19.1二次根式及其性质(八大题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

八年级数学下册19.1二次根式及其性质（八大题型） 目录 题型一、二次根式的概念 1 题型二、二次根式有意义的条件 2 题型三、求二次根式的值 3 题型四、求二次根式的参数 3 题型五、利用二次根式的性质化简 3 题型六、二次根式与数轴 4 题型七、二次根式规律探究 5 题型八、二次根式与实际问题 6 概 念 （1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. （3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1. 二 次 根 式 的 性 质 （1）双重非负性： ①被开方数是非负数，即a≥0； ②二次根式的值是非负数，即≥0. 注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式. 利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如+=0，则a=-1，b=1. （2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0. (2)两个重要性质： ①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝； (3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)； (4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)． 例：计算： ＝3.14；＝2； =；=2 ； 题型一、二次根式的概念 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 4．下列各式中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中，不一定是二次根式的为（    ） A． B． C． D． 6．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 题型二、二次根式有意义的条件 7．为何值时，根式有意义（    ） A． B． C． D． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 9．使代数式 有意义的x的值可以是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 10．代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．使代数式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．下列各式中，有意义的是（   ） A． B． C． D． 13．写出使二次根式有意义的的一个值 ． 14．若二次根式在实数范围内有意义，则x不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 15．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为 ． 题型三、求二次根式的值 16．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 17．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 19．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 20．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 21．当时，二次根式的值为 ． 22．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 题型四、求二次根式的参数 23．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 25．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 26．若实数x，y满足，则的值为 ． 27．若二次根式的值为0，则的值为 ． 28．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ． 29．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 30．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 题型五、利用二次根式的性质化简 31．化简 ． 32．下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 33．若，则 ． 34．化简：． 35．若，则化简 ． 36．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 37．的相反数是 ，绝对值是 ． 38．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六、二次根式与数轴 39．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ． 40．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是 ． 41．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 42．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 43．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 题型七、二次根式规律探究 44．阅读下列解题过程： ， ， ， ．．．．．． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出______； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，请计算的值． 45．实践与探究： (1)用计算器计算：_________， _________，_________，_________，_________； (2)根据计算结果，回答： ①一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； ②利用你总结的规律化简和，其中． 46．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 47．观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式． 题型八、二次根式与实际问题 48．一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：）与其开始落下的高度（单位：）满足关系． (1)用含有的式子表示． (2)当的值分别为0，10，15，20，25时，得到的的值分别是什么？的值是怎样变化的？ 49．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时， ， ，当且仅当时取等号，请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当_____时，有最小值______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 50．在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行，一般有经验公式，其中表示刹车前的速度（单位：）．请你根据以上信息，解答下列问题． (1)若，则 ． (2)当时，求速度的值（结果保留根号）． 51．摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆长有关系．他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），，是圆周率．（取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到，参考数据：，） (1)若一个摆钟的摆线长为，它摆动一个周期的时间是多少？ (2)一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为，求该摆钟的摆线长． 52．某地气象资料表明：该地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，d（km）是雷雨区域的直径． (1)若雷雨区域的直径为8km，求这场雷雨大约能持续的时间； (2)若一场雷雨持续了2h，求这场雷雨区域的直径约是多少？ 53．经研究发现：电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看电视节目的区域越广，如果电视塔高h米，电视节目信号的传播半径为r米，则它们之间存在近似关系，其中R是地球半径，米，已知太原市最高的电视塔高度约为180米，求该电视塔发射节目信号的传播半径约为多少米？ 54．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1二次根式及其性质（八大题型） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 2．下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，判断每个式子是否符合形如（）的形式，需同时满足根指数为、被开方数为非负数两个条件，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ②的被开方数，根指数为，是二次根式； ③当时，，被开方数为负数，不是二次根式； ④∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑤的根指数为，不是，不是二次根式； ⑥∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑦的被开方数，不是二次根式； 综上，是二次根式的有①②④⑥，共个． 故选：C． 3．下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，逐一分析各选项是否符合定义即可． 【详解】解：∵， ∴， 由二次根式的定义可知，四个式子中只有是二次根式（当时，没有意义）， 故选：C． 4．下列各式中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式形如（）的特征，判断各选项被开方数的正负性即可求解． 【详解】解：A、被开方数，属于二次根式； B、被开方数，不满足二次根式的定义，不属于二次根式； C、被开方数，属于二次根式； D、∵，∴，被开方数非负，属于二次根式． 故选：B． 5．下列各式中，不一定是二次根式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确根据二次根式的定义分析得出是解题关键 利用二次根式的定义进而分别分析得出即可． 【详解】解：A．当时，无意义，故此选项符合题意； B．中，是二次根式，不合题意； C．是二次根式，不合题意； D．中，是二次根式，不合题意． 故选：A． 6．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 7．为何值时，根式有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据被开方数为非负数列一元一次不等式求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵根式有意义， ∴， 解得， 故选：A． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），掌握知识点是解题的关键。 根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式求解即可. 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴有意义，要求，即； 有意义，要求，即. ∴且. 故选B. 9．使代数式 有意义的x的值可以是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，要使给定代数式有意义，需同时满足二次根式被开方数非负和分式分母不为0的条件，据此确定x的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵代数式有意义 ∴ 解不等式，得 解不等式，得 ∴x的取值范围是且， 选项中只有5满足该范围， 故选：D． 10．代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不等于零是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）和分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义． ∴， 解得：． 故选C． 11．使代数式有意义的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得，解不等式就可以求解． 【详解】解：∵代数式有意义 ∴ 解得 故选：B． 12．下列各式中，有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式、三次根式、分式、零次幂有意义的条件，其中二次根式中被开方数为非负数，三次根式的被开方数可为任意实数，分式的分母不为0，0次幂的底数不能为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，选项A中被开方数， ∴无意义，选项A不合题意； ∵三次根式的被开方数可为任意实数， ∴有意义，选项B符合题意； ∵分式有意义的条件是分母不为0，选项C中分母=0， ∴无意义，选项C不合题意； ∵0次幂的底数不能为0， ∴无意义，选项D不合题意； 故选：B． 13．写出使二次根式有意义的的一个值 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，核心是二次根式的被开方数必须是非负数．先根据该条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围，再从这个范围内任取一个符合条件的数值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数，解得． 取(满足的任意实数均可)， 故答案为：(答案不唯一)． 14．若二次根式在实数范围内有意义，则x不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，牢记二次根式有意义的条件是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x的取值范围，再判断选项中不符合范围的数即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴被开方数 解得 ∵，，， ∴x不可能是， 故选：A． 15．如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式并求解即可． 【详解】解：二次根式 在实数范围内有意义，需满足被开方数 ， 解不等式 ，得， 故答案为：． 16．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 17．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 18．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 19．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 20．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 21．当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键．将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 22．当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 23．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 24．已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 25．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 26．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 27．若二次根式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键． 根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 28．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 29．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 30．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 31．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 32．下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的运算、幂的乘方运算及二次根式的性质，需根据相关运算法则逐一判断选项正误. 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并， ∴A选项错误， ∵，当时，， ∴B选项错误， ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，即， ∴C选项错误， ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即， ∴D选项正确. 故选：D 33．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，化简二次根式，利用绝对值和平方的非负性，求出 m 和 n 的值，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 34．化简：． 【答案】当时，结果为；当时，结果为． 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的化简以及分类讨论的数学思想，掌握二次根式的化简规则和绝对值的分类讨论方法是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再将根号内的二次三项式因式分解为完全平方式，转化为绝对值形式；然后结合的隐含条件，分区间讨论绝对值内表达式的正负，完成化简． 【详解】解：． 由题意知． ①当，即时，原式； ②当，即时，原式． 综上所述，当时，结果为；当时，结果为． 35．若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，核心知识点是二次根式的性质，以及绝对值的化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 36．化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，先根据被开方数为非负数得，再化简原式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则 ， 故选：B． 37．的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数；根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，判断原式的正负性则可得知原式的绝对值； 本题考查了相反数和绝对值，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解： 的相反数是 ； ∵ ， ∴ ，其绝对值为它本身， 即 ； 故答案为：，． 38．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质逐一判断选项解答即可． 【详解】解：A、，等号右边无意义，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、与的大小关系无法确定，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 39．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】b 【分析】本题考查二次根式的性质、数轴，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键． 先由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简并代值求解即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴ ， 故答案为：b． 40．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式， 先根据数轴的定义得出，，再根据绝对值的意义，二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可得：，，， 故． 故答案为：． 41．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 42．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 43．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 44．阅读下列解题过程： ， ， ， ．．．．．． 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出______； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，请计算的值． 【答案】(1)29 (2) (3)2025 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，乘法公式的应用，读懂题意，熟练应用二次根式的运算法则，找到规律是解题的关键． （1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可； （2）根据运算规律结合乘法公式即可求解； （3）利用（2）的结论，再运用乘法公式即可求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：29． （2）解：由题意得 ． ∴上述各式子的变形规律为． （3）解：原式 ． 45．实践与探究： (1)用计算器计算：_________， _________，_________，_________，_________； (2)根据计算结果，回答： ①一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来； ②利用你总结的规律化简和，其中． 【答案】(1)3  0.5  6    0 (2)①不一定等于．规律：正数和0的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数．②， 【分析】（1）利用计算器或二次根式性质直接计算，观察结果与底数的关系； （2）①通过计算结果归纳出的化简规律；②利用该规律对给定式子进行化简． 【详解】（1）解：； ； ； ； ． （2）解：①不一定等于． 当时，； 当时，． 规律：正数和的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数． ②，，． ，， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，特别是这一重要结论，解题关键是理解算术平方根的非负性，避免直接将等同于． 46．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，． （2）由题意可知： ， ∵，，，均为正整数， ∴，， 故答案为：，． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 47．观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可； （2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 验证： ， ∴正确； （2）由（1）中的规律可知， ∴， 验证：；正确． 48．一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：）与其开始落下的高度（单位：）满足关系． (1)用含有的式子表示． (2)当的值分别为0，10，15，20，25时，得到的的值分别是什么？的值是怎样变化的？ 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；的值随的增大而增大 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握算术平方根二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的意义解答即可； （2）将数据代入（1）中的式子，解答即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∵， 的值随的增大而增大． 49．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时， ， ，当且仅当时取等号，请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当_____时，有最小值______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)需要用的篱笆最少是米 【分析】本题考查了二次根式在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）先化简，运用公式计算即可； （3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+设所需的篱笆长为米，由题意得，再根据阅读中的公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ，即时，的最小值为， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 即， 的最小值为； （3）解：设所需的篱笆长为米，由题意得， 由题意可知：， 需要用的篱笆最少是米． 50．在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行，一般有经验公式，其中表示刹车前的速度（单位：）．请你根据以上信息，解答下列问题． (1)若，则 ． (2)当时，求速度的值（结果保留根号）． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的应用， （1）把代入公式计算即可； （2）把代入公式求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，得 （2）根据题意，得． ． ，． 51．摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆长有关系．他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），，是圆周率．（取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到，参考数据：，） (1)若一个摆钟的摆线长为，它摆动一个周期的时间是多少？ (2)一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为，求该摆钟的摆线长． 【答案】(1)； (2)该摆钟的摆长为 【分析】本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解． （1）将代入计算求出T，即可得解； （2）令求出l即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 答：它摆动一个周期的时间是； （2）令，即， 解得：． 答：该摆钟的摆长为． 52．某地气象资料表明：该地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，d（km）是雷雨区域的直径． (1)若雷雨区域的直径为8km，求这场雷雨大约能持续的时间； (2)若一场雷雨持续了2h，求这场雷雨区域的直径约是多少？ 【答案】(1)这场雷雨大约能持续的时间为 (2)这场雷雨区域的直径约为 【分析】此题考查二次根式的化简的应用，根据二次根式的性质化简是关键． （1）把代入计算即可； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，． 答：这场雷雨大约能持续的时间为； （2）当时，， ∴． 答：这场雷雨区域的直径约为． 53．经研究发现：电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看电视节目的区域越广，如果电视塔高h米，电视节目信号的传播半径为r米，则它们之间存在近似关系，其中R是地球半径，米，已知太原市最高的电视塔高度约为180米，求该电视塔发射节目信号的传播半径约为多少米？ 【答案】该电视塔发射节目信号的传播半径约为米 【分析】此题考查了二次根式的化简等知识． 把，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：把，，代入， 得 （米） 答：该电视塔发射节目信号的传播半径约为米． 54．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 【答案】米/秒 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题目所给公式建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知， ∴，                 ∴（米/秒）． 答：该运员的跑步速度是米/秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $