精品解析：河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二上期2月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期02月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比中项即可求解. 【详解】由题意可得所以， 故，且， 故选：D 2. 与直线垂直的直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率，再根据斜率与倾斜角关系可直接求解. 【详解】由题知直线的斜率为，故直线l的斜率为， 根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为150°. 故选：D 3. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 72 B. 108 C. 120 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式，计算即可得结果. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以． 故选：D. 4. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解. 【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 因为，所以， ，， ，， 所以点P到AB的距离． 故选：C. 5. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为. 【详解】为单位圆上一点，而直线过点， 所以的最大值为，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 6. 已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设三个点的坐标，分别求出其斜率，根据条件即可求解A的坐标. 详解】设，，， 则， 所以， 解得，故， 故点A的坐标为， 故选：B. 7. 已知数列满足：，时，若为偶数，则；若为奇数，则，又知，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，结合逐步往前推导的值即可. 【详解】，根据递推公式可知为偶数，且，， 又，结合递推公式可知为奇数，， 又，为偶数，且， 又，为奇数，， 又，为偶数，且， 又，，解得. 故选：C. 8. 已知三棱锥中，平面，，点E，F分别是线段的中点，直线相交于点G，则过点G的平面与截三棱锥的外接球O所得截面面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可用补形法，补全为正方体，先计算三棱锥的外接球半径，由题意可计算，当截面垂直时，截面面积最小，截面过球心时面积最大. 【详解】因为，故，将三棱锥补形成正方体，如图所示， 已知三棱锥的外接球球的半径， 取的中点，连接必过点， 因为，即，所以， 因为，所以， 则过点的平面截球所得截面圆的最小半径， 所以截面面积的最小值为，最大值为, 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和为，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列. 【详解】由题得， 两式相减得，即， 当时，， 所以数列从第项起是等比数列，所以， 所以数列的通项为，， 当时，；当时，符合上式， 所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 10. 如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ） A. 点为的中点 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成的角的正弦值为 D. 过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到点为的中点； B选项，求出点到平面EFG的距离，利用余弦定理及三角形面积公式得到，得到三棱锥的体积； C选项，利用空间向量求解线面角的大小； D选项，作出辅助线得到过点、、作正方体的截面为正六边形，得到其面积即可. 【详解】以D坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面EFG的法向量为， 则， 令，则，故， A选项，设，则， 因为平面， 所以，即， 解得：， 故，故， ， 所以，则点为的中点，A正确； 设点到平面EFG的距离为d， 则， 又，，， 即， 由余弦定理得：， 故，则， 由三角形面积公式可得：， 故三棱锥的体积为，B正确； ，设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，C正确； 取的中点，的中点，的中点，连接， 则过点、、作正方体的截面，截面为正六边形，边长为， 正六边形的面积为 则截面面积为，D错误. 故选：ABC 11. 已知为双曲线上一点，，，令，，下列为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设第二象限点，由题设得且，，进而可判断各选项是否为定值. 【详解】 不妨设在第二象限，可得，即，而，， ∴为定值，A正确； 由倍角正切公式及，可得，， ∴不为定值，B排除； ，而，故为定值，C正确； 由C知：不为定值， D排除； 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意判断存在实数k1，k2，使，再进行空间向量的坐标运算构建方程，解出参数即可. 【详解】解析：因为点P在平面ABC内， 所以存在实数k1，k2，使 ， 即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)， 所以，解得. 故答案为：11． 13. 椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，若，，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长度关系以及向量定比分点设再分别利用余弦定理计算解方程即可求得离心率. 【详解】设根据题意知，且， 根据椭圆定义，，可得， 同理，， 由余弦定理可得， ， 又，可得①， 因，， 即，代入①得， 等式同时除以得，解得或（舍）， 即椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以. 16. 已知数列的首项，且满足. （1）求，； （2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3）记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1），. （2）证明见解析， （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用递推关系式，即可求解； （2）由递推关系式，构造等比数列的递推关系式，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入得到，利用等比数列求和公式，即可求解，即可证明. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 由得，且， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以， 又因为，所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点. （1）证明：； （2）若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）4. 【解析】 【分析】（1）证明平面BCD，原题即得证； （2）过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME，求出，即得三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：∵，O为BD中点，∴， 因平面ABD，平面平面BCD，且平面平面， ∴平面BCD，∵平面BCD，∴. 【小问2详解】 解：过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME， 因为且由（1）知平面BCD， 所以平面BCD， ∵平面BCD，∴ 在△BCD中，∵，∴， 因为 ，∴，∴平面MNE ∴ ∴为所求的二面角的平面角， ∴，∴ ∵，，∴， 因为，∴， ∵，∴.∴，∴. ∴ ∴. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． （1）求的标准方程． （2）若点是上第一象限的动点，过点作直线（不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）． （i）证明：． （ii）若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）在，且定直线方程为，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知条件求出、的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）（i）利用两点间的距离公式化简、的表达式，证明出双曲线在点处的切线方程为，求出点的坐标，由此可证得； （ii）求出直线的方程，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意可知，可得， 双曲线的渐近线方程为，即， 点到其渐近线的距离为，所以，， 因此，双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）因为是上第一象限的动点，则，可得且， 易知点、， 所以， ， 由双曲线的定义可得， 所以，， 先证明出双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，整理可得，解得， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点，且， 所以，，因此，； （ii）如下图所示： 直线斜率为， 因为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 联立直线和直线的方程， 可得，解得， 因此，点在定直线上. 【点睛】结论点睛：双曲线在其上一点处的切线方程为. 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如： ，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以； （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以， 因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以， 所有不超过正整数正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，， ，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即； 【小问2详解】 ， ， 两式相减得 ， ； 【小问3详解】 由（2）可知 ， 得恒成立， 令， 则， 可得；当时，，当时，， 所以的最大值为， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二上期02月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 与直线垂直的直线l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 72 B. 108 C. 120 D. 144 4. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为 A. B. C. D. 6. 已知的三个顶点都在抛物线上，三边、、所在直线的斜率分别为，，，若，则点A的坐标为（） A. B. C. D. 7. 已知数列满足：，时，若为偶数，则；若为奇数，则，又知，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 8. 已知三棱锥中，平面，，点E，F分别是线段的中点，直线相交于点G，则过点G的平面与截三棱锥的外接球O所得截面面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列前项和为，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 10. 如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（ ） A. 点为的中点 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是 11. 已知为双曲线上一点，，，令，，下列为定值的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________． 13. 椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，若，，则椭圆的离心率为__________． 14. 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于A，B两点，求； 16. 已知数列的首项，且满足. （1）求，； （2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3）记数列前项和为，证明：. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD中点. （1）证明：； （2）若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，且点到其渐近线的距离为． （1）求的标准方程． （2）若点是上第一象限的动点，过点作直线（不与渐近线平行），若与只有一个公共点，且与轴相交于点（与点不重合）． （i）证明：． （ii）若点在直线上，且，那么点是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由． 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如： ，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以； （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 注：两个整数互素是指这两个整数最大公因数为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $