精品解析：湖南省衡阳市衡南县2025-2026学年高二上学期期末数学试题

衡南县高二期末考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 注意事项：请考生把答案写在答题卡上.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A，再应用交集定义求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：A. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的几何意义求解. 【详解】由题设，对应点为，第四象限. 故选：D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再利用向量平行的坐标公式构造方程求解． 【详解】， ， ， ，解得，故C正确． 故选：C． 4. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再应用赋值法计算求解导数值. 【详解】由，得， 令，则，得. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式得到的值，再利用正切的和角公式可得答案. 【详解】由得，， 则， 所以，. 故选：A. 6. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【详解】设等比数列的公比为，所以， 当且仅当，即时取等号，此时. 故选：D. 7. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性易得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求的实轴长. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为的倾斜角为， 故，而，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，可得，设，由的倾斜角为， 得，于是由，得， 又，则，解得，故实轴长为. 故选：B. 8. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定点的轨迹后，结合函数定义逐项判断即可得. 【详解】由，可得，， 故在以原点为圆心，半径为的圆的右半圆上. 对A、C：如图：当位于点或时，有与全等， 则，即当时，可为或，可为或， 故、都不是关于的函数，故A、C错误； 对B：当时，如图，可能位于点或点处， 显然，故一个可能得到两个不同的， 故不是关于的函数，故B错误； 对D：由，则确定时，唯一确定， 则当确定时，点也唯一确定， 则每一个都有相对应的一个， 故是关于的函数，故D正确. 故选：D 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则不正确的是（ ） A. 样本A的极差大于样本B的极差 B. 样本A的分位数小于样本B的分位数 C. 样本A的平均数小于样本B的平均数 D. 样本A的方差大于样本B的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据图表读出最大值和最小值之差；B选项，根据百分位数定义求解；C选项，由图知，样本的对应数据都比样本更小，得到判断；D选项，根据方差的意义判断. 【详解】不妨设图中小正方形的边长是， A选项，由图知，样本的极差是，样本的极差是， 样本的极差更大，A错误； B选项，样本的数据从小到大排列为， 其分位数为第个数，即； 样本的数据从小到大排列为，， 其分位数为第个数，即， 则样本的分位数更大，B错误； C选项，由图可知样本每个样本的数据均小于样本的对应数据， 所以样本的平均数小于样本的平均数，C正确； D选项，由图可知，样本的离散程度小于样本的离散程度， 所以样本的方差小于样本的方差，D错误. 故选：ABD. 10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 的坐标为 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】把一般式化成标准式可得圆的圆心及半径，可判断A；求出圆心到直线的距离判断B；利用圆的性质及切线性质求出最小值判断CD. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径，A错误； 对于B，过作直线的垂线，交圆于点，交直线于， 圆心到直线的距离： ，而， 所以圆上只有点满足到直线的距离为2，B正确； 对于，C正确； 对于D，由切线的性质， 得切线长为，D错误. 故选：BC. 11. 如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限､第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（ ） A. B. 的面积为32 C. 的值比32小 D. 直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为1.4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性，可求得各曲线的方程，进而求出交点，，从而判断选项A和B；对于阴影部分的面积，利用适当放大，可对选项C进行判断；通过求出弦长与的函数关系，进而求出弦长的取值范围，可判断D. 【详解】设抛物线绕原点顺时针旋转，，后得到的三条曲线分别为，，. 抛物线的焦点为，故的焦点为，的焦点为，的焦点为. 故，，，. 对于A：为曲线与交点，联立方程，解得，即. 为曲线与交点，联立方程，解得，即. 又因为，故.故A正确； 对于B：由上述过程可得，，，的面积为.故B正确. 对于C：由于对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分. 第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分. 设该阴影部分面积为，显然. 设函数，则.故过点的切线斜率为. 因此过点的切线方程为.该切线与轴交于，故. .故.故C正确； 对于D：第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围成，两者关于对称. 直线与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限， 所以，故，所以交点坐标. 由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故，即. 由于与关于直线对称，直线亦关于直线对称， 所以直线与的交点坐标为. 故弦长 设，则，故. 因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为； 当时，即时，弦长最长，此时.故弦长的取值可能为，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出斜率，再由直线的点斜式方程可得切线方程. 【详解】求导得，所以，又， 所以切线方程为，化简可得. 故答案为：. 13. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为二面角，当点B与点D之间的距离为3时______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，利用模长公式，结合数量积的运算即可求解. 【详解】分别作，，垂足为，，则． 由，可得，所以． 因为，则 ， 故， 故答案为：． 14. 已知为数列的前项和，，，，则当，时，______(用表示)． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干定义分析得到数列各项取值的特征，然后利用分组求和可得结果. 【详解】由题意，可得时，， 当时，， 当时，，…… 当时，， 当，时， . 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角､､所对的边分别为､､，，. （1）求函数的最大值及对应的值； （2）若，，，求的周长. 【答案】（1）的最大值为，此时 （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据角A的范围，可得的范围，根据正弦型三角函数的性质，分析可得当时，有最大值，计算即可得答案. （2）根据（1），结合题意，可得角A的大小，根据正弦定理，结合条件，可得的值，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，即时，， 所以的最大值为，此时. 【小问2详解】 由（1）得，因， 所以，解得， 又，由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长为. 16. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）先设出点Q和点P的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程. 【小问1详解】 因为，所以点A在圆外， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为2，所以直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 设，，则. 因为，所以，即. 又因为点在圆C：上，所以. 将代入可得， 整理得，即点Q的轨迹方程为. 17. 已知等差数列的公差为2，等比数列 的公比为2，且 （1）求数列 的通项公式； （2）求数列的前n项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差、等比数列的通项公式即可求解； （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由， 得， 所以， ， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 所以 18. 如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. （1）求证：四边形是矩形； （2）若 求二面角 的正弦值； （3）记三棱柱 的体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，在利用线面垂直的性质证明，最后利用三棱柱的性质证明四边形是矩形； （2）首先以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.然后分别求平面与平面的法向量，最后利用二面角的夹角公式进行求解即可. （3）首先根据三棱锥的体积公式确定数列是等比数列，并求其通项公式，再利用裂项相消法求和，并结合放缩法即可得证. 【小问1详解】 如图，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面上的射影为的中点，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面. 因为平面，所以， 因，所以， 又四边形是平行四边形，所以四边形是矩形. 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：. 设二面角的平面角的大小为， 则， 所以， 即二面角的正弦值为. 【小问3详解】 由题可得：， 因为为线段的中点，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 所以， 所以， 由于，所以，因此得证：. 19. 如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C． （1）证明曲线C的方程为（）； （2）设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点. ①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值. ②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为?若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②存在，2条 【解析】 【分析】（1）设，分别表示出直线的方程和直线的方程，两式相乘化简即可得出答案. （2）①先明确曲线顶点、焦点，设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率条件确定直线过定点Z，点W的轨迹是以OZ为直径的圆，进而计算得出面积表达式；②设过焦点的直线方程，联立椭圆方程后用韦达定理，将四边形面积转化为三角形面积作差，通过换元、函数单调性分析，结合面积值判断直线条数. 【小问1详解】 显然，设， 因为，，所以，， 当时，则直线的方程为①， 直线的方程为② ①×②得：即. 故曲线方程为，得证. 【小问2详解】 ①由，设直线：，，， 直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足， 联立，得. ， ，，， 即， 化简可得：，解得：，则直线过. 得直线PQ过定点，而点W是坐标原点O在直线l上的射影， 所以点W的轨迹是以OZ为直径的圆（除去与x轴的交点）. 因为该圆的圆心为，半径， 所以面积的最大值为． ②满足题意的直线条数有两条，证明如下： 由题意可知直线PQ的斜率不为0，设，，，不妨令，， 联立，可得 因为四边形OFQN的面积为， 所以， 因为，代入①可得，， 代入②可得， 所以，即或， 令，则， 令因为恒成立，所以，即在上单调递增， 因为，由零点存在性定理可知： 所以在上有唯一零点， 综上所述，满足题意的直线l有两条. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡南县高二期末考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 注意事项：请考生把答案写在答题卡上.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 5. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 6. 设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的实轴长为（ ） A 2 B. 4 C. D. 8. 已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据，则不正确的是（ ） A. 样本A的极差大于样本B的极差 B. 样本A的分位数小于样本B的分位数 C. 样本A的平均数小于样本B的平均数 D. 样本A的方差大于样本B的方差 10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 的坐标为 B. 圆上只有一个点到直线的距离为2 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 11. 如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限､第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（ ） A B. 的面积为32 C. 的值比32小 D. 直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为1.4 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则在处的切线方程为__________. 13. 在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时______． 14. 已知为数列的前项和，，，，则当，时，______(用表示)． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角､､所对的边分别为､､，，. （1）求函数的最大值及对应的值； （2）若，，，求的周长. 16. 已知圆，直线过点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若P为圆C上任意一点，，点Q满足，求点Q的轨迹方程. 17. 已知等差数列的公差为2，等比数列 的公比为2，且 （1）求数列 的通项公式； （2）求数列前n项和 . 18. 如图，在三棱柱 中，，点 在平面上的射影为的中点. （1）求证：四边形是矩形； （2）若 求二面角 的正弦值； （3）记三棱柱 体积为，线段 的中点为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求证： 19. 如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C． （1）证明曲线C的方程为（）； （2）设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点. ①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值. ②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为?若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $