1.5.2 矩形的判定-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

【名师导学 ◆预习先知 同新知梳理 ①有一个角是 的平行四边形 是矩形. ②三个角是 的四边形是矩形. ③对角线 的平行四边形是矩形， ☑例题引路 【例1】如图，在△ABC 中，AB=AC,AD是 △ABC的中线，AN是 △ABC的外角∠CAM B 的平分线，CE∥AD,交 AN于点E,连接DE.求证：四边形 ADCE是矩形. 【学生解答】 刻易错典例 【例2】如图，四边形ABCD是平行四边 形，添加下列一个条件，仍不能判定四 边形ABCD是矩形的是 A.AC=BD B.AB⊥BC C.∠ABD=∠CBD D.∠ODC=∠OCD 【易错剖析】对矩形的判定方法理解有 误致错. 【学生解答】 23数学八年级下册配XⅪ版 5.2矩形的判定 基础过关 ◆··逐点击破 知识点1三个角是直角的四边形是矩形 1.日常生活情境化（益阳赫山区期末）如图，诚诚用橡胶皮 和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫 是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理 的是 A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量其中的三个角是否都为直角 D.测量对角线是否相等 2.如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个 A 角的两边的距离之和为6，则图中四边形的 周长为 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=90°，AB=5, BC=12,AC=13.求证：四边形ABCD是矩形. 知识点2对角线相等的平行四边形是矩形 4.半开放性题新趋势（永州期未）如图，在 口ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,若要使口ABCD成为矩形，则需要添 加的条件是 .(写出一个即可) 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, OA=OC,OB=OD,且∠AOB=2∠OAD.求证：四边形 ABCD是矩形. 能力提升 ◆◆◆整合运用 6.(浏阳期中)如图，四边形ABCD为平行四边 形，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, CE,BD,添加下列一个条件后，不能判定四 边形DBCE为矩形的是 ) A.AB=BE B.CE⊥DE C.∠ADB=909 D.BE⊥AB (第6题图) (第7题图) 7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB= CD,∠ABC=90°，对角线AC,BD相交于点 O,AB=5,AO=6.5,则四边形ABCD的面 积为 A.60 B.30 C.90 D.96 8.半开放性题新趋势（教材P31习题T2变式） 如图，点M在□ABCD的边AD上，BM= CM.有以下三个选项：①∠1=∠2；②AM= DM;③∠3=∠4.从中选择一个合适的选项 作为已知条件，使□ABCD为矩形， (1)你添加的条件是 ;(填序号) (2)添加条件后，求证：口ABCD为矩形 4入、 9.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E,F 分别在AD及其延长线上，CE∥BF,连接 BE,CF. (1)求证：△BDF≌△CDE; (2)若DE-BC,求证：四边形BFCE是矩形. 思维拓展 。◆强化素养 10.动手操作新趋势（威海中考）(1)如图①，将 平行四边形纸片ABCD的四个角向内 折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的 四边形EFGH.判断四边形EFGH的形 状，并说明理由. (2)如图②，已知□ABCD能按照图①的方 式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形 MNPQ,其中，点M在AD上.请用直 尺和圆规确定点M的位置.（不写作法， 保留作图痕迹) 图① 图② 提示 请完成阶段微测试（二）[1.31.5] 第1章四边形244.B 5.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B= 144°，∠C=36°，∴.∠A=∠C,∠D=360°-∠A-∠B-∠C=144°..∠B=∠D..四 边形ABCD是平行四边形. 6.C7.A8.120 I∠FAE=∠BCE, 9.(1)证明：AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, ∴△AEF≌△CEB(角边角).EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.(2)解：四 边形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°.∴.CF ⊥BD.BC=CD,BD=2BF=4.∴AD=√AB2+BD=5. 10.解：(1)一理由如下：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC..OP=OQ, 四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 名师导学 ①180°对称中心②对称中心平分③180°重合④对角线的交点 【例1】B【例2】C 1.A2.D3.W13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求， C 图① 图② 5.D6.B7.C8.12 9.解：(1)如图所示.(2)四边形BCB'C是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,.四边形BCB'C是平行四边形. B' B 10.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3.∴.5-3< AE<5+3,即2<AE<8.DE=AD,∴.2<2AD8..1<AD<4. 11.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图② 1.4 三角形的中位线定理 名师导学 ①中点②平行等于 【例】(1)证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，EH∥AD,EH= 之AD.同 理得FG/AD,FG=AD,∴EH/FG且EH=FG.四边形EFGH是平行四边形. 4 (2)解：由(I)得EF=HG,:AD=7,FG=EH=AD=子，在R△BDC中，∠BDC =90°，∠DBC=30°，CD=3,.BC=2CD=6.在△BDC中，：H,G是BD,CD的中点， :EF=HG=号BC=3.:四边形EFGH的周长为子×2+3×2=13. 1.B2.D3.B4.105.C6.C7.B8.C9.8 10.I)证明：D,E分别是AB,AC中点，DE∥BC,DE=号BC.CF=名BC, .DE=CF.(2)解：由(1)知，DE∥BC,DE=CF,四边形DEFC是平行四边形.CD =EF.,D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2，'.AD=BD=1,CD⊥AB,BC =2.∴EF=CD=√BC-BD=√3. 1山.解：DE∥BC,DE=2BC证明如下：过点C作CF∥AB,与DE的延长线交于点 F,∴∠ADE=∠F.,D,E分别是AB,AC的中点，.BD=AD,AE=CE.在△ADE和 (∠ADE=∠F, △CFE中，∠AED=∠CEF,△ADE≌△CFE(角角边)..AD=CF,DE=EF= AE=CE, 之DP.CF∥BD,BD=CR.∴四边形DBCF是平行四边形.DF∥BC,DF-BC又 DE-DF,:.DE/BC,DE-BC. 专题三构造三角形中位线的四种常用技巧 1.B2.号3.C【变式题16【变式题274.C5.46B 7.1<EF≤4【变式题】号 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 名师导学 ①直②直相等相等且互相平分③对角线的交点 【例】(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.AD=BC,CD=AB,∠A=∠B=90°.，E是 AD-BC, AB的中点，∴AE=BE.在△ADE和△BCE中，∠A=∠B,∴.△ADE≌△BCE(边角 AE=BE, 边).(2)解：由(1)知△ADE≌△BCE,.DE=CE.在Rt△ADE中，AD=4,AE= 号AB=3,由勾股定理，得DE=√AD+AE=5,∴△CDE的周长为DE+CE牛CD =2DE+AB=16. 1.C2.B3.C4.25.45 6.解：：∠AOD=120°，.∠AOB=180°-∠AOD=60°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°，AC=BD=2OA=2OB..·△AOB是等边三角形.∴.OA=OB=AB=2. ,BD=AC=2OA=4..BC=√AC-AB=2W3.∴.S地形Bcm=AB·BC=2X2V3=4V3. 7.B8.45°9.910.15° 11.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,∠B=∠ADC=90°..∠AEB= ∠DAF.又DF⊥AE,∠DFA=90°=∠B.又·AD=AE,.△ADF≌△EAB(角角 边).∴.DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，∴.∠DAF+∠ADF=90°.：∠ADC= 90°，即∠ADF+∠FDC=90°，∴∠DAF=∠FDC=30°..在Rt△ADF中，AD= 2DF.由(1)知DF=AB,∴.AD=2AB=8. 12.(1)证明：四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，.MN∥BC∥ AD.∴.∠CBN=∠MNB.∠PNB=3∠CBN,∴.∠PNM=2∠CBN.(2)解：连接 AN.易得∠ANM=∠MNB.·AD∥MN∥BC,∴.∠PAN=∠ANM,∠CBN= ∠MNB.∴.∠ANM=∠CBN.∴∠PNM=2∠CBN=2∠ANM.∴∠ANM=∠ANP. ∠PAN=∠ANP.∴AP=PN.CD=AB=4,M,N分别为AB,CD的中点，∴.DN =2.设PN=AP=x,则PD=6-x.在Rt△PDN中，PD2+DN=PN,.(6-x)2 -5 十2=，解得x=号AP=碧 专题四矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC.∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∠DAC=∠ACE..AE=CE.∴·△ACE是等腰三角形.(2)解： 四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2十82. AE-10.Sm-AE.CD-X10X8-40. 3.A4.√25.9或25 6.解：(I)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.:四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=90°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°..∠BFE =号(180-∠EBFP)=54.2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+ AB=BE,即2+62=(8-，解得x=子∴AE=子 1.5.2矩形的判定 名师导学 ①直角②直角③相等 【例1】证明：AB=AC,AD是△ABC的中线，AD⊥BC,∠CAD=号∠BAC ∴∠ADC=90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+ ∠CAN=2(ZBAC+∠CAM=合X180=90.:CE∥AD,∠AEC=180°- ∠DAE=90°.∴.∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.∴.四边形ADCE是矩形. 【例2】C 1.C2.12 3.证明：AB∥CD,∠BAD=90°，.∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,.AB2+BC=AC.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∠BAD =∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一) 5.证明：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.∠AOB=∠OAD十 ∠ADO=2∠OAD,∠OAD=∠ADO.∴.OA=OD.∴AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形 6.D7.A 8.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：：四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC, AB=DC, AB=DC.∠A+∠D=180.在△ABM和△DCM中，∠1=∠2，.△ABM≌ BM-CM, △DCM(边角边).∴∠A=∠D=90..□ABCD为矩形. 9.证明：(1)CE∥BF,∴∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，BD=CD. ∠BDF=∠CDE,△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF =DE=之EF,又：BD=CD,∴四边形BFCE是平行四边形.：DE=合BC,EF= BC.∴.四边形BFCE是矩形. 10.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BFG=∠KFG.∴.∠EFG-∠EFK+∠KFG=(∠AFK+∠BFK)=9O.同理可 得∠FGH=∠EHG=90°.∴.四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求. 6