精品解析：湖南省张家界市桑植县2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

湖南省张家界市桑植县2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与向量共线的向量的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间共线向量的坐标公式进行判断即可. 【详解】因为，所以选项A向量不与向量共线； 因为，所以选项B向量与向量共线； 因为，所以选项C向量不与向量共线； 因为，所以选项D向量不与向量共线； 故选：B 2. 观察下列数列的特点，在划线处应填的数是（ ） 1，1，2，3，5，__________，13，...... A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】从第三项起，每一项与前两项之间的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以划线处填的数为，， 故选：B 3. 已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 4. 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以由抛物线的定义可知抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为. 故选：A 5. 如图，在四面体OABC中，.点在OA上，且，为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】 . 故选：B 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，结合递推公式进行求解即可. 【详解】在中，令，得 ， ， 所以有. 故选：D 7. 已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数导数的正负性判断新函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造新函数， 所以是上递增函数， 所以. 故选：D 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为. 椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，）， 解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理： ， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式、定义、椭圆的性质、勾股定理逐一判断即可. 【详解】由椭圆. A：椭圆的离心率为，所以本选项说法不正确； B：因为椭圆的左、右焦点分别为是上任意一点， 所以由椭圆的定义可知：，因此本选项说法正确； C：设点的坐标为，该点是上任意一点， 所以，， ， 因为点是上任意一点， 所以， 所以的最大值为，所以本选项说法正确； D：由上可知， 所以，又因为， 所以， 假设存在使为直角的点， 因此有， 把代入中，得， 把代入中，得， 所以这样的点有四个，故本选项说法正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据平行线的性质和平行线间的距离公式进行求解判断即可； 对于B：根据互相垂直直线的性质进行求解判断即可； 对于C：根据点到直线距离公式，结合基本不等式进行运算求解判断即可； 对于D：根据直线斜率公式，利用数形结合思想进行运算求解判断即可. 【详解】对于A：因为直线与直线平行， 所以， 所以两直线方程为， 而， 所以它们之间的距离是，所以本选项说法正确； 对于B：因为直线与直线互相垂直， 所以或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以本选项说法不正确； 对于C：点到直线的距离为， 令，所以， ， 当时，， 当时，， 所以当时，即时，有最大值， 此时，所以本选项说法正确； 对于D：如图所示： ， 直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是或，所以本选项说法不正确. 故选：AC 11. 如图，在矩形AEFC中，为EF的中点，分别沿AB、BC将翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. PA与BC所成角的余弦值为 C. PA与平面PBC所成角的正弦值为 D. 三棱锥的外接球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D. 【详解】由题意可得，，又，平面PAC， 所以平面PAC， 在中，，AC边上的高为， 所以，故A正确； 对于B，在中，，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设点A到平面PBC的距离为d， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误； 由B选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 设外接球球心为，外接圆圆心为， 连接，可知平面， 又因为平面， 所以， 在直角三角形中， 可得：，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则曲线在处的切线斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的运算性质，结合导数的几何意义进行求解即可. 【详解】， 所以曲线在处的切线斜率为. 故答案为： 13. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【详解】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 14. 记为数列的前项和，已知，且，则__________；若对于任意，都有，则实数的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对两边同时除以，根据等比数列的定义求出数列的通项公式；再根据的关系求出数列的通项公式，最后根据任意性的定义、常变量分离法、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 当时，， 显然也适合，所以， ， 设，要想对于任意，都有， 只需，设， 所以， 由对勾函数的单调性可知： 当时，该函数单调递减，当，该函数单调递增， 所以当时，该函数有最小值，此时， 所以， 所以，因此实数的取值范围为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上且与轴相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）结合题设可先求得圆心，进而求出半径，即可得到圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为5， 又因为圆的圆心在直线上，则圆心的纵坐标为4，即， 则圆的半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即． 则，解得或0， 所以直线的方程为或． 综上所述，直线的方程为或. 16. 记为数列的前项和，已知，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以数列为等比数列； （3） 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）根据等比数列的定义进行运算证明即可； （3）运用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 也满足上式， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减得 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）当时，讨论方程的实数解的个数. 【答案】（1）的减区间是，的增区间是 （2）极小值为，无极大值 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可； （3）利用转化法，把方程问题转化为直线与曲线交点个数问题，结合导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 该函数的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的减区间是，的增区间是； 【小问2详解】 由（1）知的减区间是，的增区间是， 所以当时，取得极小值，无极大值； 【小问3详解】 方程的实数解的问题转化为直线和函数的图象交点个数问题， 易知，，， 由（1）作出函数的大致图象，如图所示：    由图象知： 当或时，直线和函数的图象无交点，即方程无实根； 当时，直线和函数的图象有2个交点，即方程有2个实根； 当或时，直线和函数的图象有1个交点，即方程有1个实根； 综上所述： 当或时，方程无实根； 当时， 方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根. 19. 已知椭圆的离心率为.且经过点是椭圆上的两点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与的斜率之积为（为坐标原点），点为射线上一点，且，若线段与椭圆交于点，设. （i）求值； （ii）求四边形的面积. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由离心率为及过点可得椭圆方程； （2）（i）设，由题目条件可得， ，后利用点E在椭圆上，可得答案； （ii）由（i）可得四边形面积为.当直线PQ斜率为0时，易得； 当直线斜率不为0时，将直线PQ方程与椭圆方程联立后，利用韦达定理，结合，可得，后可得. 【小问1详解】 依题意有，解得，故椭圆C方程为. 【小问2详解】 （i）设，因，则. 因P，Q均在椭圆上，则. 又，则. 因，则，可得.又在椭圆上，则. ； （ii）由（i），可知， 则四边形面积为. 当直线PQ斜率为0时，易知，又，则. 根据对称性不妨取，，由得，则 ，得此时； 当直线斜率不为0时，设的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有： ，消去x得：. 由题，其判别式大于0，则由韦达定理，有. . . 又原点到直线PQ距离为，则此时. 综上可得四边形面积为. 【点睛】关键点点睛：本题涉及椭圆中的向量比例问题及椭圆中的面积问题，难度较大. 对于向量比例问题，本题利用点E在椭圆上，构建了关于的方程； 对于面积问题，本题由题目条件，将求四边形面积转化为了求相关三角形的面积，但需注意所涉直线的特殊性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省张家界市桑植县2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与向量共线的向量的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列数列的特点，在划线处应填的数是（ ） 1，1，2，3，5，__________，13，...... A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 如图，在四面体OABC中，.点在OA上，且，为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点有4个 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11. 如图，在矩形AEFC中，为EF的中点，分别沿AB、BC将翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. PA与BC所成角的余弦值为 C. PA与平面PBC所成角的正弦值为 D. 三棱锥的外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，则曲线在处的切线斜率为__________. 13. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为______． 14. 记为数列的前项和，已知，且，则__________；若对于任意，都有，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上且与轴相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 16. 记为数列的前项和，已知，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列为等比数列； （3）求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）当时，讨论方程的实数解的个数. 19. 已知椭圆的离心率为.且经过点是椭圆上的两点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与的斜率之积为（为坐标原点），点为射线上一点，且，若线段与椭圆交于点，设. （i）求值； （ii）求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $