1.4 三角形的中位线定理&专题3 构造三角形中位线的四种常用技巧-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（湘教版·新教材）

1.4 【名师导学 ,◆预习先知 同新知梳理 ①连接三角形两边 的线段叫 作三角形的中位线 ②三角形的中位线 于第三边， 并且 第三边的一半， 心例题引路 【例】（教材P25习题T4变式）如图，D 是△ABC内一点，E,F,G,H分别是 AB,AC,CD,BD的中点. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果∠BDC=90°，∠DBC=30°， CD=3,AD=7,求四边形EFGH 的周长 【学生解答】 17数学八年级下册配X版 三角形的中位线定理 【基础过关 ◆·●逐点击破 知识点1三角形的中位线定理 1.(株洲天元区期末)如图，数学兴趣小组想测量湖面AB 的宽度，在湖面外任取一点O,先连接OA和OB,接着 分别取OA和OB的中点C,D,测得CD的长为4m,则 AB的宽度为 A.12m B.8 m C.6m D.4m (第1题图) (第2题图) (第4题图) 2.如图，在△ABC中，D,E分别是AC,BC的中点.若∠A= 45°，∠CED=70°，则∠C的度数为 ) A.45° B.50° C.60° D.65 3.(教材P25练习T1变式)（资阳中考）三角形的周长为 48cm,则它的三条中位线组成的三角形的周长是( ) A.12 cm B.24 cm C.28 cm D.30 cm 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D,E,F分别为AB, BC,AC的中点.若CD的长为10，则EF的长为 知识点2三角形的中位线与平行四边形 5.(山西中考)如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中 点，E是AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关 系一定成立的是 () A.OE=号AD B.OE--BC C.OE-ZAB D.OE-AC (第5题图) (第6题图) 6.(广东中考)如图，D,E,F分别是△ABC各边上的中点， ∠A=70°，则∠EDF的度数是 A.20 B.40° C.70° D.110° 【能力提升 ◆>、整合运用 7.(湘乡期末)如图，EF是△ABC的中位线， BD平分∠ABC,交EF于点D,BE=3, DF=1,则BC的长为 A.4 B.8 C.12 D.无法求出 8.(教材P25习题T1变式)如图，在□ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G, H分别是OA,OB,OC,OD的中点.下列说 法正确的是 ( A.EH=HG B.AC⊥BD C.四边形EFGH是平行四边形 D.△ABO的面积是△EFO面积的2倍 (第8题图) (第9题图) 9.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC, AE⊥CD,垂足为E,过点E作EF∥AB交BC 于点F.若BD=16,则EF的长为 10.(娄底期中)如图，等边三角形ABC的边长 是2，D,E分别为AB,AC的中点，延长BC 至点F,使CF=2BC,连接CD,EF, (1)求证：DE=CF; (2)求EF的长. 【思维拓展 ◆◆》强化素养 11.知识生成新趋势（教材P23“探究”变式）证 明三角形中位线定理的方法很多，下面是其 中一种添加辅助线构图的方法：如图，过点C 作CF∥AB,与DE的延长线交于点F. 请结合图形，补全求证及证明过程。 已知：在△ABC中，点D,E分别是AB,AC 的中点. 求证： 第1章四边形18 专题三 构造三角形0 类型1已知两边中点，连接第三边构造中位线 1.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB, AD的中点.若BC=10,DC=6,EF=4, ∠AFE=50°，则∠ADC的度数是() A.150°B.140°C.135°D.120° (第1题图) (第2题图) 2.转化思想新理念如图，在Rt△ABC中，∠C 90°，AC=3,BC=4,N是BC上一点，M是 AB上的动点，D,E分别为CN,MN的中 点，则DE长的最小值是 类型2已知角平分线十垂线，延长一边构造 等腰三角形得中位线 3.（益阳赫山区期末)如图，在△ABC中，D是 BC边的中点，AE是∠BAC的平分线， AE⊥CE于点E,连接DE.若AB=7,DE= 1,则AC的长是 () A.4 B.4.5C.5 D.5.5 (第3题图) (变式题1图) 【变式题1】如图，在△ABC中，AB=15,BC= 3,BD平分∠ABC,交AC于点E,过点A作 BE的垂线，交BE的延长线于点D,F为 AC的中点，连接DF,则DF的长为」 【变式题2】如图，AD为△ABC中∠BAC的 外角平分线，BD⊥AD于点D,E为BC的中 点，DE=5,AC=3,则AB的长为 (变式题2图) (第4题图) 19数学八年级下册配X版 P位线的四种常用技巧 类型3已知一边中点，取另一边中点构造中位线 4.如图，在△ABC中，延长BC至点D,使 CD=专BC,过AC的中点E作EF∥CD(点 F位于点E右侧)，且EF=2CD,连接DF 若AB=8,则DF的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,BC=5, AB=8,AD=10,M是BD的中点，则CM 的长为 M (第5题图) (第6题图) 类型4已知两条线段的中点，取公共边的中 点，得两条中位线 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD= 2,BC=5,E,F分别是对角线AC,BD的中 点，则EF的长为 () A.1 B.1.5 C.2.5D.3.5 7.如图，在四边形ABCD中，AB=3,CD=5, E,F分别为AD,BC的中点，则EF长的取 值范围是 D B (第7题图) (变式题图) 【变式题】公共边已知→公共边隐藏 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D,E分 别在边AB和BC上，且AD=4,CE=3,连接 DE,M,N分别是AC,DE的中点，连接MN,则 MN的长为4.B 5.解：四边形ABCD是平行四边形.理由如下：在四边形ABCD中，∠A=36°，∠B= 144°，∠C=36°，∴.∠A=∠C,∠D=360°-∠A-∠B-∠C=144°..∠B=∠D..四 边形ABCD是平行四边形. 6.C7.A8.120 I∠FAE=∠BCE, 9.(1)证明：AF∥BC,.∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中，AE=CE, ∠AEF=∠CEB, ∴△AEF≌△CEB(角边角).EF=BE..四边形ABCF是平行四边形.(2)解：四 边形ABCF是平行四边形，∴.BF=2EF=2,AB∥CF.∴∠CFB=∠ABD=90°.∴.CF ⊥BD.BC=CD,BD=2BF=4.∴AD=√AB2+BD=5. 10.解：(1)一理由如下：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC..OP=OQ, 四边形APCQ是平行四边形.二理由如下：连接AC,交BD于点O.,四边形 ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.DQ=BP,∴.OQ=OP.∴.四边形APCQ 是平行四边形.（任选其一即可）(2)如图，点Q即为所求.（答案不唯一） 1.3中心对称和中心对称图形 名师导学 ①180°对称中心②对称中心平分③180°重合④对角线的交点 【例1】B【例2】C 1.A2.D3.W13 4.解：(1)如图①，△DCB即为所求.(2)如图②，四边形A'B'C'D'即为所求， C 图① 图② 5.D6.B7.C8.12 9.解：(1)如图所示.(2)四边形BCB'C是平行四边形.理由如下：由中心对称的性质， 得OB=OB',OC=OC,.四边形BCB'C是平行四边形. B' B 10.解：(1)△ADC和△EDB成中心对称.(2)8(3)由(1)得BE=AC=3.∴.5-3< AE<5+3,即2<AE<8.DE=AD,∴.2<2AD8..1<AD<4. 11.解：(1)=(2)如图①，EF即为所求.(3)如图②，MN即为所求.（答案不唯一） 图① 图② 1.4 三角形的中位线定理 名师导学 ①中点②平行等于 【例】(1)证明：在△ABD中，E,H分别是AB,BD的中点，EH∥AD,EH= 之AD.同 理得FG/AD,FG=AD,∴EH/FG且EH=FG.四边形EFGH是平行四边形. 4 (2)解：由(1)得 $$E F = H G ， \because A D = 7 ， \therefore F G = E H = \frac { 1 } { 2 } A D = \frac { 7 } { 2 } .$$ 在 Rt△BDC 中， ，∠BDC $$= 9 0 ^ { \circ } ， \angle D B C = 3 0 ^ { \circ } ， C D = 3 ， \therefore B C = 2 C D = 6 .$$ .在 △BDC 中， ∵H，G 是 BD，CD 的中点， $$\therefore E F = H G = \frac { 1 } { 2 } B C = 3 . \therefore$$ 四边形EFGH的周长为 $$\frac { 7 } { 2 } \times 2 + 3 \times 2 = 1 3 .$$ 1.B 2.D 3.B 4.10 5.C 6.C 7.B 8.C 9.8 10.(1) )证明： ∵D，E 分别是 AB，AC 中点， $$\therefore D E \parallel B C ， D E = \frac { 1 } { 2 } B C . \because C F = \frac { 1 } { 2 } B C ，$$ ∴DE=CF.(2) 解：由(1)知 ，DE∥BC，DE=CF，∴ .四边形 DEFC 是平行四边形. ∴CD =EF.∵D 为 AB 的中点，等边三角形 ABC 的边长是 2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC $$= 2 . \therefore E F = C D = \sqrt { B C ^ { 2 } - B D ^ { 2 } } = \sqrt 3 .$$ 11.解： $$： D E / / B C ， D E = \frac { 1 } { 2 } B C$$ 证明如下：过点C作 CF∥AB， ，与DE的延长线交于点 F，∴∠ADE=∠F.∵D，E 分别是 AB，AC 的中点， ，∴BD=AD，AE=CE. .在 △ADE 和 ∠ADE=∠F， △CFE △CFE中， ， ∠AED=∠CEF，∴△ADE≅△CFE (角角边 \left.{})∴AD=CF，DE=EF= AE=CE， $$\frac { 1 } { 2 } D F . \therefore C F / / B D ， B D = C F . \therefore$$ .四边形 DBCF 是平行四边形. ∴DF//BC，DF=BC. 又 $$\because D E = \frac { 1 } { 2 } D F ， \therefore D E \parallel B C ， D E = \frac { 1 } { 2 } B C .$$ 专题三构造三角形中位线的四种常用技巧 $$1 . B 2 . \frac { 6 } { 5 }$$ 3.C 【变式题1】6【变式题2】7 4.C 5.4 6.B 7.1<EF≤4 【变式题】 $$\frac { 5 } { 2 }$$ 1.5 矩形 1.5.1 矩形的性质 名师导学 ①直 ②直相等相等且互相平分 ③ 对角线的交点 【例】(1)证明： ABCD 是矩形， $$， \therefore A D = B C ， C D = A B ， \angle A = \angle B = 9 0 ^ { \circ } . \because E$$ 是 AD=BC， AB的中点 ∴AE=BE. 在 △ADE 和 △BCE ， ∠A=∠B，∴△ADE≅△BCE (边角 AE=BE， 边).(2)解：由(1)知 △ADE≅△BCE，∴DE=CE. .在 Rt△ADE 中， ，AD=4，AE= $$\frac { 1 } { 2 } A B = 3 ，$$ ，由勾股定理，得 $$D E = \sqrt { A D ^ { 2 } + A E ^ { 2 } } = 5 ， \therefore \triangle C D E$$ 的周长为 DE+CE+CD =2DE+AB=16. $$1 . C \quad 2 . B \quad 3 . 3 \quad 4 \quad . 2 \quad 5 \quad . 4 \sqrt 5$$ 6.解： $$\because \angle A O D = 1 2 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle A O B = 1 8 0 ^ { \circ } - \angle A O D = 6 0 ^ { \circ } . \because$$ 四边形 ABCD 是矩形， $$\therefore \angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ， A C = B D = 2 O A = 2 O B . \therefore \triangle A O B$$ 是等边三角形. ∴OA=OB=AB=2. $$\therefore B D = A C = 2 O A = 4 \therefore \therefore B C = \sqrt { A C ^ { 2 } - A B ^ { 2 } } = 2 \sqrt 3 . \therefore S _ { 四 A B C D } = A B \cdot B C = 2 \times 2 \sqrt 3 = 4 \sqrt 3$$ $$7 . B 8 . 4 5 ^ { \circ } 9 . 9 \quad 1 0 . 1 5 ^ { \circ }$$ 11.(1) 证明 ∵ ·四边形 ABCD 是矩形， $$\therefore A D \parallel B C ， \angle B = \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle A E B =$$ ∠DAF. 又 $$\because D F \bot A E ， \therefore \angle D F A = 9 0 ^ { \circ } = \angle B .$$ 又 ∵AD=AE，∴△ADF≅△EAB (角角 边 \left.{})∴DF=AB.(2) 解：由 (1) 知 $$\angle D F A = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle D A F + \angle A D F = 9 0 ^ { \circ } . \because \angle A D C =$$ $$9 0 ^ { \circ } ，$$ ，即 $$\angle A D F + \angle F D C = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle D A F = \angle F D C = 3 0 ^ { \circ } . \therefore$$ 在 Rt△ADF 中， ，AD= 2DF. 由 (1\right. )知 DF=AB，∴AD=2AB=8. 12.(1)证明： ·四边形 ABCD 是矩形，M，N分别是AB，CD的中点， ∴MN∥BC∥ AD.∴∠CBN=∠MNB.∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN.(2) 解：连接 AN. 易得 ∠ANM=∠MNB.∵AD∥MN∥BC，∴∠PAN=∠ANM，∠CBN= ∠MNB.∴∠ANM=∠CBN.∴∠PNM=2∠CBN=2∠ANM∴∴AAM=∠ANP. ∴∠PAN=∠ANP.∴AP=PN.∵CD=AB=4，M，N 分别为 AB，CD 的中点， ∴DN =2. .设 PN=AP=x， ，则 PD=6-x. 在 Rt△PDN 中， $$， \because P D ^ { 2 } + D N ^ { 2 } = P N ^ { 2 } ， \therefore \left( 6 - x \right) ^ { 2 }$$ 5 - 十2=，解得x=号AP=碧 专题四矩形中的折叠问题 1.B 2.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC.∠DAC=∠ACB.由折叠的性质， 得∠ACB=∠ACE,∠DAC=∠ACE..AE=CE.∴·△ACE是等腰三角形.(2)解： 四边形ABCD是矩形，.AD=BC=16,CD=AB=8,∠D=90°.：CE=AE,DE= AD-AE=16-AE,.在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即AE2=(16-AE)2十82. AE-10.Sm-AE.CD-X10X8-40. 3.A4.√25.9或25 6.解：(I)由折叠的性质，得∠DEF=∠BEF.:四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, ∠ABC=90°.∴.∠DEF=∠BFE=∠BEF,∠EBF=∠ABC-∠ABE=72°..∠BFE =号(180-∠EBFP)=54.2)设AE=x,则BE=DE=8-x,在R△ABE中，AE+ AB=BE,即2+62=(8-，解得x=子∴AE=子 1.5.2矩形的判定 名师导学 ①直角②直角③相等 【例1】证明：AB=AC,AD是△ABC的中线，AD⊥BC,∠CAD=号∠BAC ∴∠ADC=90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+ ∠CAN=2(ZBAC+∠CAM=合X180=90.:CE∥AD,∠AEC=180°- ∠DAE=90°.∴.∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.∴.四边形ADCE是矩形. 【例2】C 1.C2.12 3.证明：AB∥CD,∠BAD=90°，.∠D=180°-∠BAD=90°.在△ABC中，AB=5, BC=12,AC=13,.AB2+BC=AC.△ABC是直角三角形，且∠B=90°.∠BAD =∠D=∠B=90°.∴.四边形ABCD是矩形. 4.AC=BD(答案不唯一) 5.证明：OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形.∠AOB=∠OAD十 ∠ADO=2∠OAD,∠OAD=∠ADO.∴.OA=OD.∴AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形 6.D7.A 8.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：：四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC, AB=DC, AB=DC.∠A+∠D=180.在△ABM和△DCM中，∠1=∠2，.△ABM≌ BM-CM, △DCM(边角边).∴∠A=∠D=90..□ABCD为矩形. 9.证明：(1)CE∥BF,∴∠BFD=∠CED.D是边BC的中点，BD=CD. ∠BDF=∠CDE,△BDF≌△CDE(角角边).(2)由(I)知△BDF≌△CDE,∴.DF =DE=之EF,又：BD=CD,∴四边形BFCE是平行四边形.：DE=合BC,EF= BC.∴.四边形BFCE是矩形. 10.解：(1)四边形EFGH是矩形.理由如下：由折叠的性质可知∠AFE=∠EFK, ∠BFG=∠KFG.∴.∠EFG-∠EFK+∠KFG=(∠AFK+∠BFK)=9O.同理可 得∠FGH=∠EHG=90°.∴.四边形EFGH是矩形.(2)如图，点M即为所求. 6