2026年中考数学三轮复习备考－二次函数综合题高频考点冲刺练

2026年中考数学三轮复习备考－二次函数综合题高频考点冲刺练 1．如图，直线y=﹣x+3交y轴于点A，交x轴与点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B，点P为抛物线上直线AB上方部分上的一点，且点P的横坐标为t，过P作PE∥x轴交直线AB于，作PH⊥x轴于H，PH交直线AB于点F． （1）求抛物线解析式； （2）若PE的长为m，求m关于t的函数关系式； （3）是否存在这样的t值，使得∠FOH﹣∠BEH=45°？若存在，求出t值，并求tan∠BEH的值，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的顶点坐标及点A，B的坐标； (2)点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为．将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G．当点M在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，求n的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴负半轴交于点，正半轴交于点，抛物线经过点． (1)求抛物线解析式； (2)动点从出发沿向点运动，动点从出发沿向点运动，，同时出发，速度均为1个单位/秒，运动时间为，连接与交于点，的长为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，当时，连接，点为第一象限内一点，连接，，，延长交的延长线于点，若，求点的坐标． 4．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长； （3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点E的坐标； (3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）求出点A的坐标和点D的横坐标； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由． 　 7．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m．    (1)直接写出a，c的值，并求出此时抛物线的顶点坐标； (2)若，求点P的坐标； (3)过点P作轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C． ①求C关于m的函数解析式； ②当C随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 8．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 9．已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C． (1)直接写出点A和点B的坐标． (2)如图1，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，设，求w的最大值． (3)如图2，已知点，P是二次函数图象上不同于点D的一个动点，连接、、，当的面积等于时，求点P的坐标． 10．一次函数的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，二次函数的图象经过A、B两点． (1)求b的值； (2)P是二次函数图象第三象限内一点，连接、，设P点横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式（不用写出自变量取值范围） (3)在（2）的条件下，过P点作直线分别交直线于点D，交y轴于点E，过P作轴于K，延长交直线于F，H是延长线上一点，连接，，P为中点，取中点G，连接，，交线段于点M，，求H点坐标． 11．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)抛物线上是否存在一点，使，若存在请直接写出点的坐标___________；若不存在，说明理由． 12．如图，抛物线与轴交于A，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）m与t的关系式为m=﹣t2+3t；（3）存在满足条件的t的值，t的值为1，tan∠BEH的值为． 【详解】试题分析：（1）由直线AB的解析式可求得A、B两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c，可求得抛物线解析式； （2）由P点坐标表示出E点的纵坐标，代入直线AB解析式，可求得E点横坐标，则可用t表示出PE的长，可得到m关于t的函数关系式； （3）过E作EG⊥x轴于点G，则可用t表示出GH和EG，由三角形外角的性质和已知条件可证得∠EHG=∠FOH，可证明△FOH∽△EHG，根据相似三角形的性质可求得t的值，则可求得tan∠EHG，结合∠BEH=∠FOH﹣45°，则可求得tan∠BEH的值． 解：（1）在直线y=﹣x+3中，令x=0可得y=3，令y=0可得x=3， ∴A（0，3），B（3，0）， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点， ∴把A、B两点的坐标代入可得，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）∵P点在抛物线上， ∴P点坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∵PE∥x轴， ∴E点纵坐标为﹣t2+2t+3， ∵E点在直线AB上， ∴把E点纵坐标代入直线AB解析式可得﹣t2+2t+3=﹣x+3，解得x=t2﹣2t， ∴E点横坐标为t2﹣2t， ∴PE=m=t﹣（t2﹣2t）=﹣t2+3t， ∴m与t的关系式为m=﹣t2+3t； （3）如图，过E作EG⊥x轴于点G， ∵OA=OB=3， ∴∠EBO=45°， ∴∠EHG=∠BEH+∠EBO=∠EBH+45°， ∵∠FOH﹣∠BEH=45°， ∴∠FOH=∠BEH+45°， ∴∠EHG=∠FOH，且∠FHO=∠EGH=90°， ∴△FOH∽△EGH， ∴=， ∵OH=t，F在直线AB上， ∴FH=﹣t+3， 由（2）可知EG=﹣t2+2t+3，GH=m=﹣t2+3t， ∴=，解得t=1， ∴OH=1，FH=2， ∴tan∠FOH==2， ∵∠FOH﹣∠BEH=45°， ∴∠BEH=∠FOH﹣45°， ∴tan∠BEH=tan（∠FOH﹣45°）===， 综上可知存在满足条件的t的值，t的值为1，tan∠BEH的值为． 考点：二次函数综合题． 2．(1)顶点坐标为，A点，B点 (2)的值为 (3)n<或n=或n= 【分析】（1）利用配方法求得顶点坐标，令，解一元二方程即可求得A、B的坐标； （2）由题意设，，分当和时两种情况讨论，再结合题意确定符合条件的m值即可； （3）分情况讨论，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， ∴顶点坐标为，A点坐标为，B点坐标为； （2）解：由题意得：抛物线对称轴为直线， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵点M在x轴上方， ∴， 当时，如图1， 此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， 点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为； （3）解：如图3，当点D在E点上方时， ， ∴， 只有F在抛物线上满足要求， ∴， ， 把F点代入抛物线解析式得： ， 得，（舍）， 当点E在点D上方时， ， ∴， 如图4，当点G在抛物线上时，满足要求， 此点G的纵坐标与上一情况的纵坐标相等， ∴， 如图5，当B在上时，有两个交点， ∴， ∴当时，正方形与抛物线只有一个交点， 综上：当或或时，与抛物线有且只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 3．(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于，易得，得到，，推出，得到，，得到，求出的长，证明，推出为等边三角形，过点作轴于，证明，得到，，利用，即可得出结论； （3）过点作于，过点作于，求出点坐标，进而求出直线的解析式，过作于，设，在和中，，求出的值，过点作于，求出的坐标，进而求出直线的解析式，联立两个解析式，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， ． （2）过点作轴于， ，， ，， ， 在中，， ，， 在中， ，， ， ，， ， 中，， ，， 在中，，， ， ， ， ， 为等边三角形， 、同时出发，速度相同， ， 过点作轴于，则为等边三角形， ，，， ， ，， ，， ， ， 即． （3）过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， 为等边三角形，过点作于，，， ， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得 解得， ， 解（抽图）过作于，设， 在中， 勾股得， ，，， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中，，， ，过点作于，， ， ， ， 设的解析式为，把和代入得， 解得， ，得， 解得， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，同时考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的综合应用，含30度的直角三角形，勾股定理．本题综合性强，难度大，属于中考压轴题．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 4．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）2；（3）存在，理由见解析. 【分析】（1）抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），则c=3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b=2，即可求解； （2）函数的对称轴为：x=1，则点D（1，4），则BE=2，DE=4，即可求解； （3）△BFC的面积=×BC×|yF|=2|yF|=6，解得：yF=±3，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0）， 则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4）， 则BE＝2，DE＝4， BD＝＝2； （3）存在，理由： △BFC的面积＝×BC×|yF|＝2|yF|＝6， 解得：yF＝±3， 故：﹣x2+2x+3＝±3， 解得：x＝0或2或1， 故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）； 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 5．(1)抛物线的解析式为； (2)的最大值为；此时，点； (3)满足条件的点P有4个，坐标分别为或或或． 【分析】（1）将，代入抛物线，即可求函数解析式； （2）求出直线的解析式为，设，，根据得二次函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论：①当，②当，③当时．利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入， 得，解得， ∴直线的解析式为， 作轴交于点G， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 此时，； （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设，则，， 以B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况： ①当时，则， ∴P或P； ②当时，则， 解得， ∴P； ③当时，则， 解得（舍）， ∴P； 综上所述，满足条件的点P有4个，坐标分别为或或或； 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像及性质、掌握菱形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． 6．（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a；（3）能，P（1，）或P（1，﹣4） 【分析】(1)令抛物线y=0，即可求出A点和B点坐标，再根据CD=4AC得到D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，由此求解； (2) 过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2-2ax-3a)，得到F(x，ax+a)，求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； (3)令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D(4，5a)，设P(1，m)，分类讨论：①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论． 【详解】解：(1) 当y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)=0时，得A(-1，0），B(3，0)， ∵直线l：y=kx+b过A(-1，0)， ∴0=-k+b，即k=b， ∴直线l：y=kx+k， ∵CD=4AC， ∴D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍， ∴点D的横坐标为4， 故答案为：A(-1，0)，点D的横坐标为4； (2)D的横坐标代入二次函数得到：D(4,5a)， 如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F， 设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)， ∵直线l：y=kx+b过A（-1，0）， ∴0=-k+b，即k=b， ∴直线l：y=kx+k， 则F(x，ax+a)，EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)(ax2﹣3ax﹣4a)x(ax2﹣3ax﹣4a) ， ∵E是直线l上方的抛物线上的动点， ∴时，△ACE的面积的最大值为时， ∵△ACE的面积的最大值为， ∴，解得a， 故答案为：a； (3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下： D（4，5a）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴设P（1，m）， 分类讨论： 情况一：如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边， ∵A点横坐标在D点横坐标左边5个单位， ∴Q点横坐标在P点横坐标左边5个单位，即Q横坐标为：1-5=-4， 将x=-4代入二次函数解析式中求得Q纵坐标为21a， ∴Q(-4，21a)， ∴m=21a+5a=26a，则P(1，26a)， ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2， ∴52+(5a)2+32+(26a-5a)2=22+(26a)2， 解得a²=，又a<0， ∴a=，此时P(1，)； 情况二：如图3，若AD是矩形APDQ的对角线， ∵D点横坐标在P点横坐标右边3个单位， ∴Q点横坐标在A点横坐标右边3个单位，即Q点横坐标为-1+3=2， 将x=2代入抛物线中求得Q点纵坐标为-3a， ∴Q(2，-3a)， ∴m=5a-(-3a)=8a，则P(1，8a)， ∵四边形APDQ是矩形， ∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2， ∴(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)2， 解得a²=，又a<0， ∴a=，此时P(1，-4)， 综上所述，P点坐标存在，且P(1，)或P(1，﹣4) ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点坐标，动点问题之三角形面积的最值问题，矩形的存在性问题等，题目较难，具有一定的综合性，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键 7．(1)，， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌了二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得的值，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）根据题意求得，即可得出，过点作轴于，则，设，则，代入抛物线解析式求得的值，即可求得的坐标； （3）①根据题意求得直线的解析式，设，则，分为当时，当时，分别作图根据矩形的性质即可求得； ②根据二次函数的性质即可求得． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：． ∴抛物线的解析式为：， 即； ∴抛物线的顶点． （2）当时，即， 解得． ∴， 即． 当时，，即， ∴． 当点在轴上方抛物线上时，如图所示，设直线交轴于点，    由， ∴． ∴， ∴． 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由直线与抛物线相交，得， 解得． 由点在第一象限，得， 此时， ∴． （3）①设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为：， 由，得， 当时（如图），   ， ， 当时(如图)，   ， ， ； ②∵， 当时，， 故当时，随的增大而增大，不符合题意； 当时，， 故当时，随的增大而增大 综上，当时，随的增大而增大． 8．(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 9．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据次函数的图象与x轴交于点A，点B，令，即，解方程即可； （2）过点P作于点N，交于点M，二次函数的图象与y轴交于点C，求出点C的坐标为，由B、C点坐标求出直线的解析式为，可得，再结合，求出，根据证明，可得，即，即可求出结果； （3）可分为点P在直线的上方或下方两种情况，设点P的坐标分别为 或，分别表示出的面积，根据，列出方程求解，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵次函数的图象与x轴交于点A，点B， 时，， 解得：，， ∴A点坐标为，B点坐标为． （2）解：如图，过点P作于点N，交于点M， ∵二次函数的图象与y轴交于点C， 时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， ∵直线的图象过点， ∴把点代入直线的解析式为，即， 解得， ∴直线的解析式为， ，， ， ， ，， ， ， ， ∴时，w的最大值为． （3）解；如图，当点P在直线的上方时，过点P作轴，交于点F，的延长线交x轴于点E， 设点P的坐标为，则点F的坐标为， ， ，， ， ∵点，点C的坐标为， ， ， ， ， 解得：， ∴点时，；当时，， 或； 当点P在的下方时，过点P作，交于点G，延长交的延长线于点L， 设点P的坐标为，则点G的坐标为， ， , ， ， ， ， ，解得， 时，，此时点P与点D重合，故舍去， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、求一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、解一元二次方程，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可解答； （2）不妨设点，设直线交轴于点，然后用待定系数法求得直线的表达式为：，那么，最后通过得出答案； （3）过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，先表示出，然后结合，得到，，设，证明四边形为矩形，以及，得到，那么为的垂直平分线，，设，则，接着证明，延长交延长线于点，延长交轴于点，连接，证明，得到，推出，作于，证明，，得到，结合，轴，列出，解方程即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则；令，则， ∴，， 把，代入二次函数， 得， 解得； （2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为： 不妨设点，设直线交轴于点，如图所示： 设直线的表达式为：，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：过点作轴交直线于点，过点作于点，延长交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交延长线于点，延长交轴于点，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．(1) (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】(1)设抛物线，代入点确定a值即可得解． (2)过点E作，直线与抛物线的交点就是所求． (3)根据轴，得到即，结合条件，得到，继而得到．设直线与y轴正半轴交点为M，负半轴交点为N，根据题意，，分别确定M，N的坐标，继而确定直线的解析式，联立抛物线的解析式即可得解． 【详解】（1）∵抛物线经过、、三点， ∴设抛物线， 代入点得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）存在点Q，满足与的面积相等，理由如下： ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线解析式为； ∵、， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线解析式为； ∴当时，， ∴； ∵与的面积相等， ∴点Q在过点E且平行直线的直线上， 过点E作， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴或． （3）∵、， ∴； ∵轴， ∴即， ∵， ∴， ∴． 设直线与y轴正半轴交点为M，负半轴交点为N， 根据题意，， ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线解析式为， ∴， 解得（舍去）， ∴． 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线解析式为， ∴， 解得（舍去）， ∴． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点，平行线间的距离相等，等角的正切值相等，熟练掌握待定系数法，构造解析式型方程组，等角的三角函数值相等是解题的关键． 12．(1) (2)存在，或或或或 【分析】（1）先由和抛物线对称轴为直线，求得点B，A的坐标；把点B，A的坐标代入后，即可求出a，b的值，； （2）当，，，，时，分别依据菱形的性质和勾股定理，求出点P的纵坐标，又点P的横坐标为，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：设，则， 则点A、的坐标分别为、， 则， 解得：， 故点、的坐标分别为、， 则抛物线的表达式为：， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：点的坐标：或或或或 如图，证明如下， 由菱形的性质可知， 当时， ∵ ∴ 当时， ∵ ∴ 当时，设到x轴的距离为n 则有，，   解得， 即 当时， 即 当时， 即 故点的坐标：或或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数、菱形的性质，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $