专题9.1 平面直角坐标系（举一反三讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦平面直角坐标系核心知识点，从有序数对入手，系统梳理坐标系的构成（坐标轴、象限）、点的坐标表示及特征（各象限、坐标轴上点、与坐标轴平行的点、角平分线上的点），并延伸到坐标与平移的应用，构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料以10类典型题型（如判断象限、坐标与距离、平移等）为主线，例题与变式题结合，通过棋盘、枫叶图案等实例培养几何直观与空间观念，提升运算能力和推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题9.1 平面直角坐标系（举一反三讲义） 【新教材人教版】 【题型1 判断点所在的象限】 1 【题型2 坐标与距离】 4 【题型3 坐标与象限、坐标轴】 6 【题型4 坐标与位置】 7 【题型5 与坐标轴平行】 10 【题型6 象限角平分线上的点】 12 【题型7 根据平移前的点求平移后的点】 15 【题型8 根据平移后的点求平移前的点】 18 【题型9 根据平移前后关系求值】 22 【题型10 根据平移确定点的位置】 23 知识点1 有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫做有序数对，记作． 知识点2 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点3 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点4 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 【题型1 判断点所在的象限】 【例1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】四 【分析】直接利用非负数的性质结合点的坐标特点得出所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】， ， 点的位置在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了点的坐标，非负性的应用，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【变式1-1】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题主要考查了点的坐标，解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征； 根据象限点的特征，第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负，即可求解． 【详解】解：因为点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 所以点在平面直角坐标系的第四象限． 故选：D 【变式1-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）无论m取什么数，点一定在第 象限． 【答案】二 【分析】根据非负数的性质先判断 再结合象限内点的坐标特点可得答案． 【详解】解： 点一定在第二象限， 故答案为：二 【点睛】本题考查的是非负数的性质，不等式的性质，象限内点的坐标特点，掌握“第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）”是解本题的关键． 【变式1-3】（24-25七年级下·四川泸州·期中）如果点在第二象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，确定出、的符号情况是解题的关键． 根据点在第二象限，确定出、的符号情况，然后再求出点的横坐标与纵坐标的符号情况即可进行判断． 【详解】解：点在第二象限， ， ，； 故点在第三象限； 故选：C 【题型2 坐标与距离】 【例2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）点P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值（   ） A．2 B．或6 C． D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的特征，解题关键是明确到两坐标轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等， 则或， 解得，或， 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，用手盖住点，点到轴距离为2，到轴的距离为5，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面内点到轴距离等于纵坐标绝对值，到轴距离等于横坐标绝对值求解即可得到答案， 本题考查了，平面内点到坐标轴的距离，解题的关键是：熟练掌握平面内点到坐标轴的距离． 【详解】解：∵点到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且点在第三象限， ∴，， ∴这个点的坐标是：， 故选：． 【变式2-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为，则点的坐标为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】直接利用某个“美丽点”到轴的距离为，得出的值，进而求出的值求出答案． 【详解】解：某个“美丽点”到轴的距离为， ， ， ， 解得或， 则点的坐标为：或 故选：D． 【点睛】此题主要考查了新定义，点的坐标，点到坐标轴的距离，正确分类讨论是解题关键． 【变式2-3】（24-25七年级下·河南漯河·期中）点在轴的下方，轴的右侧，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求点的坐标，点在轴的下方，轴的右侧，得此点在第四象限，根据距离轴个单位长度，可得点的纵坐标，根据距离轴个单位长度可得点的横坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴的下方，轴的右侧， ∴点在第四象限， ∵点距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， ∴点的坐标为， 故选：． 【题型3 坐标与象限、坐标轴】 【例3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，如果点在第二象限，那么a的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了象限内点的坐标的特征和解一元一次不等式，根据第二象限的点纵坐标大于0可得，进而解不等式即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 选项中满足的值为2， 故选：D． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知点在y轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，已知，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟知轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据点和点的坐标，得出、两点都在轴上，再结合即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，两点都在轴上， 又∵， ∴或， 即或． 故答案为： 或． 【变式3-3】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，若在第一象限，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方根，绝对值的运算以及象限内点的坐标特征，解题的关键是根据已知条件求出的值． 先根据求出的值，再根据求出的值，最后结合点在第一象限确定的具体取值，进而求出的值． 【详解】由题意可得：，， 点在第一象限， ，， ，， ． 故答案为：3． 【题型4 坐标与位置】 【例4】（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知点，点，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（　　） A．点P在点Q的右边 B．点P在点Q的左边 C．点P与点Q有可能重合 D．点P与点Q的位置关系无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，配方法的应用，根据题意，点，点，两点纵坐标相等，得是平行于轴的一条直线，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置，再由作差法得到，这个式子正负即可确定，从而得到答案． 【详解】解：点，点，两点纵坐标相等， 是平行于轴的一条直线上，点与点根据横坐标大小即可确定左右的位置， ， ∴， 点在点的右边， 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）综合实践课上，小星将自己手工完成的部分地图，以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若图中点的坐标为，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标以及所在的象限，熟练掌握各象限内的点的坐标特点是解题关键．判断出点位于第二象限内，根据第二象限内的点的横坐标小于0、纵坐标大于0即可得． 【详解】解：∵以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，图中点的坐标为， ∴由图可知，点位于第二象限内， ∴点的横坐标小于0、纵坐标大于0， 观察四个选项可知，只有是第二象限内的坐标， 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，这是小康设计的一个美丽的枫叶图案，将它放在平面直角坐标系中，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得． 【详解】解：，两点的坐标分别为，， 得出坐标轴如图所示位置： 点的坐标为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】根据题意和坐标与图形可确定原点可能位置． 【详解】解：由和知，M、N都位于第一象限，且N到x轴的距离为M到x轴的距离的2倍，N到y轴的距离为M到x轴的距离的5倍， 又平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同， ∴则该平面直角坐标系的原点可能是点A， 故选：A． 【点睛】本题考查点的坐标、坐标与图形，理解题意，正确得到原点可能位置是解答的关键． 【题型5 与坐标轴平行】 【例5】（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知，，若点A位于第二象限，且直线轴，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的性质，各象限内点的坐标特点，解答本题的关键是明确平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等． 根据直线轴，可知点A和点B的纵坐标相等，求出b的值，根据及点A位于第二象限，得出a，然后即可得出答案． 【详解】解：∵，，直线轴， ∴两点的纵坐标相等， ∴， ∵， ∴或， ∵点A位于第二象限， ∴， ∴     故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级上·福建三明·期中）过点和作直线，则直线（   ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．与轴相交 D．与轴、轴相交 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟记平行坐标轴的直线的特征是解本题的关键． 根据两点的横坐标相等，得出直线平行于轴． 【详解】解：∵点，点， ∴点横坐标相同， ∴直线轴， 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）已知直线平行于轴，若点M的坐标为，且点N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（     ） A． 或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 到轴的距离等于4， ， 点的坐标为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于轴的直线上点的坐标特征，点到轴的距离等于横坐标的绝对值． 【变式5-3】（24-25七年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，各象限内点的坐标的符号特征，与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点． 根据第四象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．然后根据平行于轴且，得到点Q的坐标． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是3， ∴点P的纵坐标为， ∵点P到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为， ∵点P在第四象限， ∴点P坐标为， ∵平行于轴且， ∴点Q的坐标是或． 故选：C 【题型6 象限角平分线上的点】 【例6】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：当点在第一、三象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 当点在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4， 故选：D． 【变式6-1】（24-25八年级下·四川宜宾·期末）点在第二，四象限角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】此题考查象限角平分线上点坐标特点，一、三象限角平分线上点的纵横坐标相等；二，四象限角平分线上点的纵横坐标互为相反数．第二、四象限角平分线上点的坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解． 【详解】解：∵点在第二，四象限角平分线上， ∴， ． 故答案为： 【变式6-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，在平面直角坐标系中有一点 （1）若点P在第一象限的角平分线上，则 ；若点P在第四象限的角平分线上，则 ； （2）若点P在第二象限，则m的取值范围是 ； （3）多解法点P不可能在第 象限； （4）将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B，若点B的横，纵坐标互为相反数，则 ． 【答案】 三 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特征、点的平移、相反数等知识点，熟练掌握平面内点的坐标特征、角平分线上点的特征是解题的关键． （1）当点P在第一象限的角平分线上求出m即可；当点P在第四象限的角平分线上可得求出m即可； （2）根据第二象限上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零列不等式组求解即可； （3）根据各象限内的坐标特点分别列不等式组求解即可判定； （4）先求出点P平移后点B的坐标，然后再根据点B的横，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：（1）当点P在第一象限的角平分线上，可得，解得：； 当点P在第四象限的角平分线上，可得，解得：． 故答案为：，． （2）当点P在第二象限，可得：，解得：． 故答案为：． （3）当点P在第一象限，可得：，解得：， 当点P在第二象限，可得：，解得：， 当点P在第三象限，可得：，方程组无解，即点P不可能在第三象限， 当点P在第四象限，可得：，解得：． 故答案为：三． （4）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B的坐标为，即， ∵点B的横，纵坐标互为相反数， ∴，解得：． 故答案为： 【变式6-3】（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点， (1)若点在第一象限的角平分线上时，求的值； (2)若点到轴的距离是到轴的距离的3倍，求点坐标； (3)若线段轴，求点，的坐标及线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3)，；4 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键在于理解点到坐标轴的距离与点坐标之间的关系． （1）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等得出关于a的方程，解之可得； （2）根据点到轴的距离是到轴的距离的3倍得出关于a的方程，解之可得a再写出坐标即可； （3）由轴知横坐标相等求出a的值，再得出点的坐标，从而求得的长度． 【详解】（1）已知点， ∵点A在第一象限的角平分线上， ∴， 解得：． （2）∵点到轴的距离是到轴的距离的3倍， 且到轴的距离为1， ∴或， 解得或， ∴点坐标为或． （3）∵线段轴， ∴， 解得， ∴点，， ∴线段的长为． 【题型7 根据平移前的点求平移后的点】 【例7】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、用坐标表示表示位置及平面直角坐标系中点的平移，由题意，建立平面直角坐标系，求出“马”位于点，再由点的平移即可得到答案，熟记平面直角坐标系坐标表示位置及点的平移是解决问题的关键． 【详解】解：根据“帅”位于点，“炮”位于点，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴“马”位于点， ∴将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点，则点在 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．根据平移的性质，向左平移，则横坐标减；向上平移，则纵坐标加． 【详解】解： 先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点， ，， 点的坐标是， 点在二象限 故答案为：二． 【变式7-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形变化－平移，先画出平行四边形，得出，然后根据平移的性质可得点的坐标． 【详解】解：如图， 由图可知，， ∴将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级下·北京·期中）如图所示，已知，，三点坐标．将三角形平移至三角形处，点A，B，C的对应点分别为点，，，其中点的坐标为． (1)①在图中画出平移后的三角形； ②其中三角形上一点平移后对应点的坐标为______； (2)求三角形的面积； (3)设点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标． 【答案】(1)①见解析；②； (2)； (3)或． 【分析】本题考查作图-平移变换，涉及到三角形面积公式以及方程的应用，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据平移的性质作图即可； ②由题意知三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形，结合平移的性质可得答案； （2）直接利用割补法求三角形的面积即可； （3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，三角形即为所求； ②由题意知，三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形， ∴ 三角形上一点平移后对应点的坐标为； 故答案为：； （2）三角形的面积为； （3）设点的坐标为， ∵ 三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴ 点的坐标为或． 【题型8 根据平移后的点求平移前的点】 【例8】（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移变换以及点的坐标，根据题意得出，进而根据平移得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点， ∴ 故选：A． 【变式8-1】（24-25七年级下·贵州·期末）在平面直角坐标系中,将点P(x,y)向右平移3个单位,再向上平移2个单位长度后与点Q(-1,2)重合,则点P的坐标为 . 【答案】（-4，0） 【分析】逆向思考，把点（-1，2）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后可得到P点坐标． 【详解】在坐标系中，点Q（-1，2）先向左平移3个单位得（-4，2），再把（-4，2）向下平移2个单位后的坐标为（-4，0），则P点的坐标为（-4，0）． 故答案为（-4，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 【变式8-2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为． (1)画出平移前的，并写出点和点的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见详解，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，图形变换， （1）先得出，再结合，可知是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，据此画出，即可求解； （2）根据是由先向右平移4个单位，再下平移3个单位得到的，即可求解； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）如图可知：， ∵， ∴将先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求；   ， 由图可知：，； （2）解：解：根据题意得：是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的， ∴点在内的对应点的坐标是． 故答案为：； （3）解：的面积 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平移得到关于的方程，求出的值即可解题． 【详解】将点平移后点的坐标为， 由题可得：，解得：， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移，二元一次方程组，掌握平移规律是解题的关键． 【题型9 根据平移前后关系求值】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）把点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到一个位置后坐标为，则m，n，a，b之间存在的关系是 ； （2）将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点，则 ． 【答案】 ， 【分析】（1）根据点平移的规律，得到平移后点的坐标，又因为已知平移后点坐标，得到等量关系即可求解； （2）根据点平移的规律，得到平移后点的坐标，又因为已知平移后点坐标，得到等量关系即可求解x，y值，即可求解的值； 【详解】解：（1）∵点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，得到点坐标为, 为平移后点的坐标； ∴,； 故答案为：，． （2）∵将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点坐标为，为平移后的点坐标， ∴解得：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减；纵坐标上加，下减． 【变式9-1】（24-25七年级下·全国·专题练习）将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式9-2】（24-25七年级下·吉林通化·阶段练习）将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，掌握点的坐标平移特点“左减右加，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：由平移可得：，， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 此时，，， 则点的卫星点为和， ∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等）， ∴， 解得，， 故答案为：． 【题型10 根据平移确定点的位置】 【例10】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行（或垂直）于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了1步．点，，各走了若干步后到达同一点P，当点P的坐标为 时，三个点的步数和最小，为 ． 【答案】 6 【分析】根据网格的特点求解即可． 【详解】如图所示，    当点P的坐标为时， 点A先向上走1步，再向右走1， 点B向下走3步，点C向左走1步， ∴此时三个点的步数和最小，为6步． 故答案为：，6． 【点睛】此题考查了坐标与图形，点的平移，解题的关键是熟练掌握网格的特点． 【变式10-1】（24-25八年级下·全国·期中）将点向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的平移，点在坐标轴上的特点，根据将点向上平移1个单位得到点Q，点Q在x轴上，可得出，进而可求出m的值，进一步即可求出点P的坐标． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到点Q， 则 ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：D． 【变式10-2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则P（m+2，2m+1）在第 象限． 【答案】三 【分析】根据向右平移横坐标加，y轴上的横坐标为0列方程求解出m的值，可得出点P的坐标，根据象限的特征即可得出结果． 【详解】点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上， ， ， ， 点P的坐标为（-1，-5）， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式10-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况： ①在轴上，在轴上； 则横坐标为0，纵坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上． 则纵坐标为0，横坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 平面直角坐标系（举一反三讲义） 【新教材人教版】 【题型1 判断点所在的象限】 1 【题型2 坐标与距离】 3 【题型3 坐标与象限、坐标轴】 3 【题型4 坐标与位置】 4 【题型5 与坐标轴平行】 5 【题型6 象限角平分线上的点】 5 【题型7 根据平移前的点求平移后的点】 6 【题型8 根据平移后的点求平移前的点】 7 【题型9 根据平移前后关系求值】 8 【题型10 根据平移确定点的位置】 8 知识点1 有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫做有序数对，记作． 知识点2 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点3 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点4 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 【题型1 判断点所在的象限】 【例1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【变式1-1】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（24-25七年级下·广东广州·期末）无论m取什么数，点一定在第 象限． 【变式1-3】（24-25七年级下·四川泸州·期中）如果点在第二象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型2 坐标与距离】 【例2】（24-25八年级上·河南焦作·期中）点P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值（   ） A．2 B．或6 C． D．2或 【变式2-1】（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，用手盖住点，点到轴距离为2，到轴的距离为5，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为，则点的坐标为（  ） A． B． C．或 D．或 【变式2-3】（24-25七年级下·河南漯河·期中）点在轴的下方，轴的右侧，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型3 坐标与象限、坐标轴】 【例3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，如果点在第二象限，那么a的取值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知点在y轴上，则 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，已知，则 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，若在第一象限，则的值为 ． 【题型4 坐标与位置】 【例4】（24-25九年级上·福建厦门·期末）已知点，点，下列关于点P与点Q的位置关系说法正确的是（　　） A．点P在点Q的右边 B．点P在点Q的左边 C．点P与点Q有可能重合 D．点P与点Q的位置关系无法确定 【变式4-1】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）综合实践课上，小星将自己手工完成的部分地图，以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若图中点的坐标为，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，这是小康设计的一个美丽的枫叶图案，将它放在平面直角坐标系中，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【题型5 与坐标轴平行】 【例5】（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）已知，，若点A位于第二象限，且直线轴，则（    ） A． B． C．4 D．5 【变式5-1】（24-25八年级上·福建三明·期中）过点和作直线，则直线（   ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．与轴相交 D．与轴、轴相交 【变式5-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）已知直线平行于轴，若点M的坐标为，且点N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（     ） A． 或 B．或 C．或 D．或 【变式5-3】（24-25七年级下·四川德阳·期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型6 象限角平分线上的点】 【例6】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【变式6-1】（24-25八年级下·四川宜宾·期末）点在第二，四象限角平分线上，则 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，在平面直角坐标系中有一点 （1）若点P在第一象限的角平分线上，则 ；若点P在第四象限的角平分线上，则 ； （2）若点P在第二象限，则m的取值范围是 ； （3）多解法点P不可能在第 象限； （4）将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B，若点B的横，纵坐标互为相反数，则 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点， (1)若点在第一象限的角平分线上时，求的值； (2)若点到轴的距离是到轴的距离的3倍，求点坐标； (3)若线段轴，求点，的坐标及线段的长． 【题型7 根据平移前的点求平移后的点】 【例7】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【变式7-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点，则点在 象限． 【变式7-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ． 【变式7-3】（24-25七年级下·北京·期中）如图所示，已知，，三点坐标．将三角形平移至三角形处，点A，B，C的对应点分别为点，，，其中点的坐标为． (1)①在图中画出平移后的三角形； ②其中三角形上一点平移后对应点的坐标为______； (2)求三角形的面积； (3)设点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标． 【题型8 根据平移后的点求平移前的点】 【例8】（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级下·贵州·期末）在平面直角坐标系中,将点P(x,y)向右平移3个单位,再向上平移2个单位长度后与点Q(-1,2)重合,则点P的坐标为 . 【变式8-2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为． (1)画出平移前的，并写出点和点的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______； (3)求的面积． 【变式8-3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是 ． 【题型9 根据平移前后关系求值】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）把点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到一个位置后坐标为，则m，n，a，b之间存在的关系是 ； （2）将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点，则 ． 【变式9-1】（24-25七年级下·全国·专题练习）将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·吉林通化·阶段练习）将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点，，则 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【题型10 根据平移确定点的位置】 【例10】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行（或垂直）于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了1步．点，，各走了若干步后到达同一点P，当点P的坐标为 时，三个点的步数和最小，为 ． 【变式10-1】（24-25八年级下·全国·期中）将点向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则P（m+2，2m+1）在第 象限． 【变式10-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $