第二十一章四边形课后同步练 2025-2026学年人教版数学八年级下册 （重庆适用）

弈泓共享数学 课后同步练03 第二十一章四边形 目目 21.1 四边形及多边形 一、单选题 1.一个九边形的内角和等于() A.1800 B.1440° C.1260° D.1080° 2.过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是() A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形 3.某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）.如果在B,C,D,E,F 五个转角处都转了59°，那么他在A处转过多少度角才能仍面向A→B所指的方向() A.59° B.60° C.63 D.65 4.如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B=225°，则∠1+∠2+L3=() 2D B A.225° B.180 C.145 D.325° 5.如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O.若∠A0B是某正多边形的一个外角，则n 的值为() 精选考题刷题捷径 第1页共10页 弈泓共享数学 B A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 6.如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的边数为」 7.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+B=一 8.如图，以四边形ABCD各顶点及各边延长线上的点构成△AEF,BGH,△CMN,DPQ,则∠E, ∠F,∠G,∠H,∠M,∠N,∠P,∠Q的度数和为 9.四边形纸片ABCD,∠C=90°，AB与CD不平行，将四边形纸片ABCD沿EF折叠成如图的形状，点A 落在点A处，点D落在点D处，若∠D'EC=115°，∠A'FB=45°，∠ABC=_ B D A C E -D 10.如图，两个正六边形的边长都为3，将它们的一边重合在一起，顶点A,B之间的距离为一 精选考题刷题捷径 第2页共10页 弈泓共享数学 三、解答题 11.(1)求12边形内角和度数； (2)若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n. 12.【观察思考】如图，五边形ABCDE内部有若干个点，用这些点以及五边形ABCDE的顶点把原五边形分 割成一些三角形（互相不重叠）. 内部有1个点 内部有2个点 内部有3个点 【规律总结】(1)填写下表： 五边形ABCDE内点的 2 A 个数 分割成的三角形的个 9 数 【问题解决】(2)原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形ABCDE内部点的个数；若 不能，请说明理由. 13.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形， 叫作多边形的三角剖分 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多 边形分成若干个三角形. (1)若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形：若多边形是一个六边形，则可以分割成 精选考题刷题捷径 第3页共10页 弈泓共享数学 个三角形，，则n边形可以分割成个三角形： (2)如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形， 那么此多边形的边数为一； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： 图1 图2 图3 (1)按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分 割出个三角形；图3中六边形可分割出个三角形： (2)你能由(1)的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 目目 21.2 平行四边形 一、单选题 1.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是() A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠B,∠C=∠D C.AB=CD,AD=BC D.AB=AD,CB=CD 2.如图，点E,F在口ABCD的对角线AC上，AE=EF=CD=DE,∠ADE=21°，则∠BCD=() A.42° B.53° C.59 D.630 3.如图，在。ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点，连接OE.若LBCA=50°，则 ∠1的度数为() 精选考题刷题捷径 第4页共10页 弈泓共享数学 A.60° B.50 C.40° D.25° 4.如图，在口ABCD中，AD=BD,LADC=105°，点E在边AD上，∠ABE=60°，过点B作BH⊥AD于 点H.若BH=1,则线段CD的长度是() C B D A.② B.√6 c.√6-√2 D.6+√2 2 5.如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且LADC=60°， AB=)BC=1,连接OE.下列结论：①0E⊥4C;②Sum=AB×4C:③OE=BC,④BD=万.成 4 立的个数有() D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 6.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB=5,AC=6,BD=8,则AOB的周长 为 D 0 A B 7.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,如果AO=3,那么AC的长为 精选考题刷题捷径 第5页共10页 弈泓共享数学 D B 8.如图，在。ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点.若EF=4cm,则CD=一 cm. D F 9.如图，在口ABCD中，AC⊥BC,BC=5,AC=3,则CD的长为 10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O作BD的垂线交BC于点E,连接 DE.已知△DCE的周长是9cm,则平行四边形ABCD的周长是_cm. D 三、解答题 11.如图，在口ABCD中，BD是它的一条对角线，过A,C两点分别作AE⊥BD,CF⊥BD,E、F是垂足， 求证：DE=BF. A B 12.如图，在口ABCD中，点E,F在对角线BD上，连接AE,AF,CE,CF,∠BAE=∠DCF·求证： D E 精选考题刷题捷径 第6页共10页 弈泓共享数学 (1)求证：△ABE≌△CDF. (2)求证：四边形AECF是平行四边形， 13.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点 D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到 达点D时停止运动，同时点Q也停止运动.设运动时间为t秒，开始运动以后，当t为何值时，以P,D, Q,B为顶点的四边形是平行四边形？ 目目 21.3 特殊的平行四边形 一、单选题 1.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点O,若AC=12,则OB的长为() A.6 B.5 C.4 D.2 2.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，则∠ABD的度数是() B D A.10° B.15° C.25° D.20° 3.如图，在ABC中，∠ABC=90°，BC=4,AB=8,P为AC边上的一个动点，D为PB上的一个动点， 连接AD,当LCBP=∠BAD时，线段CD的最小值是() 精选考题刷题捷径 第7页共10页 弈泓共享数学 D B A.√2 B.2 C.22-1 D.42-4 4.如图，两个全等的等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDA有公共斜边AC,且四边形ABCD的面积为36，△ABE 为等边三角形，点E在四边形ABCD内，在AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为() A.5 B.6 C.7 D.8 5.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点G,连 接CG,BG,BD,DG,下列结论： @8E=CD:②∠DGPB5P:③LABG+∠ADG=180P:④喏0-子则3S,G=BSa·其中正确的 结论有()个. D B A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且OA=1,则BD的长为 D A B 精选考题刷题捷径 第8页共10页 弈泓共享数学 7.如图，在菱形ABCD中，AB=6,对角线BD=8,AH⊥BC于点H,连接OH,则OH= 8.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD,且 EGHF=16,则四边形EFGH的面积为 G 9.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P为边AB上一动点，将△PBC沿CP折叠得到△PCE,点B的 对称点为点E,作射线AE交CD于点F,若点E恰好为AF的中点，则BP的长为」 --B 10.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC上一动点，连接AE,将△ABE沿AE折叠，点B 落在点B处，当aCB'E为直角三角形时，BE的长为一· D B B 三、解答题 11.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O,DE∥AC,CE∥DB,CE、DE交于点E.求证：四边形 DOCE是菱形. 精选考题刷题捷径 第9页共10页 弈泓共享数学 B 12.已知四边形ABCD是矩形，点E是AD边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保 留作图痕迹 A D D B C B 图① 图② (1)如图①中，过点E作线段EF,使得EF∥AB,交BC于点F; (2)如图②中，在线段CD上找一点G,使得EG∥AC,连接EG· 13.如图，四边形ABCD是正方形，G是边BC上任意一点，DE⊥AG于点E,BF∥DE且交AG于点F. D 3 B (1)求证：AE=BF; (2)连接DF,CE,探究线段DF与CE的关系并证明. 精选考题刷题捷径 第10页共10页 弈泓共享数学 课后同步练03 第二十一章四边形 地 城 21.1 四边形及多边形 一、单选题 1．一个九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握内角和公式是解决问题的关键． 根据多边形的内角和公式：且为整数，进行计算即可． 【详解】解：多边形内角和公式为， 九边形的边数， 代入公式得： ． 故选：C． 2．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是（   ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线的条数， 根据多边形对角线性质，从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形． 【详解】解： ∵从n边形一个顶点出发的对角线将多边形分成个三角形，且题目中分成5个三角形， ∴， 解得， ∴这个多边形是七边形. 故选：B． 3．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 4．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：A． 5．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出的度数，即可得出的值，熟练掌握正多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则，， ∴， ∵是某正多边形的一个外角， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为，每个外角都是，因此边数为外角和除以每个外角的度数的值． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为8， 故答案为：8． 7．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 8．如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为 ． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 9．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点处，若，， ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了折叠的性质、四边形内角和定理以及平角的定义，解题的关键是明确折叠前后对应角相等．先利用平角性质求出的度数，根据折叠的性质，通过已知角度求出以及的度数，再利用四边形内角和为来求解的度数即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， 故答案为：． 10．如图，两个正六边形的边长都为，将它们的一边重合在一起，顶点，之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了六边形的性质，作出右边正六边形的对角线，三条对角线交于点，根据正六边形的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，利用线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接正六边形的对角线，三条对角线交于点， 可得：， 正六边形是轴对称图形， ， 是等边三角形， 正六边形的边长都为， ， ． 故答案为： ． 三、解答题 11．（1）求12边形内角和度数； （2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n． 【答案】（1）1800°；（2）8 【分析】（1）根据内角和公式，可得答案； （2）根据多边形内角和公式（n-2）•180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n-2）•180°-360°=720°，再解方程即可． 【详解】解：（1）由题意，得 （12-2）×180°=1800°； （2）由题意得： （n-2）•180°-360°=720°， 解得：n=8． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理． 12．【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． 【规律总结】（1）填写下表： 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … 【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形内部点的个数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11   （2）能，此时五边形内部有1011个点 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握怎么计算多边形的对角线是解题的关键； （1）观察规律得出五边形内点的个数与分割成的三角形的个数的关系写出五边形内有4个点时三角形的个数以及n个时三角形的个数表达式； （2）令（1）的表达式等于2025，求出n的值． 【详解】解：（1）点的个数为1时：三角形的个数为：； 点的个数为2时：三角形的个数为：； 点的个数为3时：三角形的个数为：； 则点的个数为4时：三角形的个数为：； 点的个数为n时：三角形的个数为：． （2）原五边形能被分割成2025个三角形． 由题意，得， 解得（符合题意）， ∴原五边形能被分割成2025个三角形，此时五边形内部有1011个点． 13．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【分析】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【详解】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 地 城 21.2 平行四边形 一、单选题 1．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 2．如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出的度数，平行线的性质，得到，再利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边，平行四边形对边平行是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合为中点，判定为中位线，通过平行线的性质得到与相等，进而求出角度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点 ∴是的中点 ∵是边的中点 ∴是的中位线 ∵是的中位线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ 且 ∴ ， ， ∵ ∴ 故选：B． 4．如图，在中，，，点在边上，，过点作于点．若，则线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质和，求出，利用以及勾股定理求解长度. 【详解】解：设． ∵四边形是平行四边形， ，， ． ， ， ，解得， 即， ． ，， ． 根据勾股定理，得， 则， ． 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的相关知识点，解决问题的关键是熟练掌握这些知识点. 5．如图，的对角线，交于点O，平分交于点E，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．成立的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出、，进而得到是等边三角形，又根据，证得，易证得是的中位线，进而得到；利用得到，进而得到；根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， 、， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， 、， ， 故①正确； ， ， 故②正确； 、， ， ， ， 故③正确； 在中，，由勾股定理得， ， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：A． 二、填空题 6．如图，在平行四边形中，与相交于点，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，结合三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：因为平行四边形对角线互相平分， 所以，， 则的周长为． 故答案为：12． 7．如图，平行四边形的对角线、交于点，如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线、交于点， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，E、F分别是、的中点．若，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，由条件可知为的中位线，可求得，结合平行四边形的性质可得，可求得答案． 【详解】解：∵E、F分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：8． 9．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质．根据题意先用勾股定理求，再用平行四边形对边相等的性质即可． 【详解】解： , 四边形是平行四边形 ． 故答案为：． 10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质．由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是，即可推导出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴． 故答案为：18． 三、解答题 11．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 12．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 13．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 地 城 21.3 特殊的平行四边形 一、单选题 1．如图，四边形是矩形，对角线和相交于点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．根据矩形的性质，即可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，利用菱形的四条边相等及对边平行，再结合等腰三角形的性质来求解角度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形三边关系等知识，根据，得，则，取的中点E，连接，，利用勾股定理求出的长，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点E，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：D． 4．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 5．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故①符合题意； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题 6．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的对角线相等且互相平分，所以． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴． 故答案为：2． 7．如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，为的中点． ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． ∵， ∴是直角三角形； ∴； 故答案为：． 8．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 9．如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 过点E作于点H，连接，根据正方形的性质得到、、，进而得到，根据平行线分线段成比例得到，进而得到，由折叠的性质可得，进而得到是等边三角形，则，根据勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点H，连接， 四边形是正方形 、、 点是的中点， 垂直平分 由折叠的性质得 是等边三角形 ， 即 ， 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的相关知识，“矩形的性质、折叠的性质直角三角形分类讨论是解题的关键．根据已知条件与折叠核心等量关系：设，根据折叠性质得出，结合矩形性质得出；由为直角三角形，分为直角顶点进行分类讨论，针对每种合理情况，结合几何性质列方程求解； 【详解】解：设，由折叠性质得：，，， 矩形中，，，则． 情况1：， ，即、、三点共线． 在中，由勾股定理得： ， 在中，， ， 解得，， ； 情况2：，则， ， ， 四边形为矩形， ， 故四边形为正方形， 情况3：当时，此时点与点重合，此时，这显然不成立，不存在此种情况． 综上，当为直角三角形时，的长为或． 故答案为：或 三、解答题 11．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的判定以及矩形的性质，熟练掌握解题方法是解答此题的关键．首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ,，， ， 平行四边形是菱形． 12．已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； (2)如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【详解】（1）解：线段即为所求， （2）解：点即为所求， 13．如图，四边形是正方形，是边上任意一点，于点，且交于点． (1)求证：； (2)连接，，探究线段与的关系并证明． 【答案】(1)见解析； (2)且，证明见解析． 【详解】（1）证明：，， ． ． ∵四边形是正方形， ，． ． ， ． ． ． （2）且． 证明：，， ． ， ． 又∵四边形是正方形， ． ． ，． ， ． ． 综上所述，且． 精选考题刷题捷径第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $