题型02 分配方案问题 【变式1】（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ （1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元， 由题意，得： ， 解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； ►题型02 分配方案问题 【变式1】（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ （2）解：设购买“蜀宝”个， 则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个， 购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个， 购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个， 购买“锦仔”个； ►题型02 分配方案问题 【变式1】（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 3）解：由题意，得： ， ∴随着的增大而增大， ∴当时， 即方案一需要的资金最少， 最少资金： （元）； 答：方案一需要的资金最少， 最少资金是2160元． ►题型02 分配方案问题 【变式2】（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ （1）解：设A型挂面每袋x元， B型挂面每袋y元． 则：， 得：． 答：A型挂面每袋20元， B型挂面每袋30元． ►题型02 分配方案问题 【变式2】（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ （2）解：设购买B型挂面a袋， 则购买A型挂面的数量为袋， 总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． ∴ ． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． ►题型02 分配方案问题 【变式3】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． （1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； ►题型02 分配方案问题 【变式3】（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元，根据题意得： ， ，随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． ►题型03 行程问题 【典例3】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________,MN之间的路程为___________ ； (2)当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为450 m ． （1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：， 解得：， ∴乙的速度为； 之间的路程为：； 90 3960 ►题型03 行程问题 【典例3】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________,MN之间的路程为___________ ； (2)当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为450 m ． （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； ►题型03 行程问题 【典例3】（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________,MN之间的路程为___________ ； (2)当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为450 m ． 3）当时，令 ， 解得：； 当时，， 解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． ►题型03 行程问题 【变式1】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离       ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． ►题型03 行程问题 【变式1】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离       （1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； ►题型03 行程问题 【变式1】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1) ②填空：小华从公园返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； ②小华返回家的速度为 ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时， 假设直线解析式为， 将代入解析式得，解得 ∴； 综上：； ►题型03 行程问题 【变式1】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． （2）解：如图所示，为妈妈的图形，  根据题意可知，小华妈妈的速度为，所以其直线解析式为：， 当时，令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． ►题型03 行程问题 【变式2】（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 ►题型03 行程问题 【变式2】（2025·黑龙江·中考真题）如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； （1）解：由图象可知，B、C两地的距离为， A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； ►题型03 行程问题 【变式2】（2025·黑龙江·中考真题）如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴； ►题型03 行程问题 【变式2】（2025·黑龙江·中考真题）如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，， 则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为： ，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40km ►题型03 行程问题 【变式3】（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． （1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； ►题型03 行程问题 【变式3】（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：，； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为：， 把代入， 则， 解得：， ； ►题型03 行程问题 【变式3】（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． ►题型04 阶梯收费问题 【典例4】（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． ►题型04 阶梯收费问题 【典例4】（2025·江苏无锡·二模）其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； （1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时， ， 答：投放塑料的奖励积分分； (2)求的值； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后， 奖励积分为分， ， ； ►题型04 阶梯收费问题 【典例4】（2025·江苏无锡·二模） (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ，不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ，解得：， 此时， 分， ， 不能兑换扫地机器人； ►题型04 阶梯收费问题 【典例4】（2025·江苏无锡·二模） (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时， 分， ， 能兑换智能扫地机器人． ►题型04 阶梯收费问题 【变式1】（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下：  (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． （1）解：由已知得： 方案一费用与剪发次数的函数关系式为： ， 方案二费用与剪发次数的函数关系式为： ； ►题型04 阶梯收费问题 【变式1】（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下：  (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． （2）依据题意联立方程组得：， 解得， ∴点， 点P所表示的实际意义：一年内，剪发次数是20次时，两种方案总花费都是400元； ►题型04 阶梯收费问题 【变式1】（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”某理发店剪发原价为每次20元，现有如下两种收费方案． 方案一：不办理会员卡，每次剪发按照原价收费； 方案二：办理会员年卡（会员卡花费100元，一年内有效），每次理发按原价七五折收费两方案中总费用y与剪发次数x的关系图象如下：  (1)分别写出这两种方案中剪发的总费用y与剪发次数x之间的函数关系式； (2)求交点P的坐标，并说明其实际意义； (3)若王林一年剪发18次，他选择哪种方案花费更少？说明理由． （3）选择方案一花费更少．理由： 根据图象可知：当时，； 当时，； ∴当时，； ∴王林选择方案一花费更少． ►题型03 行程问题 ►题型04 阶梯收费问题 【变式2】（2025·陕西渭南·一模）2025年3月1日，陕西省《节约用水条例》正式施行，为水资源可持续利用提供法治保障．为加强居民节水意识，某市采用如下收费标准：每月用水量不超过13立方米时，每立方米4元，超过13立方米时，超出的部分每立方米6元．设某用户月用水量为立方米，水费为元． (1)求关于的函数表达式； (2)若该用户某月预算水费为58元，实际水费为50元，则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米？ （1）解：由题意得：当时，则； 当时，则有； 综上所述：关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：当时，则，解得：； 当时，则，解得：； ∴（立方米）； 答：该用户本月实际用水比预算少用了1.5立方米． ►题型05 工程问题 【典例5】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ （1）解：设乙车间每天能生产件产品， 则甲车间每天能生产件产品， 由题意得： ， 解得：， 经检验： 是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品， 乙车间每天能生产件产品 ►题型05 工程问题 【典例5】（2025·山东青岛·中考真题）某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ （2）解：设安排甲车间生产天， 则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大， 即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天， 则乙车间生产天． ►题型05 工程问题 【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下： 信息一 安装队 每天安装个数（台） 每天安装成本（元） 甲 5000 乙 x 3000 信息二 甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等． (1)求x的值； (2)某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1000个，求该项目安装成本的最小值． ►题型05 工程问题 【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下： 信息一 安装队 每天安装个数（台） 每天安装成本（元） 甲 5000 乙 x 3000 信息二 甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等． (1)求x的值； （1）由题意可知，甲队每天安装台，乙队每天安装x台． ∵甲队完成个所需天数与乙队完成个所需天数相等， ． 交叉相乘得： 展开得： 移项化简得：解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴x的值为 ►题型05 工程问题 【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设， (2)某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1000个，求该项目安装成本的最小值． （2）由（1）得，甲队每天安装台，乙队每天安装台． 设甲队单独施工a天，则乙队单独施工天． 根据安装总量不少于个，可得：， 展开得： 化简得：，解得． 设该项目安装成本为W元，则： ． ∵，∴W随a的增大而增大． 当时，W取得最小值，最小值为： 元． 答：该项目安装成本的最小值为元． ►题型05 工程问题 【变式2】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示．  (1)乙队每天完成土方量多少万立方； (2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？ (3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ （1）解：由图象知： 乙队20天完成了12万立方，则乙队每天完成： （万方）； 答：乙队每天完成土方量万立方； ►题型05 工程问题 【变式2】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示．   (2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？ （2）解：能按期完成；理由如下： 甲队单独完成剩余部分为：（万立方）； 两队60天完成了：（万立方）， 则甲队每天完成的土方量为：（万立方）， 甲完成剩余土方的时间为（天）， ∵（天）（天）； 所以能按期完成剩余部分； ►题型05 工程问题 【变式2】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示．   (3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； （3）解：当时，函数图象为线段， 设函数解析式为； ∵函数过点， ∴， 解得： ∴函数解析式为； ►题型05 工程问题 【变式2】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示． (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ （4）解：对于， 当时，解得； 甲完成土方量为：（万立方）， 乙完成土方量为：（万立方）， （万立方）； 答：甲比乙完成的土方量多，多10万立方． ►题型06 分配问题 【典例6】（2025·河南南阳·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (1)求老张批发的车厘子和芒果的箱数； (2)老张分配给A，B两个水果超市各50箱，如表为两超市的水果销售价格．设分配给A水果超市车厘子m箱．若确保销售完这批水果后，B水果超市的利润不低于2400元，如何分配能使两超市获得最大利润，并求出这个最大利润；   车厘子销售价（元/箱） 芒果销售价（元/箱） A水果超市 160 100 B水果超市 150 120 (3)老张仍然分配给A，B两个水果超市各50箱，若仅考虑获得最大利润，如何分配能使两超市获得最大利润，请直接写出分配方案及最大利润． ►题型06 分配问题 【典例6】（2025·河南南阳·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (1)求老张批发的车厘子和芒果的箱数； （1）解：设老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为箱和箱，由题意，得： ， 解得：； 答：老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为60箱和40箱； ►题型06 分配问题 【典例6】（2025·河南南阳·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱．   车厘子销售价（元/箱） 芒果销售价（元/箱） A水果超市 160 100 B水果超市 150 120 (2)老张分配给A，B两个水果超市各50箱，如表为两超市的水果销售价格．设分配给A水果超市车厘子m箱．若确保销售完这批水果后，B水果超市的利润不低于2400元，如何分配能使两超市获得最大利润，并求出这个最大利润； （2）由题意，得，分配给A水果超市车厘子m箱，设总利润为，则： ， 整理，得：， ∵， 解得：； ∴随着的增大而增大，∴当时，最大为； ∴， 故分配给A超市车厘子20箱，芒果30箱，B超市车厘子40箱，芒果10箱时，利润最大，最大的总利润是4200元； 车厘子箱数 芒果箱数 A B m ►题型06 分配问题 【典例6】（2025·河南南阳·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (3)老张仍然分配给A，B两个水果超市各50箱，若仅考虑获得最大利润，如何分配能使两超市获得最大利润，请直接写出分配方案及最大利润． （3）由题意，可知，超市的车厘子的售价高于超市，超市芒果的售价高于超市，要实现总利润最大，则超市的车厘子数量越多，超市芒果的数量越多，总利润越大， ∴分配给A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，利润最大为： （元）； 答：A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，时，利润最大为元． ►题型06 分配问题 【变式1】（2025·辽宁·一模）某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． （1）解：当时， 设与之间的关系式为， 把，代入 得： ， 解得：， ∴与之间的关系式为， 当元时， ， 解得：， ∴它的种植面积； ►题型06 分配问题 【变式1】（2025·辽宁·一模）某蔬菜种植基地计划将其中的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜．经调查发现，甲种蔬菜的种植成本（元/）与其种植面积的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为，乙种蔬菜的种植成本为元． (1)当甲种蔬菜的种植成本为元，求它的种植面积； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为元． （2）解：∵甲种蔬菜的种植面积为，∴乙种蔬菜的种植面积为， 当时，根据题意，得 ， 解得，， 当时，； 当时，； 当，根据题意，得 ， 解得，不符合题意，舍去， 答：当甲种蔬菜种植， 乙种蔬菜种植或甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植总种植成本为元． ►题型06 分配问题 【变式2】（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.                  素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪， 剪去四个边长相同的小正方形（阴影）． 把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒， 使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： ►题型06 分配问题 如何确定木板分配方案？ 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 解：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 每块木板长和宽分别为80cm，40cm. 任务1： ►题型06 分配问题 如何确定木板分配方案？ 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 任务2： 设张木板制作无盖的收纳盒，则：，解得：， 的整数解有：76，77，78，79， 共有4种方案： ①76张木板制作无盖的收纳盒， 24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒， 23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒， 22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒， 21张制作盒盖； ►题型06 分配问题 如何确定木板分配方案？ 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 任务3： 设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元， 由题意得： 即：， 的整数解有： 76，77，78，79， 当时，有最大值， y最大值=， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元． ►题型07 跨学科问题 【典例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ ►题型07 跨学科问题 【典例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ ►题型07 跨学科问题 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： 与之间的关系可以近似地用______________函数表示， 与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【典例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究． 解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 一次 二次 ►题型07 跨学科问题 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【典例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究． 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 设，把代入， 得：，解得：， ∴， 【检验】： 验证：当时， ， 符合题意； ►题型07 跨学科问题 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【典例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究． 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【检验】： 设，把点，代入，得，解得，∴， 验证：当时，，符合题意； ►题型07 跨学科问题 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【典例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ ∵，设，由题意，得： ， ∴， ∴当时， 最大为：； 【应用】： 故最大为． ►题型07 跨学科问题 【变式1】（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． ►题型07 跨学科问题 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【变式1】（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 解：（1）由图②可知，当小铝块下降10cm时， 弹簧测力计A的示数为， 弹簧测力计B的示数为； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； ►题型07 跨学科问题 【解决问题】(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【变式1】（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 （3）解：由题意可知小铝重为，将代入 得，则， 即；则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时， 弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ，解得：， 即， 将代入得：， 解得：，∴深度为． ►题型07 跨学科问题 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点对应状态______， 点对应状态______， （“状态”后填写图形序号） ______， ______； (2)求线段对应的函数关系式． (3)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． （1）解： ∵圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小， 图乙中，点对应状态，点对应状态， 弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和，，． ►题型07 跨学科问题 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (2)求线段对应的函数关系式． （2）设线段对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得：，解得：， 线段对应的函数关系式为． ►题型07 跨学科问题 【变式2】（2025·浙江杭州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (3)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． （3）当时，得， 解得， ． 答：圆柱体浸入水中的高度为． ►题型08 计时问题 【典例8】（2025·陕西西安·二模）某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． (1)求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； (2)求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 解：（1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为， 由题知当时，；时，， ，解得：， 与x的函数解析式为； （2）当时， ， 解得：， 答：最晚15分钟菜全部上桌． ►题型08 计时问题 【变式1】（2025石家庄市三模）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期款已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位h（）是时间t（）的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … t（） 0 2   6 8 … h（） 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次数据是不准确的． (2)求h（）与t（）的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ ►题型08 计时问题 【变式1】（2025石家庄市三模）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期款已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位h（）是时间t（）的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … t（） 0 2   6 8 … h（） 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次数据是不准确的． （1）解：由表格中数据知， 时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应： ∴第（4）次数据是不准确的； 4 ►题型08 计时问题 【变式1】（2025石家庄市三模）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期款已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位h（）是时间t（）的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … t（） 0 2   6 8 … h（） 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (2)求h（）与t（）的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ （2）设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入， 得：，解得， ∴， 当时，， 解得．即当水位为时，对应时间是． ►题型08 计时问题 【变式2】（2025·内蒙古·模拟预测）刻漏（如图）是我国古代的一种计时工具，其工作原理是水从水箱中流入漏斗，再从漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流动和容器内水的位差来计时．某综合与实践小组依据刻漏的原理制作了一个简单的刻漏计时工具，并记录水位高度h（单位：）与水持续滴入时间t（单位：）之间的关系，如下表所示． 水持续滴入时间t（单位：） 0 3 6 9 … 水位高度h （单位：） 2 3.2 4.4 5.6 … (1)请你描述水位高度h（单位：）随水持续滴入时间t（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示h与t的关系； (2)综合与实践小组想从零刻线开始，每隔在刻漏上标记对应的时刻线，便于使用，求每个相邻时刻线之间的距离． （1）解：水持续滴入时间每增加， 水位高度会增加， 设h关于t的函数解析式为，由可得， 将代入中， 得，解得， ∴h与t的解析式为； ►题型08 计时问题 【变式2】（2025·内蒙古·模拟预测）刻漏（如图）是我国古代的一种计时工具，其工作原理是水从水箱中流入漏斗，再从漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流动和容器内水的位差来计时．某综合与实践小组依据刻漏的原理制作了一个简单的刻漏计时工具，并记录水位高度h（单位：）与水持续滴入时间t（单位：）之间的关系，如下表所示． 水持续滴入时间t（单位：） 0 3 6 9 … 水位高度h （单位：） 2 3.2 4.4 5.6 … (1)请你描述水位高度h（单位：）随水持续滴入时间t（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示h与t的关系； (2)综合与实践小组想从零刻线开始，每隔在刻漏上标记对应的时刻线，便于使用，求每个相邻时刻线之间的距离． （2）解：将代入中， 得：， ∵， ∴每个相邻时刻线之间的距离为． ►题型09 体积问题 【典例9】（2023·江苏南京·中考真题）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 解：设该学生接温水的时间为 ，根据题意可得： ， 解得， ， ， ， 该学生接温水的时间为，接开水的时间为． ►题型09 体积问题 【变式1】（2025重庆模拟预测）如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示． 根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）， 点的纵坐标表示的实际意义是______； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同？ (3)若乙容器的底面积为平方厘米（壁厚不计）． ①求甲容器的底面积（壁厚不计）； ②求乙容器中铁块的体积． ►题型09 体积问题 【变式1】（2025重庆模拟预测）现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示． 根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）， 点的纵坐标表示的实际意义是 ； （1）解：图2中折线表示乙容器中水的深度与注水时间之间的关系， 线段表示甲容器中水的深度与注水时间之间的关系， 点的纵坐标表示的实际意义是圆柱形铁块的高度． 乙 甲 圆柱形铁块的高度为cm ►题型09 体积问题 【变式1】（2025重庆模拟预测）如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示． 根据图象提供的信息，解答下列问题： (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同？ （2）解：设线段的函数关系式为（为常数，且， 将坐标代入， 得， 解得， 线段的函数关系式为 ， 设线段的函数关系式为 （、为常数，且）， 将和分别代入， 得，解得， 线段的函数关系式为 ， 当甲、乙两个容器中水的深度相同时， 得， 解得:， 答：注水时，甲、乙两个容器中水的深度相同； ►题型09 体积问题 【变式1】（2025重庆模拟预测）如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度与注水时间之间的关系如图2所示． (3)若乙容器的底面积为平方厘米（壁厚不计）． ①求甲容器的底面积（壁厚不计）；②求乙容器中铁块的体积． （3）解：①当时间从到时： 乙容器中水的深度增加了:， 当时，甲容器中水的深度为 ； 当时，甲容器中水的深度为； 甲容器中水的深度减少了， 设甲容器的底面积为， 则，解得， 答：甲容器的底面积为； ②当时间从到时： 当时，甲容器中水的深度为； 当时，甲容器中水的深度为； 甲容器中水的深度减少了 ， 设乙容器中铁块的体积为， 则， 解得 答：乙容器中铁块的体积为． ►题型09 体积问题 【变式2】（2025·山西运城·模拟预测）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积数据记录： 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点． (2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． (3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？ ►题型09 体积问题 【变式2】（2025·山西运城·模拟预测）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 项目实施：①准备一个容量为50毫升的量筒． ②选择一处滴水的水龙头，用该量筒接水． ③每隔10秒，观察并记录量筒中水的体积数据记录： 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中的数据对应的点． （1）解：在平面直角坐标系中描点，如图所示： ►题型09 体积问题 【变式2】（2025·山西运城·模拟预测）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (2)滴水量V（毫升）是时间t（秒）的________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，并求出V与t的函数表达式． （2）解：根据解析（1）可知： 这些点在一条直线上，因此滴水量V（毫升）是时间t（秒）的一次函数， 设， 把，代入得： ， 解得：， ∴； 一次 ►题型09 体积问题 【变式2】（2025·山西运城·模拟预测）项目式学习 项目主题：节约用水从你我做起． 项目背景：我国人均水资源量只有2100立方米，仅为世界人均水平的．全国约有三分之二的城市缺水，约有四分之一的城市严重缺水．生活中，有时会见到水龙头滴水的现象，因此某校综合与实践小组的同学以“节约用水从你我做起”为主题开展项目式学习． 时间t/秒 10 20 30 40 50 60 70 滴水量V/毫升 3 6 9 12 15 18 21 问题解决：请完成下列任务． (3)按照此滴水速度，1小时会滴水多少千克（结果保留两位小数，1毫升水的质量约为1克）？一个人的月平均饮水量为50千克，则滴水多少小时能达到一个人的月平均饮水量（结果保留一位小数）？ （3）解：把代入得： ， ∵1毫升水的质量约为1克， ∴1小时会滴水克， 即千克； （小时）， 即滴水小时能达到一个人的月平均饮水量． ►题型10 调运问题 【典例10】（2025·内蒙古·模拟预测）内蒙古自治区第十一届少数民族体育运动会将在赤峰市举行，活动定于2025年7月20日至31日．为了更好地筹办本次运动会，甲、乙两厂积极生产了某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批物资将运往地240吨，地260吨，运费如表所示：（单位：元/吨）   A 甲 20 25 乙 15 24 (1)求甲、乙两厂各生产了这批物资多少吨？ (2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． （1）解：设甲厂生产这批物资吨，乙厂生产这批物资吨， 由题意，得，解得，， 所以甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨； ►题型10 调运问题 【典例10】（2025·内蒙古·模拟预测）内蒙古自治区第十一届少数民族体育运动会将在赤峰市举行，活动定于2025年7月20日至31日．为了更好地筹办本次运动会，甲、乙两厂积极生产了某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批物资将运往地240吨，地260吨，运费如表所示：（单位：元/吨）   A 甲 20 25 乙 15 24 (2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． （2）解∵ ， ∵， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时运费最小． 所以总运费最少的方案是：甲厂200吨全部运往地；乙厂运往地240吨，运往地60吨． ►题型10 调运问题 【变式1】（2024·河北张家口·模拟预测）A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨，现决定支援给C市10吨和D市8吨．已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元． (1)设B粮仓运往C市粮食x吨（x为整数），求总运费W（元）关于x的函数关系式．（写出自变量的取值范围） (2)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ （1）解：设B粮仓运往C市粮食x吨， 则B粮仓运往D市粮食吨， A粮仓运往C市粮食吨， A 粮仓运往D 市粮食吨，由题意得， ，(且x为整数) ►题型10 调运问题 【变式1】（2024·河北张家口·模拟预测）A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨，现决定支援给C市10吨和D市8吨．已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元． (2)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？ 2）解：由题意得，解得， ∵，且x为整数， ∴x的值可以为0或1或2， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 共有 3种调运方案： 方案一：从B粮仓调运到C市0吨，D市6吨，从A粮仓调运到C市10吨，D市2吨； 方案二：从B粮仓调运到C市1吨，D市5吨； 从A粮仓调运到C市9吨，D市3吨； 方案三：从B粮仓调运到C市2吨，D市4吨； 从A粮仓调运到C市8吨，D市4吨； ►题型10 调运问题 【变式1】（2024·河北张家口·模拟预测）A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨，现决定支援给C市10吨和D市8吨．已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元． (3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ （3）解：由（1）得：， ∵，∴W随x增大而增大， ∴当时，总运费最低，最低为元， ∴B粮仓运往D市粮食：， A粮仓运往C市粮食：， A 粮仓运往D 市粮食 答：从B粮仓调运到C市0吨，D市6吨，从A粮仓调运到C市10吨，D市2吨时运费最低，最低为8600元． ►题型10 调运问题 【变式2】（2024河南模拟预测）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (1)厂生产了______吨救灾物资、 厂生产了______吨救灾物资； (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． （1）解：设这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； 则 解得： 答：这批防疫物资厂生产了吨，厂生产了吨； ►题型10 调运问题 【变式2】（2024河南模拟预测）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (2)设这批物资从厂运往甲地吨，全部运往甲、乙两地的总运费为元，求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （2）如图，两厂调往甲、乙两地的数量如下： 目的地生产厂家 甲 乙 A B ∴ 当时运费最小 所以总运费的方案是：厂运往甲地吨，运往乙地吨，厂吨全部运往甲地时费用最少． ►题型10 调运问题 【变式2】（2024河南模拟预测）为了救援地震灾区，某市、两厂共同承接了生产吨救灾物资任务，厂生产量是厂生产量的倍少吨，这批救灾物资将运往甲、乙两地，其中甲地需要物资吨，乙地需要物资吨，运费如下表：（单位：吨/元） 目的地生产厂家 甲 乙 A 20 25 B 15 24 (3)当每吨运费降低元，（，且为整数），若按照（）中设计的调运方案运输，且总运费不超过元，求的最小值． （3）由（2）知： 当时， ， 所以的最小值为． 本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 【点睛】 ►题型11 几何问题 【典例11】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? （1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．根据题意， 得：， 解得：， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． ►题型11 几何问题 【典例11】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得，解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． ►题型11 几何问题 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ ►题型11 几何问题 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． （1）解： ，． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，， ， ， ，即， 解得：（舍去），，即的值为． ►题型11 几何问题 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （2）依题意，， ， ． ， 当时，有最大值， 此时． ►题型11 几何问题 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (3)当为何值时，点在的平分线上？ （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． ►题型11 几何问题 【变式2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； 解：∵四边形是矩形，∴， ∵， ∴． ∵，是边的中点， ∴，， ∵，∴， ∴． ∴， ∵， ∵点、、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ►题型11 几何问题 【变式2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米． (2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积． （2）设窗户的面积为S， 则 ， ∴当时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为． ►突破一 新情境问题 【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） ►突破一 新情境问题 【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； （1）解：由题意可得，A，C两区相距为 （米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， ►突破一 新情境问题 【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (2)求线段所在直线的函数解析式； （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为，∴， 设直线的解析式为， 把，代入得到，， 解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； ►突破一 新情境问题 【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） （3）机器人乙行进的时间为x分时， 甲和乙都未到达B区，相距30米， 则，解得， 即机器人乙行进的时间为分时， 机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时， 从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则，解得， 即机器人乙行进的时间为分时， 机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 则，解得， 即机器人乙行进的时间为分时， 机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为 把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； ►突破一 新情境问题 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ ►突破一 新情境问题 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； （1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得： ； ►突破一 新情境问题 【变式1】（2025·贵州铜仁·三模亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ （3）解： ， ∵，∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时， 最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． ►突破一 新情境问题 【变式2】（2025·广东深圳·三模）根据表中素材，完成任务． 素材1 某校为了引导学生学习人工智能知识、激发学生的创新思维，特开展“青少年人工智能挑战赛”活动．已知该活动设置“特等奖”和“优秀奖”两种奖项，需要购置的“特等奖”奖杯的单价比“优秀奖”奖杯的单价贵10元，用500元购进的“特等奖”奖杯的数量和用400元购进的“优秀奖”奖杯的数量相同． 素材2 学校的要求如下： ①此次活动的获奖总人数是30人． ②获得“优秀奖”的人数不超过“特等奖”人数的2倍． 任务1 根据以上信息，请求出“优秀奖”和“特等奖”奖杯的单价． 任务2 为响应降本增效方针，在满足要求的情况下尽量降低采购总费用，请求出此次颁奖所需奖杯的最低采购费用． ►突破一 新情境问题 【变式2】（2025·广东深圳·三模）根据表中素材，完成任务． 素材1 某校为了引导学生学习人工智能知识、激发学生的创新思维，特开展“青少年人工智能挑战赛”活动．已知该活动设置“特等奖”和“优秀奖”两种奖项，需要购置的“特等奖”奖杯的单价比“优秀奖”奖杯的单价贵10元，用500元购进的“特等奖”奖杯的数量和用400元购进的“优秀奖”奖杯的数量相同． 任务1 根据以上信息，请求出“优秀奖”和“特等奖”奖杯的单价． 任务1：解：设优秀奖奖杯的价格为元，则特等奖奖杯的价格为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意． （元）， 答：优秀奖奖杯的价格为40元，特等奖奖杯的价格为50元． ►突破一 新情境问题 【变式2】（2025·广东深圳·三模）根据表中素材，完成任务． 素材2 学校的要求如下： ①此次活动的获奖总人数是30人． ②获得“优秀奖”的人数不超过“特等奖”人数的2倍． 任务2 为响应降本增效方针，在满足要求的情况下尽量降低采购总费用，请求出此次颁奖所需奖杯的最低采购费用． 任务2：设采购费用为元，获得特等奖人数为人， 则获得优秀奖人数为人， 根据题意得：， 解得：， ， ，随着的增大而增大， 当时，有最小值，此时元 答：此次颁奖所需奖杯的采购费用最低为1300元． ►突破二 现实有关的问题 【典例2】（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ （1）解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴，∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； ►突破二 现实有关的问题 【典例2】（2025·四川眉山·中考真题）现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ （2）解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为，则 ∵，∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴选用A、B两种食品分别为2份和份 ►突破二 现实有关的问题 【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． ►突破二 现实有关的问题 【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． （1）解：把，代入得 ， 解得：， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴曲线的函数表达式为： ； ►突破二 现实有关的问题 【变式1】（2025·贵州遵义·模拟预测）经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． （2）解：能，理由如下： 令，解得， 令，解得：， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． ►突破二 现实有关的问题 【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元； (3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值． ►突破二 现实有关的问题 【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （1）解：∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人， ∴，解得：． ①当时， ； ②当时， ； 综上所述，； ►突破二 现实有关的问题 【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (2)如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元； （2）解：当时，根据题意得： 解得， ∵当时，W随x的增大而减小， ∴当时，W取最大值， 最大值为：（元）， 当时，根据题意得： 解得：， 这种情况不成立． 答：甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1600元钱． （3）当时，解得：， 又， ． 当时， 解得，这种情况不成立． ． “五一”小黄金周之后： ， ， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值， 最小值为： ►突破二 现实有关的问题 【变式2】（2025·湖北襄阳·模拟预测） (3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值． ►突破三 新考法问题 【典例3】（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． ►突破三 新考法问题 【典例3】（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到） （1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； ►突破三 新考法问题 【典例3】（2025·江苏镇江·中考真题） （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时， ， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． ►突破三 新考法问题 【变式1】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． ►突破三 新考法问题 【变式1】（2025·四川·中考真题）测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得，∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得，∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． ►突破三 新考法问题 【变式1】（2025·四川·中考真题）测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． （2）解：在中， 当时，， 在中， 当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． ►突破三 新考法问题 【变式2】（2025·内蒙古·模拟预测）综合与实践 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多长时间能充满电，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程．某综合实践小组设计如下两组实验： 已行驶里程s（千米） 0 100 200 300 电量 100 75 50 25 【建立模型】 （1）结合表中的数据求出仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）之间的函数关系式； 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量与充电时间t（小时）的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）是一次函数关系，数据记录如表． 【解决问题】 （2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点600千米处的目的地．若电动汽车平均每小时行驶100千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ ►突破三 新考法问题 【变式2】（2025·内蒙古·模拟预测）综合与实践 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多长时间能充满电，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程．某综合实践小组设计如下两组实验： 已行驶里程s（千米） 0 100 200 300 电量 100 75 50 25 【建立模型】 （1）结合表中的数据求出仪表盘显示电量与已行驶里程s（千米）之间的函数关系式； 解：（1）根据表中数据可以得出仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）之间的函数关系为一次函数，设， 将，代入 得：，解得：， ∴仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）之间的函数解析式为： ►突破三 新考法问题 【变式2】（2025·内蒙古·模拟预测）综合与实践 【解决问题】 （2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点600千米处的目的地．若电动汽车平均每小时行驶100千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ （2）由题意得，先在满电的情况下行走了（千米）， 此时剩余电量，走完剩余路程（千米）， 由表格可得，行驶300千米耗电， 设充电充了小时，电池充电状态下汽车仪表盘显示电量， ∴，解得， 答：要保证司机在最短的时间快速到达目的地， 则至少要在服务区充电小时． ►突破四 2026中考预测题 【典例4】（2025·宁夏银川·三模）小海和小桐相约去博物馆参观，小海从学校步行出发直接去博物馆． 同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程为(米)与所经过的时间(分)之间的函数关系如图2所示， 有下列结论： ①小桐骑自行车的速度为米/分 ②小海步行的速度为米/分 ③线段所在直线的函数表达式为 ④分钟后小桐与小海相遇 其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．②④ ►突破四 2026中考预测题 【典例4】（2025·宁夏银川·三模）经过的时间(分)之间的函数关系如图2所示， 有下列结论：①小桐骑自行车的速度为米/分②小海步行的速度为米/分③线段所在直线的函数表达式为 ④分钟后小桐与小海相遇其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．②④ 解：小桐骑自行车的速度为：米/分 故①正确， 小海步行的速度为：米/分，故②正确； 根据题意，点B的坐标为，则点C的坐标为． 因为小桐从超市到博物馆所用的时间为 分， 则点D的坐标为． 设线段所在直线的函数表达式为： ， 把，代入表达式 得，解得， 所以线段所在直线的函数表达式为： ，故③不正确 ►突破四 2026中考预测题 【典例4】（2025·宁夏银川·三模）经过的时间(分)之间的函数关系如图2所示， 有下列结论：①小桐骑自行车的速度为米/分②小海步行的速度为米/分③线段所在直线的函数表达式为 ④分钟后小桐与小海相遇其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．②④ 设线段所在直线的函数表达式为， 把，代入表达式 得：，解得：， 所以线段所在直线的函数表达式为． 可列方程组，解得， 所以分钟后小桐与小海相遇，故④不正确． ►突破四 2026中考预测题 【典例4】（2025·宁夏银川·三模）小海和小桐相约去博物馆参观，小海从学校步行出发直接去博物馆． 同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程为(米)与所经过的时间(分)之间的函数关系如图2所示， 有下列结论： ①小桐骑自行车的速度为米/分 ②小海步行的速度为米/分 ③线段所在直线的函数表达式为 ④分钟后小桐与小海相遇 其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．②④ B ►突破四 2026中考预测题 【变式1】（2025·河南南阳·三模）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 ►突破四 2026中考预测题 【变式1】（2025·河南南阳·三模） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关 系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面， 故选项A说法错误，不符合题意； B．当时，设所在直线的函数表达式为： ， 则，解得， ∴， 故选项B说法错误，不符合题意； ►突破四 2026中考预测题 【变式1】（2025·河南南阳·三模） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的函数关 系式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 C．当石块下降的高度为时，即时，， 此时石块所受浮力是，故选项C说法错误，不符合题意； D．当弹簧测力计的示数为时，，解得， 石块距离水底的距离为， 故选项D说法正确，符合题意 ►突破四 2026中考预测题 【变式1】（2025·河南南阳·三模）小强将一长方体石块从玻璃器皿的上方向下缓慢移动浸入水里做浮力实验，如图①，在此过程中拉力与石块下降的高度之间的关系如图②（提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，），则以下说法正确的是（    ） A．当石块下降时，石块在水里 B．当时，与之间的 函数关系式为 C．石块下降时，石块所受的浮 力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离水底 D ►突破四 2026中考预测题 【变式2】（2025·广东广州·一模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 (2)根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长． 材料二：声音的频率（）是指声波每秒振动的次数，单位为赫兹（）．人能听到的声音频率有一定的范围，多数人能听到的频率范围是． 材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：． (1)当气温为时，声速为________； ►突破四 2026中考预测题 【变式2】（2025·广东广州·一模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 (2)根据材料一表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似地反映声速（）与气温（）的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （2）解：根据表格信息，声速随着气温的增大而增大，∴ 选择一次函数， ∴设声速（）与气温（）的函数关系为， 把代入， ，解得，， ∴声速（）与气温（）的函数关系为， 当时，，符合题意； ►突破四 2026中考预测题 【变式2】（2025·广东广州·一模）阅读下列材料，认真思考并回答相关的问题． 材料一：在到范围内，声音（声波）在空气中的传播速度（声速）（单位：）与气温（单位：）的关系如下表： 气温（） 0 10 20 30 声速 325 331 337 343 349 (3)目前国际通用的钢琴标准音频率为，在室温为的情况下，求钢琴标准音的波长． 材料三：声音的波长（）是指声波在传播的过程中，相邻的两个波峰（或波谷）的距离，单位为米（）．声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：． （3）解：由（2）可知声速（）与气温（）的函数关系为， ∴室温为时，， ∵声音的频率和波长与声音的传播速度（）（单位：）满足公式：， ∴，∴钢琴标准音的波长约为． ►突破四 2026中考预测题 【变式3】有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至时，热水壶又自动加热， …… ，重复上述过程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到后，又重复上述程序． 如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段表示加热过程． (1)直接写出抛物线段，线段分别对应的函数解析式； (2)从开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到． ①若按下“再沸腾”键时，水温是，求该冷却、加热过程一共所用时间； ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温． ►突破四 2026中考预测题 【变式3】有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至时，热水壶又自动加热， 如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段表示加热过程． (1)直接写出抛物线段，线段分别对应的函数解析式； （1）解：设抛物线段的解析式为：， 将代入， 得，解得， ∴抛物线段的解析式为： ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴； ►突破四 2026中考预测题 【变式3】如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段表示加热过程． (2)从开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到． ①若按下“再沸腾”键时，水温是，求该冷却、加热过程一共所用时间； （2）解：①令， 则， 解得：（不合题意，舍去）， 同理令， 则，解得：， 冷却所用时间：， 加热所用时间：， ∴该冷却、加热过程一共所用时间为． ►突破四 2026中考预测题 【变式3】如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段表示加热过程． (2)从开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到． ②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温． ②设在冷却到a分钟时按下“再沸腾”键， 由题意得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 将代入 得：， ∴按下“再沸腾”键时的水温是． 感谢聆听! $