19.2二次根式的乘除(七大题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.2二次根式的乘除（七大题型） 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意． B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意． C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． 故选：A． 2．下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含分母且每个因式的指数都小于2． 本题考查了最简二次根式，掌握基本概念是解题关键． 【详解】A. 被开方数含小数，等价于含分母，不是最简； B. ，被开方数含平方因子4，不是最简； C. 被开方数无分母且因式指数均为1，是最简； D. ，被开方数含指数为2，不是最简． 故选：C． 3．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数、不含分母，且分母中不含根号． 【详解】解： A、，被开方数13为质数，无可开方因数，且无分母，是最简形式，符合题意； B、 = = ，可化简，不是最简，不符合题意； C、 = = ，可化简，不是最简，不符合题意； D、 = ，分母含根号，且被开方数含分母，不是最简，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的概念，解决本题的关键是熟练掌握概念． 4．下列二次根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数，含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式； B、被开方数2无平方因数且无分母，是最简二次根式； C、被开方数含有分母，故不是最简二次根式； D、被开方数，含有能开得尽方的因数9，故不是最简二次根式． 故选：B． 5．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一判断各选项. 【详解】解：∵ ① ，被开方数为质数，无平方因数，是最简二次根式； ② ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③ ，含平方因数，不是最简二次根式； ④ ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ⑤ ，对于实数，且无法分解为完全平方与整数的乘积，无平方因数，是最简二次根式． ∴ 最简二次根式有①和⑤，共个. 故选：B． 6．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 7．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、 ，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先确定分母的有理化因式，再将分子分母同乘以该因式，最后化简得出结果． 【详解】（1）． （2）． 【点睛】本题考查二次根式的化简，需通过分母有理化将分母中的根号去掉，即可求解． 9．将化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，利用二次根式的性质化简根式，并通过分母有理化得到最简形式即可. 【详解】解：； 故选A. 10．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 【详解】解：因为 ，所以 ， 则 ， 故答案为 ． 11．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 12．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 13．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 14．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 15．若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 16．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 直接根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的性质，． 故答案为：． 17．估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 根据二次根式的乘法化简式子，然后再估算结果的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在5到6之间． 故选：C． 18．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，注意化简为最简二次根式是解题的关键． 利用二次根式的乘法法则，将合并为，再化简即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 19．计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．应用二次根式的乘法法则进行计算 【详解】解：根据二次根式的乘法运算法则，， ． 故答案为 4． 20．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 21．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)45 (2)15 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键． （1）可根据二次根式的乘法法则进行化简； （2）将转化为，再根据二次根式的乘法法则进行化简； （3）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，再进行分母有理化； （4）将转化为，再根据二次根式的乘法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简二次根式，根据题意可得，据此先计算二次根式乘法，再化简二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式，和有意义， ∴， ∴ ． 23．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式，二次根式的乘法运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 25．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 26．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含二次根式的一元一次方程求解，关键是利用等式性质将系数化为1，并对二次根式进行化简． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 27．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用二次根式的除法进行计算并化简即可得解． 【详解】解：， 故答案为． 28．计算：（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的除法计算．熟悉二次根式的除法计算法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则：，进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 答案为． 故选：． 29．下列各数中，与的商为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的除法运算及有理数的定义，将各选项与相除，判断结果是否为有理数． 【详解】解：A选项：，结果是无理数； B选项：，结果是无理数； C选项：，结果是无理数； D选项：，是有理数． 故选：D． 30．计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 31．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，核心是利用二次根式的运算法则：，(，)，同时注意系数与根式部分分开运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由，有意义，∴， ； （5）解：由，有意义，∴， ； （6）解：原式． 32．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘除混合运算等知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 33．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 34．计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 35．计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 36．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴ ． 37．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 38．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 39．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到结果； （2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意得：， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键． 40．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 41．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 42．如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 【答案】(1)；2． (2)①；②每秒个单位长度． 【分析】本题考查轴上的几何问题，重点在于理解正方形和等腰直角三角形的性质，以及如何在数轴上表示和计算点的位置和距离．同时，需要运用速度和时间的关系来求解甲虫的爬行距离和速度． （1）根据正方形面积计算出边长，即是点到原点的距离，且点在原点右侧，注意符号；是等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理可以求出长度． （2）①甲虫爬行的距离可以根据图像将甲虫走过的线段长度求和； ②根据相遇位置，求出甲虫所走过的距离，从而得到两只甲虫相遇的时间，再根据甲虫走过的距离，求出甲虫的爬行速度． 【详解】（1）解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， 点表示的数为． 为等腰直角三角形， ． 故答案为：，2． （2）解：①根据题意，甲虫爬行的距离； ②甲虫，相遇时，甲虫爬行距离为， 则甲虫爬行时间为秒， 甲虫爬行距离为， 爬行速度为， 甲虫的爬行速度为每秒个单位长度． 43．阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 44．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）解法一：依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解法一：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 解法二：设， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 45．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 46．老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习： 已知，，用含a，b的代数式表示．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法： 小豪：． 小麦：． 因为，． 老师看罢，提出下面的问题： (1)两位同学的解法都正确吗？ (2)请你说明理由． 【答案】(1)都正确 (2)见解析 【分析】（1）仔细阅读两同学的解题过程，然后判断； （2）证明两人所得结果可以互相转换即可． 【详解】（1）解：都正确． （2）解：理由如下： 观察两位同学的解答过程可知，均符合二次根式运算法则，所得结果可以互相转换， ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，灵活运用二次根式运算法则是解题的关键． 47．阅读下面材料： 老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面一道题： 已知，用含的代数式表示． 小明，小黑两名同学跑上讲台，写了如下两种解法． 小明：． 小黑：． 请按上述两种方法解答：已知，用含的式子表示． 【答案】小明：；小黑： 【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后仿照其过程分别计算． 【详解】解：小明：======； 小黑：====== 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题． 48．先来看一个有趣的现象：.这样根号里的因数2经过适当地演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等. （1）猜想：______，并验证你的猜想． （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？ （3）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 【答案】（1），验证见解析；（2）；（3）．（答案不唯一） 【分析】（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法公式验证即可； （2）根据已知等式找出规律，并归纳公式即可； （3）取正整数n的一个定值，代入（2）中公式即可． 【详解】解：（1），验证如下： 故答案为． （2）第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即； ∴用含正整数的式子表示为：． （3）可令（2）中的n=6可得：．（答案不唯一） 【点睛】此题考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法公式是解决此题的关键． 49．如图，将面积为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B. （1）点A和点B在数轴上对应的数分别是哪两个数？ （2）线段AB的长是多少？ （3）若将线段AB沿x轴向左平移4个单位，得到线段,则点,点在数轴上对应的数分别是哪两个数？并求出这两个数的乘积是多少？ 【答案】（1），；（2）-；（3）和，乘积是 【分析】（1）根据正方形的面积可求出正方形的边长，从而得出A、B对应的实数； （2）利用数轴上两点之间的距离公式可计算出AB的长度； （3）由平移的性质得出点,点在数轴上对应的数，再计算它们的乘积即可. 【详解】（1）∵正方形的面积分别为2和3， ∴, ∴OA=，OB= ∴A、B对应的数是，； （2）AB=OB-OA=-； （3）线段AB沿x轴向左平移4个单位，得到线段,则点,点在数轴上对应的数分别是，， ∴ = = 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下册19.2二次根式的乘除（七大题型） 目录 题型一、最简二次根式的判断 1 题型二、化为最简二次根式 1 题型三、已知最简二次根式求参数 2 题型四、二次根式的乘法 2 题型五、二次根式的除法 3 题型六、二次根式的乘除混合运算 3 题型七、二次根式的拓展 4 题型一、最简二次根式的判断 1．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．下列根式中，最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式：①；②；③；④；⑤．最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 7．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型二、化为最简二次根式 8．计算： (1) (2) 9．将化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 10．化简： ． 题型三、已知最简二次根式求参数 11．与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为 ． 12．是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 13．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 14．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 15．若与最简二次根式能合并，则的值为 ． 题型四、二次根式的乘法 16．计算： ． 17．估计的值应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 18．计算： ． 19．计算： ． 20．计算： ． 21．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 22．计算：． 23．计算： (1)； (2) 题型五、二次根式的除法 24．计算： (1)． (2)（）． 25．计算： ． 26．解方程． (1) (2) 27．化简： ． 28．计算：（   ）. A． B． C． D． 29．下列各数中，与的商为有理数的是（    ） A． B． C． D． 30．计算下列各式： (1) (2) (3) 题型六、二次根式的乘除混合运算 31．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 32．计算： ． 33．计算：． 34．计算： 35．计算： （1） ． （2） ． 36．计算：． 37．计算： (1)． (2)． 38．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 39．计算： (1)． (2)． 40．计算： (1)． (2)． 题型七、二次根式的拓展 41．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 42．如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 43．阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 44．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 45．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 46．老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习： 已知，，用含a，b的代数式表示．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法： 小豪：． 小麦：． 因为，． 老师看罢，提出下面的问题： (1)两位同学的解法都正确吗？ (2)请你说明理由． 47．阅读下面材料： 老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面一道题： 已知，用含的代数式表示． 小明，小黑两名同学跑上讲台，写了如下两种解法． 小明：． 小黑：． 请按上述两种方法解答：已知，用含的式子表示． 48．先来看一个有趣的现象：.这样根号里的因数2经过适当地演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等. （1）猜想：______，并验证你的猜想． （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？ （3）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 49．如图，将面积为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B. （1）点A和点B在数轴上对应的数分别是哪两个数？ （2）线段AB的长是多少？ （3）若将线段AB沿x轴向左平移4个单位，得到线段,则点,点在数轴上对应的数分别是哪两个数？并求出这两个数的乘积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $