精品解析：陕西省西安市第三中学2025-2026学年八年级上学期1月限时训练数学试题

2025-2026学年八年级上学期1月限时训练数学试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，，，，中，无理数的个数是（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，先化简，再根据无理数是无限不循环小数进行判断即可． 【详解】解：在所给各数中，， ∴和是无理数，共2个， 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点、，则两点关于（ ）对称． A. 原点 B. 轴 C. 轴 D. 轴和轴 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解． 本题主要考查了坐标与图形变化－轴对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：、， 点和点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 两点关于轴对称， 故选：C． 3. 以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，8，11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理判定直角三角形．根据三角形中，两较短边的平方和等于较长边的平方，则该三角形是直角三角形，由此进行判定即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，该选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，该选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，该选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 4. 一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，�有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．�采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 标准差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.6 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ） A. 甲苗圃的树苗 B. 乙苗圃的树苗; C. 丙苗圃的树苗 D. 丁苗圃的树苗 【答案】D 【解析】 【分析】根据标准差和方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的高度，进而确定选购哪家的树苗. 【详解】由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适； 又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗． 故选D． 【点睛】考查了标准差，标准差也均称方差，方差是反映一组数据波动大小的特征数，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，稳定性越好. 5. 如图，在中，，，，则边的长度是（　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟知在含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边的长是斜边长的一半是解题的关键． 6. 若一次函数的图象不经过第三象限，则下列选项正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵直线y=kx+b不经过第三象限，即直线经过一、二、四象限或二、四象限， ∴k＜0，b≥0． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图像经过一、二、四象限是解答此题的关键． 7. 实数在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由数轴可知，则，，然后进行化简代数式，即可得到答案． 【详解】解：由图可知，， ∴，， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，实数与数轴，熟练利用二次根式的性质，绝对值的意义进行化简是解题关键． 8. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，．当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线得出相等角，然后利用三角形的内角和定理得出，然后再用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵都与地面平行， ∴， ∴， 故选：C． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知是关于x的正比例函数，则m的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为，且自变量指数必须为1，因此，需满足且，计算即可得出结果，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴，， 解可得或， ∵，即， ∴， 故答案为：． 10. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的定义，将这组数据从小到大排列，已知这组数据共有7个数，根据中位数的概念：当n为奇数时，位于中间的数即中位数求解即可． 【详解】解：7名男生引体向上的成绩从小到大排列为：5，6，7，8，8，9，10， 位于最中间的数为第4位8， 则中位数是8， 故答案为：8 11. 如果实数x，y满足方程组那么______． 【答案】 【解析】 【分析】把两个方程相加可得，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：， 得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的特殊解法，求解代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键． 12. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】两个一次函数的交点的横纵坐标即为两个一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵，一次函数与的图象交于点P，且点P的坐标为， ∴关于x，y的方程组的解是． 13. 若与是同一个正数a的平方根，则a为______ 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义、互为相反数的两个数和为0，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据与是同一个正数a的平方根，所以或，解得或，即可得或，最后平方得到a的值． 【详解】由与是同一个正数a的平方根， 或， 解得或， 或， 或， 故答案为：4或． 14. 在长方形纸片中，，，如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在、边上移动，则面积的最大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，轴对称的性质，勾股定理． 根据翻折的性质并结合勾股定理可求出的长度范围，因为Q在上，所以的高是定值，因此面积取最大值时，最大，即可得到． 【详解】解：∵长方形纸片中，，， ①当Q与D重合时，如图，由折叠得： ∴在中，， ②当与B重合时，如图， 由折叠得：， ∴ 综上，，即的最大值为4， ∵， ∴当取最大值4时，面积最大，为． 故答案为：6 15. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则__________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标轴上的点的特征，根据x轴上的点的纵坐标为0可得答案． 【详解】∵点在x轴上， ∴， 解得． 故答案为：4． 三．解答题（本大题共12小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查绝对值、立方根、有理数的乘方的运算．解题关键是分别掌握各知识点的计算规则：绝对值表示非负值，负数的立方根是负数，负数的偶次幂为正数；易错点是混淆立方根与平方根的符号规则（如易误算为2），或乘方运算中符号处理错误（如易误算为-1）． 先分别计算每一项：根据绝对值的定义得；根据立方根的定义得；根据乘方的定义得；最后将这三个结果相加，得到最终结果． 【详解】解：原式 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． 分别化简二次根式和计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】解： ． 18. 分别利用代入消元法和加减消元法解方程组：． 【答案】 原方程整理得， 代入消元法：由①，得 ③， 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为； 加减消元法：，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 故原方程组的解为． 【解析】 【分析】本题主要考查了利用代入消元法和加减消元法分别解二元一次方程组，根据各自的运算法则求解即可． 【详解】略 19. 如图，点为的边上一点，过点作直线．（要求用尺规作图，并保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定，用尺规作图作出，根据同位角相等两直线平行，可得. 【详解】解：略． 20. 一次函数的图象过点且平行于直线，求这个函数的解析式？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式；设函数解析式，将，代入即可求解． 【详解】解：由题意设函数解析式为， ∵过， ∴， 解得：． ∴． 21. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，已知点A的坐标为． （1）画出与关于y轴对称的； （2）在x轴上确定点Q的位置使得与之和最小，并直接写出点Q的坐标______． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换，作图时要先找到图形的关键点，再找对称点的对应点位置，再连接即可． （1）分别找出、、关于轴的对应点位置，再连接即可； （2）作出点关于轴的对应点，再连接、，与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，点即为所求，点的坐标为， 故答案为：． 22. 为了选拔一名学生参加素养比赛，对两名备赛选手进行了10次测验（满分10分），成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c 2 （1）以上成绩统计分析中，_____， ______， ______； （2）综合以上各个统计量进行分析，请你判断哪位同学参加比赛更合适，请说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2） 解：选择乙同学， 理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键． （1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果； （2）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可． 【小问1详解】 解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为； 乙的平均数， 乙的数据中7最多有4个，众数， 故答案为：6，7，7； 【小问2详解】 略 23. 已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张强离开宿舍的时间/min 10 20 35 70 张强离宿舍的距离/km 0.6 ②填空：张强从超市到体育场的速度为　　km/min； ③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min 到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 【答案】（1）①0.3，0.9，1.2；②0.06；③ （2）0.3km 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可； ③分为，，三种情况，利用路程、速度、时间的关系列函数关系式即可； （2）先求出李明步行的解析式，然后判断追上的时间不超过20分钟，可得方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：①，由图填表： 由于， ∴张强离宿舍的距离为； 由于， ∴距离为； 当时间为时，距离宿舍； 故答案为：0.3，0.9，1.2； ②张强从超市到体育场的速度为， 故答案为：； ③当时，； 当时，； 当时，； ∴； 【小问2详解】 解：李明的速度为， ∴李明步行中离宿舍距离， 李明步行用时， ∴追上张强的时间在20分钟内， 解方程组得， ∴李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 24. 如图，于点D，点F是上任意一点，过点F作于点E，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）先证明，可得出，然后利用平行线的判定即可得证； （2）先利用角平分线定义求出，然后利用平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 又∵平分， ∴ ∵， ∴． 25. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地成功举办，本届赛事在竞赛成绩、赛事组织和文创经济等方面呈现诸多亮点．某中学在组织开展全运会知识竞赛活动时，去饮品店购买A，B两款饮品作为奖品．若买10杯A款饮品，5杯B款饮品，共需160元；若买15杯A款饮品，10杯B款饮品，共需270元． （1）A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ （2）若购买A，B两款饮品（两种都要），刚好花220元，有几种购买方案？ 【答案】（1）A款饮品的销售单价是10元，B款饮品的销售单价是12元 （2）共有3种购买方案 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找准等量关系，根据题意正确列出方程（组）是解题的关键． （1）设A款饮品的销售单价是x元，B款饮品的销售单价是y元，结合买10杯A款饮品，5杯B款饮品，共需160元；买15杯A款饮品，10杯B款饮品，共需270元．列出二元一次方程组，解方程组即可求解． （2）设购买m杯A款饮品，n杯B款饮品，根据购买A，B两款饮品（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，进而根据整数解求解即可． 【小问1详解】 解：设A款饮品的销售单价是x元，B款饮品的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A款饮品的销售单价是10元，B款饮品的销售单价是12元； 【小问2详解】 解：设购买m杯A款饮品，n杯B款饮品， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案． 答：共有3种购买方案． 26. 已知，是一个等边三角形，点E为射线上一动点（点E不与点B，C重合），连接，过点A作线段，使得，且点F在直线的上方． （1）当点E在边上运动时， ①如图1，过点F作交直线于点D，设的度数为，则的度数为 °（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系： ； ②如图2，若点E为边上的中点，连接交边于点G，求证：； （2）当点E在射线上运动时，直线与直线交于点G，如果，请求出的值． 【答案】（1），； 证明：过点F作交的延长线于点M，连接，如图2所示： 是等边三角形，点E为边上的中点时，，， 即． 由可知：． ． 在和中， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． 即； （2）或5 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得，，则，再根据可得出；根据得，由三角形内角和定理得，进而得，由此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出线段和的数量关系；过点F作交延长线于M，连接，则，由等腰三角形性质得，，由（1）可知，则，由此依据“”判定得，由此可判定，然后再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据，设，，则，再分两种情况讨论如下：①当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，设，则，同（1）证明，得，，再根据得，由此解出解得得，据此可得；②当点E在的延长线时，过点F作交于点H，则，进而得，再证明，则可依据“”判定得，，继而得，然后证明得，则，据此可得，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1所示： 是等边三角形， ，． ． ，且点F在直线的上方，的度数为，， ． ． 线段和的数量关系是：，理由如下： ， ． 在中，，的度数为， ． ． 在和中， ． ． 故答案为：；； 略 【小问2详解】 解：， ∴设，， ， ∵点E在射线上运动， ∴有以下两种情况： 当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，如图3①所示： 设，则， 同（1）证明：，， ，． ， ． 解得：， ． ． ②当点E在的延长线时，过点F作交于点H，如图3②所示： ． ． ， ． ，， ． 在中，， ． 在和中， ． ，． ． 在和中， ． ． ． ． 综上所述：的值为或5． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期1月限时训练数学试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，，，，中，无理数的个数是（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 在平面直角坐标系中，点、，则两点关于（ ）对称． A. 原点 B. 轴 C. 轴 D. 轴和轴 3. 以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，8，11 4. 一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，�有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．�采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下： 树苗平均高度（单位：m） 标准差 甲苗圃 1.8 0.2 乙苗圃 1.8 0.6 丙苗圃 2.0 0.6 丁苗圃 2.0 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ） A. 甲苗圃的树苗 B. 乙苗圃的树苗; C. 丙苗圃的树苗 D. 丁苗圃的树苗 5. 如图，在中，，，，则边的长度是（　　） A. 3 B. 4 C. D. 6. 若一次函数的图象不经过第三象限，则下列选项正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 实数在数轴上的位置如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，．当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知是关于x的正比例函数，则m的值为_____． 10. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是________． 11. 如果实数x，y满足方程组那么______． 12. 如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是____________． 13. 若与是同一个正数a的平方根，则a为______ 14. 在长方形纸片中，，，如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在、边上移动，则面积的最大值为______． 15. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则__________ 三．解答题（本大题共12小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 计算： 18. 分别利用代入消元法和加减消元法解方程组：． 19. 如图，点为的边上一点，过点作直线．（要求用尺规作图，并保留作图痕迹） 20. 一次函数的图象过点且平行于直线，求这个函数的解析式？ 21. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，已知点A的坐标为． （1）画出与关于y轴对称的； （2）在x轴上确定点Q的位置使得与之和最小，并直接写出点Q的坐标______． 22. 为了选拔一名学生参加素养比赛，对两名备赛选手进行了10次测验（满分10分），成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 乙 b 7 c 2 （1）以上成绩统计分析中，_____， ______， ______； （2）综合以上各个统计量进行分析，请你判断哪位同学参加比赛更合适，请说明理由． 23. 已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 张强离开宿舍的时间/min 10 20 35 70 张强离宿舍的距离/km 0.6 ②填空：张强从超市到体育场的速度为　　km/min； ③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min 到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 24. 如图，于点D，点F是上任意一点，过点F作于点E，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 25. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地成功举办，本届赛事在竞赛成绩、赛事组织和文创经济等方面呈现诸多亮点．某中学在组织开展全运会知识竞赛活动时，去饮品店购买A，B两款饮品作为奖品．若买10杯A款饮品，5杯B款饮品，共需160元；若买15杯A款饮品，10杯B款饮品，共需270元． （1）A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ （2）若购买A，B两款饮品（两种都要），刚好花220元，有几种购买方案？ 26. 已知，是一个等边三角形，点E为射线上一动点（点E不与点B，C重合），连接，过点A作线段，使得，且点F在直线的上方． （1）当点E在边上运动时， ①如图1，过点F作交直线于点D，设的度数为，则的度数为 °（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系： ； ②如图2，若点E为边上的中点，连接交边于点G，求证：； （2）当点E在射线上运动时，直线与直线交于点G，如果，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $