19.3二次根式的加减(八大题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.3二次根式的加减（八大题型） 1．比较大小： （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 2．比较大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小即可，或利用平方法进行比较； （2）根据二次根式的乘法，先化简，然后比较被开方数的大小，两个负数比较大小，被开方数越大，原数越小；或利用平方法进行比较，两个负数比较大小，平方后的数越大，原数越小． 【详解】（1）解：， ． ， ． 【一题多解法】，． ， ． （2）解：， ． ， ． 【一题多解法】，，，， 而， ． 3．比较大小： （填“”“ ”“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 通过比较两个数的平方值来判断大小即可． 【详解】解： ， ， 由于， 所以． 故答案为：． 4．比大小： （填写“＞”、“=”、或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，可以通过平方后比较数值，再比较大小得出结论． 【详解】解：，，， ∴， 故答案为：． 5．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 6．如果最简二次根式和是同类最简二次根式，那么a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式、最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据同类二次根式与最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得． 故选：B． 7．若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，同类二次根式．同类二次根式需化简后根号内表达式相同，逐项判断即可． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，不合题意； B．与不是同类二次根式，不合题意； C．与不是同类二次根式，不合题意； D．，与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 8．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简，得到，再根据同类二次根式的定义，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与可以合并， 即最简二次根式与是同类二次根式， 故， 解得． 故答案为：． 9．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练将根式化简成最简二次根式，并准确判断是否是同类二次根式是解题的关键． 先化简成最简二次根式，后根据同类二次根式的概念解答即可． 【详解】解：选项A：是最简二次根式，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项B：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 选项C：，含有，与是同类二次根式，能合并，符合题意； 选项D：，不含，与不是同类二次根式，故不能合并，不符合题意； 故选C． 10．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 根据同类二次根式需被开方数相同得到，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：2． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 通过有理化分母即可求解． 【详解】解：将分子和分母同时乘以，得，再约分得． 故答案为：． 12．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式分母有理化是解题的关键． （1）分子、分母同乘以即可； （2）分子、分母同乘以即可； （3）分子、分母同乘以即可； （4）分子、分母同乘以即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 13．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 14．下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，解题的关键是掌握二次根式的化简和运算法则． 根据二次根式的性质逐一判断，注意算术平方根的非负性和分母有理化． 【详解】解：∵ 对于选项A：， ∴ 正确，符合题意； 对于选项B：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项C：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项D：， ∴ 错误，不符合题意； 故选：A． 15．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 16． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法，先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，选项计算正确，符合题意． C、，选项计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：B． 18．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先将和化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解:（1） ． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算．先比较二次根式的大小，再去绝对值符号，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 21．计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2)6 【分析】此题主要考查实数与二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）首先计算平方根、立方根、绝对值，后算加减即可； （2）首先计算乘法、开平方，后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先化简二次根式、绝对值，计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算括号里的加法，计算乘法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）先通过二次根式的性质，分母有理化进行化简，然后合并即可； （）先由完全平方公式，二次根式的乘法法则进行化简，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算乘除，再化简二次根式即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘法，再计算减法； （2）先计算二次根式的乘除，再计算加减． 【详解】（1）解：原式          ； （2）解：原式               ． 26．先化简，再求值：其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当 时，原式 ． 27．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 28．已知，，则代数式的值等于 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．先求出，，再将完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． 故答案为：19． 29．化简求值：当，时，求的值； 【答案】20 【分析】本题主要考查了分母有理化，代数式求值，完全平方公式分解因式，分母有理化求出x、y的值，则可求出的值，再利用完全平方公式分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 30．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 将代入，原式． 31．已知对，，求的值． 【答案】 3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 32．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 33．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 34．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 35．已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 36．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 37．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：　　　；并验证该等式的正确性． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据 计算即可； （2）类比可得，根据分式及二次根式的运算法则即可验证； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 故答案为：； （2）解：． 验证： ， 故该等式成立． （3）解：． 38．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【详解】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 39．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 40．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，； （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积； （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：． 41．跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【答案】(1)下落的时间为秒； (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时： ， 答：下落的时间为秒； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加减（八大题型） 目录 题型一、二次根式比较大小 1 题型二、同类二次根式 1 题型三、分母有理化 1 题型四、二次根式的加减法 2 题型五、二次根式的混合运算 2 题型六、已知字母的值，化简求值 3 题型七、已知条件式，化简求值 3 题型八、二次根式的应用 4 题型一、二次根式比较大小 1．比较大小： （填 、或） 2．比较大小： (1)与． (2)与． 3．比较大小： （填“”“ ”“”） 4．比大小： （填写“＞”、“=”、或“＜”）． 5．比较大小： （填“＞”或“＜”）． 题型二、同类二次根式 6．如果最简二次根式和是同类最简二次根式，那么a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若，下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．已知是最简二次根式且与是同类二次根式，则的值是 ． 9．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 10．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 题型三、分母有理化 11．计算： ． 12．化简： (1) (2) (3) (4) 13．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 14．下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 15．下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 题型四、二次根式的加减法 16． ． 17．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 18．计算： （1） ． （2） ． 19．计算：． 20．计算： (1) (2) 题型五、二次根式的混合运算 21．计算 (1)； (2)； 22．计算： (1)； (2)． 23．计算 (1)； (2)． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： (1)； (2)． 题型六、已知字母的值，化简求值 26．先化简，再求值：其中 27．先化简，再求值：，其中． 28．已知，，则代数式的值等于 ． 29．化简求值：当，时，求的值； 30．先化简，再求值：，其中． 题型七、已知条件式，化简求值 31．已知对，，求的值． 32．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 33．已知：，求代数式的值． 34．已知，，则的值为 ． 35．已知，求式子的值． 题型八、二次根式的应用 36．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 37．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：　　　；并验证该等式的正确性． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 38．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 39．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 40．如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 41．跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $