精品解析：浙江金华市武义县、永康市、磐安县2025学年第一学期九年级期末考试数学试题卷

2025学年第一学期九年级期末考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（ ） A. 轴对称 B. 平移 C. 旋转 D. 位似 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 2. 已知线段，，则的比例中项线段c等于（ ） A. 36 B. 6 C. D. 6.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查成比例线段的概念，解决本题的关键是熟练掌握成比例线段的概念． 根据比例中项线段满足，且线段长度为正值，由此求解即可． 【详解】∵是和的比例中项， ∴， 又∵线段的长度为正数， ∴． 故选：B． 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，以及三角形内角和定理，解决本题的关键是由相似的性质得到． 根据三角形内角和为可求解的度数，再由，可得，由此可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． 故选：A ． 4. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 5. 如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，圆周角定理，先根据圆周角定理求出，再用除以中心角可得边长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 则， ∴这个正多边形是正十边形． 故选：A． 6. k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A. 直线上 B. 直线上 C. x轴上 D. y轴上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法和一次函数的性质是解题的关键． 求出抛物线的顶点为，可以得到顶点在直线上． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵任意实数， ∴顶点坐标满足， ∴顶点总在直线上． 故选：B 7. 如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为．则管道的展直长度（即为图中虚线所表示的中心线的长度）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，根据图形和弧长公式计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：图中管道的展直长度， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找出图中位似中心，再由正方形性质得到，进而判定，由相似比代值得到，再根据点的坐标及正方形性质得到相关线段长度，代入比例式解方程即可得到答案． 【详解】解：若正方形与正方形是位似图形，连接对应点并延长，如图所示： 则点就是位似中心， 点的坐标分别为，， ， ， ， 则， 点的坐标分别为，， ， 则， ， 即，解得， 的位似中心的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查求位似中心坐标，涉及正方形性质、图形与坐标、平行线性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，熟记位似图形定义及位似中心的作法是解决问题的关键． 9. 已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形外角的性质及勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质是解题关键．连接，取中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据垂线段最短得出时，有最小值，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出的长，即可求出线段的最小值． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接、， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴最小时，即时，有最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的最小值是． 故选：C． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知的半径为，若点在圆上，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的半径与圆上点到圆心距离的关系．根据点与圆的位置关系，点在圆上时，点到圆心的距离等于半径，故． 【详解】解：点在上，且的半径为， ， 故答案为：． 12. 若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 根据得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13. 武义唐风温泉、永康香樟公园、磐安百丈潭近似地在一条直线上，香樟公园大致位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，并且距离唐风温泉更近．已知唐风温泉到百丈潭的直线距离为54千米，则香樟公园到百丈潭的直线距离为_______千米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割点的定义，香樟公园位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，且距离唐风温泉更近，因此香樟公园到百丈潭的距离（较大部分）与唐风温泉到百丈潭的距离（整体）的比值等于黄金比，从而可求得距离． 【详解】解：设唐风温泉为点A，百丈潭为点B，香樟公园为点C， 则点C在线段AB上，且． 由黄金分割点的定义，得． ∵千米， ∴千米． 故答案为：． 14. 一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动1个单位长度．移动2次后，该质点恰好回到原点的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率． 根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出该质点恰好回到原点的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中该质点恰好回到原点的可能性有2种， ∴该质点恰好回到原点的概率为． 故答案为：． 15. 如图，点P在以为直径的上，点P关于弦的对称点在直径上．若，，则点C到直径的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 如图，作交于点D，利用同圆中弧相等，所对的弦相等，推出，得到是等腰三角形，利用三线合一的性质求得，的长，然后证明，即可求得的长度． 【详解】解：如图，作交于点D， 点P关于弦的对称点在直径上， ． ， ． ， ， 是等腰三角形． ， ． ，， ， ． 为直径， ， ，， ． ， ， ， ， ． 故填：． 16. 在中，，将沿折叠得到，延长交于点E，若，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，延长交于点，过点作交射线于点，推出是等边三角形，设，求得，，证明，求得，由平行线分线段成比例求得，求得，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，延长交于点，过点作交射线于点，如图， ∵，将沿折叠得到， ∴，，，， ∴是等边三角形，，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值，零次幂，实数的混合运算，熟练掌握相关知识是关键． 先将特殊三角函数值和零次幂化简，再按照实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 18. “浙”城市争霸赛永康队的一场比赛中，球队某一次进攻需要选派两位球员执行战术配合．教练将从金倍司、黄盛翀、施泽政3名后卫中随机选一名，再从吴俊卓、潘卓辉2名中锋、前锋中随机选一名，组成二人配合小组． （1）求金倍司被选中的概率． （2）请用树状图或列表法，求恰好选中金倍司和吴俊卓的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，列表和画树状图，熟练掌握概率公式是关键． （1）使用概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，再根据结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，金倍司被选中的概率为； 【小问2详解】 解：设金倍司、黄盛翀、施泽政分别用字母、、表示，吴俊卓、潘卓辉分别用字母、表示， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果，其中恰好金倍司和吴俊卓，即的情况有1种， ∴恰好选中金倍司和吴俊卓的概率为． 19. 在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中画出与相似的三角形（全等三角形除外），且点，，都在格点上． （2）在图2中的线段上作一点，使得． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查直尺作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）相似三角形的对应边成比例，选进行作图即可； （2）在点左边两个单位取点，在点右边三个单位取点，连接，与的交点即为所求的点． 【小问1详解】 解：如图所示．（答案不唯一） 【小问2详解】 解：如图， 连接交于点， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 20. 武义璟园的文创店新进了一批“璟园二十四节气”冰箱贴，成本价为14元/个．根据以往的销售经验，每周的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足关系式． （1）当销售单价定为25元时，求该店每周销售冰箱贴的总利润． （2）当销售单价定为多少元时，该店每周销售冰箱贴的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）该文创店每周销售冰箱贴的总利润为1100元． （2）当销售单价定为32元时，该文创店每周销售冰箱贴的总利润最大，最大利润为1296元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出销售量，再求解利润即可； （2）设总利润为w元，根据总利润等于每件利润乘以销售量建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设总利润为w元． 因为销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足：， 所以当时，，即销售单价25元时，销量为100个． 所以总利润（元）． 答：该文创店每周销售冰箱贴的总利润为1100元． 【小问2详解】 解：设总利润为w元 因为， 所以当时， 答：当销售单价定为32元时，该文创店每周销售冰箱贴的总利润最大，最大利润为1296元． 21. 如图所示，在浙江磐安海拔米的白云山顶上，“浙江之心”摩天轮正缓缓转动．图为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角为，随后沿着坡度的斜坡行走了米到达地面点，接着沿水平方向向左行走约米，抵达摩天轮最低点的正下方点处．经测量，约为米． （1）求观景台到地面的高度． （2）求摩天轮的直径．（参考数据：，，，，结果精确到米．） 【答案】（1）观景台高度为米； （2）摩天轮直径米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题、坡度问题，矩形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （）过作于，则，由的坡比是，则，设，则，由勾股定理得，即，求出即可； （）过作于，于，则，则有四边形是矩形，所以，由，即，求得米，最后通过线段的和与差即可求解． 【小问1详解】 解：过作于，则， ∵的坡比是， ∴， 设，则， 由勾股定理得，得， 解得， ∴（米）， 答：观景台高度为米； 【小问2详解】 解：过作于，于，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，即， ∴， 所以， 所以（米）， 答：所以摩天轮直径为米． 22. 如图，是的直径，点C是圆上一点，连结，，过点O作于点D，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）在（2）的条件下，求弓形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，包括直径所对的圆周角为直角，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关知识并添加合适的辅助线． （1）根据直径所对的圆周角为直角，可得，再由垂直可得，根据“同位角相等，两直线平行”证明即可． （2）先得到点D为AC中点，设圆的半径为r，表示出，再由勾股定理求解即可． （3）先由的长度，可得，即，即可得，再得为等边三角形，由此可得，再由扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴． ∵，即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中，点O为的中点， ∵， ∴点D为中点． ∴． 设圆的半径为r，则． 在中，， 即，整理可得， 解得． ∵点O与点D分别为与的中点， ∴． 【小问3详解】 解：连接，如图， ∵圆的半径为6，即， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴，即， ∴弓形的面积． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，抛物线上的点B与点C分别位于第一象限与第四象限，连接OB，OC． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴． （2）若，且点B的横坐标为，求抛物线的函数表达式． （3）记点B与点C的横坐标分别为与，当时，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）A的坐标为，对称轴为直线 （2） （3）的值是定值， 【解析】 【分析】（1）通过令抛物线解析式中，解方程求出与轴交点的坐标，再利用抛物线对称轴公式求出对称轴． （2）过点作轴，利用的正切值求出点的纵坐标，再将点坐标代入抛物线解析式，求出的值，从而得到函数表达式． （3）过点作轴，由推出对应线段成比例，再结合点、在抛物线上的坐标关系，化简得到的定值． 【小问1详解】 解：令，得， 解得或， ∴点A的坐标为， ∵抛物线 ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：过点B作轴于点D， ∵， ∴． ∵点B的横坐标为，即， ∴． ∴点B的坐标为， 将点代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：过点B作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∴． ∵点B与点C的横坐标分别为与， ∴，． ∴， 化简得，即， ∴的值是定值，为． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的对称轴、利用三角函数求点的坐标、待定系数法求二次函数解析式以及代数式的化简求值，熟练掌握二次函数的性质、三角函数的应用以及利用角度相等推导线段比例关系的方法是解题的关键． 24. 如图1，是的直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使． （1）求证：； （2）如图2，连结，若，． ①求的半径． ②求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题意，，，根据等腰三角形的性质和对顶角相等，可证明，结合，命题得证； （2）①设，表示出、、，在直角中，使用勾股定理构造方程并求解即可； ②过点作于点，先利用三角形面积公式计算出，再求的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①设，则， ， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）． ∴． ∴圆O的半径为； ②如图，过点作于点， ，即． ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期末考试 数学试题卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（ ） A. 轴对称 B. 平移 C. 旋转 D. 位似 2. 已知线段，，则比例中项线段c等于（ ） A. 36 B. 6 C. D. 6.5 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ） A. 正十边形 B. 正九边形 C. 正八边形 D. 正六边形 6. k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A. 直线上 B. 直线上 C. x轴上 D. y轴上 7. 如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为，两直管道的长度都为．则管道的展直长度（即为图中虚线所表示的中心线的长度）为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知的半径为，若点在圆上，则_______．（填“”“”或“”） 12. 若，则的值为_______． 13. 武义唐风温泉、永康香樟公园、磐安百丈潭近似地在一条直线上，香樟公园大致位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，并且距离唐风温泉更近．已知唐风温泉到百丈潭的直线距离为54千米，则香樟公园到百丈潭的直线距离为_______千米（结果保留根号）． 14. 一个质点从数轴的原点出发，每次等可能地向左或向右移动1个单位长度．移动2次后，该质点恰好回到原点的概率是_______． 15. 如图，点P在以为直径上，点P关于弦的对称点在直径上．若，，则点C到直径的距离为_______． 16. 在中，，将沿折叠得到，延长交于点E，若，则的值为_______． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. “浙”城市争霸赛永康队一场比赛中，球队某一次进攻需要选派两位球员执行战术配合．教练将从金倍司、黄盛翀、施泽政3名后卫中随机选一名，再从吴俊卓、潘卓辉2名中锋、前锋中随机选一名，组成二人配合小组． （1）求金倍司被选中的概率． （2）请用树状图或列表法，求恰好选中金倍司和吴俊卓的概率． 19. 在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中画出与相似的三角形（全等三角形除外），且点，，都在格点上． （2）在图2中的线段上作一点，使得． 20. 武义璟园的文创店新进了一批“璟园二十四节气”冰箱贴，成本价为14元/个．根据以往的销售经验，每周的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足关系式． （1）当销售单价定为25元时，求该店每周销售冰箱贴的总利润． （2）当销售单价定为多少元时，该店每周销售冰箱贴的总利润最大？并求出最大利润． 21. 如图所示，在浙江磐安海拔米的白云山顶上，“浙江之心”摩天轮正缓缓转动．图为其简化示意图，点是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径．小丽打算运用数学知识实地测量该摩天轮的直径，她在观景台点处测得摩天轮顶端的仰角为，随后沿着坡度的斜坡行走了米到达地面点，接着沿水平方向向左行走约米，抵达摩天轮最低点的正下方点处．经测量，约为米． （1）求观景台到地面的高度． （2）求摩天轮的直径．（参考数据：，，，，结果精确到米．） 22. 如图，是的直径，点C是圆上一点，连结，，过点O作于点D，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）在（2）的条件下，求弓形的面积． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，抛物线上的点B与点C分别位于第一象限与第四象限，连接OB，OC． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴． （2）若，且点B的横坐标为，求抛物线的函数表达式． （3）记点B与点C的横坐标分别为与，当时，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 24. 如图1，是直径，为圆上一点，且，弦交于点，延长至点，使． （1）求证：； （2）如图2，连结，若，． ①求的半径． ②求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $