精品解析：湖南岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

2026年2月高二数学期末考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数z满足则的虚部为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 3. 第24届冬奥会于2022年在北京和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障，在冬奥会志愿者的选拔工作中，某高校承担了志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，同学们面试得分的频率分布直方图如图所示，则此次面试中得分的90%分位数是（ ） A. 85 B. 90 C. 86 D. 80 4. 已知则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有5个不等实根 6. 若定义在R上的偶函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. （★）设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递减 C. 最大值为2 D. 其图象关于直线对称 10. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 11. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，点M关于x轴的对称点为N，分别过作C的切线，两条切线相交于点G，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段交于点T，记的面积为，则（ ） A. B. 的面积为2 C. D. 的面积的最大值为8 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设数列满足，且，则________. 13. 已知函数，其中且的图象过定点，则函数的最大值为__________. 14. 已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 四、解答题（共80分） 15. 某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动的意愿与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望. 参考公式与数据：其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在中，为线段上一点，且. （1）若，求的值； （2）若，且与的夹角为，求的值. 17. 设椭圆（）的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 18. 设数列的前n项和为已知 （1）求的通项公式. （2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中m，k，p成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. （3）已知函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为求除以16的余数. 19. 已知函数. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年2月高二数学期末考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数z满足则的虚部为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出z，再求出即可得解. 【详解】由，故，所以的虚部为1. 故选：A. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 3. 第24届冬奥会于2022年在北京和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障，在冬奥会志愿者的选拔工作中，某高校承担了志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，同学们面试得分的频率分布直方图如图所示，则此次面试中得分的90%分位数是（ ） A. 85 B. 90 C. 86 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】先根据频率和为1计算出的值，再根据分位数的计算方法计算即可 【详解】由图知各组的频率为 分组 频率 0.1 0.3 0.4 0.1 所以，则第四组的频率为0.05，前四组的频率之和为0.85，所以这次面试得分的90%分位数是在第五组内，且为． 故选：A 4. 已知则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 设，则， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 在区间上单调递增 D. 方程在区间上有5个不等实根 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的部分图象，求出函数的解析式，再对每一选项逐一判断求解. 【详解】由题意图象相邻对称轴间的距离为，可得，因此，所以， 当时，，故. 由，得，因为函数的最大值为2，所以， 因此. A选项，，非最值，故不是图象的对称轴，A错误； B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，图象不关于原点对称，B错误； C选项，的单调区间长度为，不可能在长度为的区间上单调递增，C错误； D选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，D正确. 故选：D 6. 若定义在R上的偶函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合偶函数的图像性质，即可求解. 【详解】根据题意，由定义在R上的偶函数在单调递减，且， 易知当时，；当时，. 因为，所以或，解得. 故选：B. 7. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出，再由作差法说明的单调性，即可求出，从而得解. 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 8. 若定义在上的奇函数满足，对任意，有，则下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线轴对称 C. 在区间上，为减函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用函数的对称性得出对称轴判断A，应用奇函数及函数的对称性得出对称中心判断B，应用单调性的定义结合对称性判断C，应用函数的周期性和单调性判断D. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称，故B正确； 因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；结合函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于点中心对称，故A正确； 因为在区间上，有，所以在上单调递增， 因为关于轴对称，关于点中心对称，且在上单调递增， 所以在上单调递减，故C正确； 因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 又在上单调递增， 所以，故D错误. 故选：D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. （★）设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递减 C. 最大值为2 D. 其图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将函数化简为，再根据余弦函数的奇偶性、单调性、最值及对称性逐一判断各选项. 【详解】， ，故为偶函数，且最大值为，A正确，C错误； 因为余弦函数的单调递减区间为，令，解得， 令得，，所以在区间上单调递减，B正确； 余弦函数的对称轴为函数取最值的直线，当时，，取得最小值， 所以图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD 10. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据等积变换可求三棱锥的体积；对于选项B，可用反证法说明；对于选项C，可通过建立空间直角坐标系求出外接球的半径，从而得出表面积；对于选项D，作出过三点确定的平面与正方体相交形成的截面，进而求得截面的周长. 【详解】对于A，三棱锥的体积，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直， 所以与平面不可能垂直，故B错误； 对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设外接球的球心为，则 ， ， ， 求得，故C正确； 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面）， 等腰梯形的周长为，D正确. 故选：ACD 11. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，点M关于x轴的对称点为N，分别过作C的切线，两条切线相交于点G，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段交于点T，记的面积为，则（ ） A. B. 的面积为2 C. D. 的面积的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据焦半径公式建立方程求得判断A；分别求出和，再利用三角形面积公式判断B；利用判别式法求出直线GM的方程为，直线，且，设直线，与抛物线方程联立韦达定理求得，即可得直线，与直线联立求得，从而利用两点距离公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离为，进而求得，最后利用二次函数性质求得最值判断D；利用倾斜角的定义结合二倍角的正切公式判断C即可. 【详解】对于A，设，根据抛物线的定义，得，解得， 即C的方程为，故A正确； 对于B，将代入抛物线方程，得到，解得或， 设在第一象限，则， 而点M关于x轴的对称点为N，即，由题意得， 则，故B正确； 对于D，如图，作出符合题意的图形，连接， 设直线的方程为， 由，可得， 则，解得， 所以直线的方程为. 同理可得，直线，所以有， 设，因为，所以，即， 由得，. 设直线， 由，可得， 由，可得或， 当时，直线，与直线GM的方程一样，舍去，故， 所以直线，即， 与直线联立，求得， 点到直线的距离为， 又， 所以的面积为， 因为，所以当时，面积取到最大值为8，故D正确， 对于C，由题意得的方程为，由倾斜角的定义得， 而，由二倍角公式得，故C错误. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设数列满足，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推关系代入计算可得. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为： 13. 已知函数，其中且的图象过定点，则函数的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用指数函数定点结合特殊值的三角函数值求出点，再应用正弦性质计算求解. 【详解】因为函数，所以当时，又，所以， 所以点坐标为， 所以在时取最大值1. 故答案为：1. 14. 已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合辅助角公式得到，再结合正弦函数的有界性求解即可. 【详解】连接相交于点，则为的重心，连接并延长交于点， 则由重心的性质得为的中点，则， 而，且，得到， 设，则， 由三角形面积公式得， 则，解得， 由余弦定理得， 解得，化简可得， 由辅助角公式得， 则，解得，即长度的最小值为. 故答案为： 四、解答题（共80分） 15. 某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动的意愿与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望. 参考公式与数据：其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出列联表中的数据，再计算出的值判断即可； （2）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【小问1详解】 因为，所以愿意报名参加答题活动的人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为， 则愿意报名参加答题活动的女生人数为， 则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 40 80 120 愿意报名参加答题活动 60 20 80 合计 100 100 200 零假设：学生报名参加答题活动的意愿与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001， 【小问2详解】 的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 故. 16. 如图，在中，为线段上一点，且. （1）若，求的值； （2）若，且与的夹角为，求的值. 【答案】（1） （2）-3 【解析】 【分析】（1）应用平面向量的减法，再结合平面向量基本定理求出参数； （2）应用平面向量的数量积及数量积运算律计算求解. 【小问1详解】 若，则， 即， 故. 【小问2详解】 若，则， 即， 所以 . 17. 设椭圆（）的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 【答案】（1） （2）直线、与圆相切，证明如下： ∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即， ∴. ∵，， ∴ ， ∴，， ∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得， ∴直线到原点O的距离都是， ∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切 【解析】 【分析】（1）由离心率得，用两种方法表示出菱形的面积可求得，得椭圆方程； （2）设，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，用韦达定理得，利用，即得的关系，求出圆心到直线的距离可得直线与圆的位置关系．直线的斜率不存在时，直接计算可得，由对称性的结论也可得． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则， ∴，解得，∴， ∴椭圆的方程为 （2）略 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题，考查直线与圆的位置关系．直线与椭圆相交，一般采取设而不求思想，即设交点坐标，设直线方程，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得，把这个结论代入其他条件求解． 18. 设数列的前n项和为已知 （1）求的通项公式. （2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中m，k，p成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. （3）已知函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为求除以16的余数. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）10. 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差求解； （2）根据等差数列的性质可得.，即可根据等差中项以及等比中项的性质得矛盾求解. （3）由（1）可知，利用，结合二项式定理展开，可得当为奇数时，，当为偶数时，，进而分组求和可得，进而可得除以16的余数. 【小问1详解】 当时，，得； 当时，，作差得， 即， 所以是以3为首项，6为公比的等比数列，所以. 【小问2详解】 因为，由题意知：， 所以. 假设在数列中存在3项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列， 则，即， 化简得：， 又因为成等差数列，所以， 所以，即， 又，所以， 即，所以，这与题设矛盾. 所以在数列中不存在3项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列. 【小问3详解】 由（1）可知. 因为 ， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 ， 而， 考虑到当时，能被16整除，也能被16整除， 所以除以16的余数等于除以16的余数， 而， 所以除以16的余数等于10. 19. 已知函数. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简整理得，再整体代换求解即可； （2）令，进而将问题转化为的最值，再结合二次函数性质求解即可； （3）根据三角恒等变换化简整理得，再结合求解即可. 【小问1详解】 ， 令，得， 所以函数图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 ， 令， 则， 则， 可得，当即时，； 当即时，. 因为存在，对任意，有恒成立， 所以为的最小值，为的最大值， 所以， 所以，所以. 【小问3详解】 因为， 所以 ， 化简得， ， ， 得， 所以， 因为，所以，， 所以，，即. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $