专题7.5 正态分布（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学正态分布核心知识点，系统梳理连续型随机变量定义、正态密度函数、正态曲线特点、3σ原则及概率计算方法，构建从基础概念到实际应用的递进式学习支架。 资料以8类题型为框架，通过例题与变式题结合，融入身高、成绩分布等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维分析概率规律的能力。包含正态曲线示意图等可视化资源，课中助力教师分层教学，课后帮助学生通过变式练习巩固知识，查漏补缺。

专题7.5 正态分布（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 正态密度函数】 2 【题型2 正态曲线的特点】 4 【题型3 利用正态曲线的性质求概率】 6 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 8 【题型5 利用3σ原则求概率】 9 【题型6 标准正态分布的应用】 12 【题型7 正态分布的实际应用】 14 【题型8 正态分布与其他知识综合】 17 知识点1 正态分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【题型1 正态密度函数】 【例1】（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【解题思路】将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【解答过程】 ， . 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【解答过程】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【答案】 【解题思路】可根据正态密度函数的性质，结合偶函数的特点以及函数最大值来确定正态密度函数解析式中的参数. 【解答过程】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 【变式1-3】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【答案】f(x)＝ ，，μ＝20，σ2＝2. 【解题思路】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义即可求解. 【解答过程】解：由图可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20， 由，解得σ＝， 所以该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝ ，， 随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 【题型2 正态曲线的特点】 【例2】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【解答过程】∵正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ∵越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， ∴，所以A错误，C正确． 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二下·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【解答过程】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【解题思路】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【解答过程】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【变式2-3】（24-25高二下·山东菏泽·期末）两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【解答过程】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C. 【题型3 利用正态曲线的性质求概率】 【例3】（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【解题思路】根据正态分布的对称性即可求解. 【解答过程】随机变量，且, 故， 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二下·河北·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（   ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.86 【答案】D 【解题思路】根据正态分布的曲线的对称性及曲线表示的意义即可求解. 【解答过程】因为随机变量X服从正态分布， 所以正态曲线关于直线对称， 则. 又因为， 所以. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【解答过程】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【解题思路】由得出对应的正态密度函数的对称轴，利用正态分布的性质与对称性求解即可. 【解答过程】根据题意，，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 【例4】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知随机变量，若，，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据正态分布的对称性可得，故，求出a的值. 【解答过程】因为，， 所以，即，所以. 故选：B． 【变式4-1】（24-25高二下·湖北·月考）已知随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求出值. 【解答过程】随机变量，由，得， 又，则，因此，解得. 故选：A. 【变式4-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【解题思路】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【解答过程】由已知得正态曲线关于直线对称， ， ，解得， 故选：C． 【变式4-3】（2025·河南新乡·二模）已知随机变量，，则的最大值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正态分布的对称性得到，再用代换1法求最大值即可. 【解答过程】因为，， 所以. 由正态分布的对称性，可得. 因为， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为. 故选：D. 【题型5 利用3σ原则求概率】 【例5】（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（   ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正态分布的原则，计算概率即可. 【解答过程】由题意知， 则， 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二下·河北承德·期末）为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批10～15岁的青少年参加暑期夏令营，共有20000名学生参加选拔测试，其测试成绩（满分120分），成绩为100分及以上者可以参加夏令营．已知参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，则估计参加夏令营的人数约为（    ） 附：，，． A．18 B．27 C．34 D．55 【答案】B 【解题思路】由题知，根据正态分布对称性可得，据此估计出，然后利用对称性估计参加夏令营的人数即可. 【解答过程】， 则，， ， 则参加夏令营的人数约为人. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（   ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 【答案】D 【解题思路】应用正态分布的性质判断A，B，应用概率值及对称性计算对应概率值判断C，D. 【解答过程】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布． 该地小麦的平均株高约为cm，A选项错误； 该地小麦株高的方差约为，B选项错误； 因为，该地株高超过110cm的小麦约占，C选项错误； 因为，该地株高超过130cm的小麦约占， 则该地株高低于130cm的小麦约占，D选项正确. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二下·四川绵阳·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则下列说法错误的是（    ）（人数保留整数） 参考数据：若则，. A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 【答案】C 【解题思路】由正态分布概念判断A正确，由对称性得出B正确，根据原则和对称性判断C错误，D正确. 【解答过程】对于A选项：由，得出，，故平均分为82.5，A正确； 对于B选项：因为，由对称性可知成绩在95分以上（含95分） 人数和70分以下（含70分）人数相等，故B正确； 对于C选项：， 则，故C错误； 对于D选项：， 所以，则超过98分的人数约为1，故D正确. 故选：C. 【题型6 标准正态分布的应用】 【例6】（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【解题思路】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【解答过程】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 【变式6-1】（24-25高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【答案】B 【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解答过程】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 【变式6-2】（24-25高二下·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【答案】 【解题思路】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【解答过程】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二下·浙江·月考）某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：,.已知标准正态分布随机变量Z满足,那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于 ． 【答案】185.5 【解题思路】由题意知，转化为标准正态分布求出PVP的范围. 【解答过程】由题意知，则， 因为，所以，所以， 所以该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于185.5. 故答案为：185.5. 【题型7 正态分布的实际应用】 【例7】（24-25高二下·全国·课前预习）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】B 【解题思路】由题可得，即可求得. 【解答过程】小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布， ， 该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为， 故选：B. 【变式7-1】（24-25高二下·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【答案】C 【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解答过程】对于A，依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A错误； 对于C，，， 因为， 所以，故C正确； 对于B，与的密度曲线大致如下， 若某天只有34min可用，由图可知，所以李明应选择公交车，故B错误． 对于D，若某天只有40min可用，由图可知， 所以，所以李明应选择自行车，故D错误． 故选：C． 【变式7-2】（24-25高二下·河北·月考）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【解答过程】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由，可得 ，则， 所以分数在70分及以下的学生有人， 所以学生小A被抽到的概率． （2）由，可得：． 所以甲校得分不低于120分的概率为， 得分不高于60分的概率为， 所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人， 故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少； 即乙校高分人数更多，低分人数更少. 【变式7-3】（24-25高二下·河南·月考）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【解答过程】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 【题型8 正态分布与其他知识综合】 【例8】（24-25高二下·广东江门·月考）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64 (2)1587 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【解答过程】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 【变式8-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为 (2)8186 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可； （3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望. 【解答过程】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为 . （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 【变式8-2】（24-25高二下·山东·期中）某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】(1)62； (2)71； (3)455. 【解题思路】（1）利用频率分布直方图估计样本平均数，列式计算即得. （2）利用分位数的意义，结合频率分布直方图求解. （3）由（1）的结论，利用正态分布的性质求出，再估计人数. 【解答过程】（1）由频率分布直方图，得样本平均数的估计值： ， 所以样本平均数的估计值为62. （2）由频率分布直方图知，前3组的频率和为，第4组的频率为0.24， 所以样本的分位数为. （3）由（1）知，样本平均数的估计值，则， 因此, 所以成绩不低于90分的学生人数约为. 【变式8-3】（24-25高二下·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列； (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【解题思路】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【解答过程】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以 ， 所以高二年级学生体能检测合格. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 正态分布（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 正态密度函数】 2 【题型2 正态曲线的特点】 3 【题型3 利用正态曲线的性质求概率】 4 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 5 【题型5 利用3σ原则求概率】 5 【题型6 标准正态分布的应用】 6 【题型7 正态分布的实际应用】 7 【题型8 正态分布与其他知识综合】 8 知识点1 正态分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间. 利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【题型1 正态密度函数】 【例1】（24-25高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【变式1-1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【变式1-3】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【题型2 正态曲线的特点】 【例2】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【变式2-3】（24-25高二下·山东菏泽·期末）两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型3 利用正态曲线的性质求概率】 【例3】（24-25高二下·山西·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式3-1】（24-25高二下·河北·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（   ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.86 【变式3-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 【题型4 根据正态曲线的对称性求参数】 【例4】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知随机变量，若，，则a的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（24-25高二下·湖北·月考）已知随机变量，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【变式4-3】（2025·河南新乡·二模）已知随机变量，，则的最大值为（    ） A．9 B． C． D． 【题型5 利用3σ原则求概率】 【例5】（24-25高二下·湖南邵阳·期末）已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（   ） 参考数据： A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·河北承德·期末）为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批10～15岁的青少年参加暑期夏令营，共有20000名学生参加选拔测试，其测试成绩（满分120分），成绩为100分及以上者可以参加夏令营．已知参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，则估计参加夏令营的人数约为（    ） 附：，，． A．18 B．27 C．34 D．55 【变式5-2】（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（   ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 【变式5-3】（24-25高二下·四川绵阳·期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试.高二有名学生（百分制且卷面成绩均为整数）服从正态分布，则下列说法错误的是（    ）（人数保留整数） 参考数据：若则，. A．年级平均成绩为82.5分 B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等 C．成绩不超过77分的人数少于150 D．超过99分的人数约为1 【题型6 标准正态分布的应用】 【例6】（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【变式6-1】（24-25高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【变式6-2】（24-25高二下·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【变式6-3】（24-25高二下·浙江·月考）某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量PVP可以用正态分布近似，且满足：,.已知标准正态分布随机变量Z满足,那么该业务保单的利润现值可以以95%的概率大于 ． 【题型7 正态分布的实际应用】 【例7】（24-25高二下·全国·课前预习）“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【变式7-1】（24-25高二下·福建福州·期末）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车 C． D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车 【变式7-2】（24-25高二下·河北·月考）在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【变式7-3】（24-25高二下·河南·月考）在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【题型8 正态分布与其他知识综合】 【例8】（24-25高二下·广东江门·月考）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【变式8-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【变式8-2】（24-25高二下·山东·期中）某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．试估计成绩不低于90分的学生人数． 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【变式8-3】（24-25高二下·福建福州·期中）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列； (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $