专题7.2 离散型随机变量及其分布列（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识点，系统梳理随机变量定义、离散型随机变量判断、分布列性质及求解步骤，衔接两点分布等基础模型，构建从概念理解到性质应用再到综合交汇的学习支架。 资料以7类题型为载体，通过例题与变式题结合，培养学生用数学眼光抽象实际问题中的离散变量，用数学思维推理分布列性质，用数学语言表达概率模型。如交汇题型结合频率分布直方图，助力课中教学互动，课后可通过变式练习查漏补缺，提升应用能力。

专题7.2 离散型随机变量及其分布列（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 离散型随机变量的判断】 2 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 4 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 7 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 9 【题型5 两点分布】 11 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 12 【题型7 分布列与其他知识的交汇问题】 15 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【题型1 离散型随机变量的判断】 【例1】（24-25高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据离散型随机变量的概念逐个判断即可. 【解答过程】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C. 【变式1-1】（24-25高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解题思路】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【解答过程】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的， 故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举， 故它不是离散型随机变量． 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【解题思路】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【解答过程】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【答案】B 【解题思路】根据离散型随机变量的定义直接求解. 【解答过程】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量； 等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量； 测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量． 故选：B． 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 【例2】（24-25高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【答案】C 【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【答案】D 【解题思路】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列. 【解答过程】易知X的可能取值为0，1，2，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【解答过程】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 【变式2-3】（24-25高二下·贵州黔东南·期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率. 【解答过程】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：3，4，5，6，7，8， 所以，，，， 所以分布列为 3 4 5 6 7 8 （2）由（1）得. 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 【例3】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【解题思路】由分布列的性质结合题意可得答案. 【解答过程】由题，． 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据概率和为1列式求解即可. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【解题思路】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【答案】C 【解题思路】根据分布列概率之和为1即可求解. 【解答过程】由题意可得 解得． 故选：C. 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 【例4】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分布列的性质求出后可求. 【解答过程】由分布列可得，解得， 则， 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·福建福州·期中）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件，利用分布列的性质得到，即可求解. 【解答过程】由题知，解得，所以， 又， 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【解题思路】根据分布列的性质求出参数，进而求出事件概率. 【解答过程】，解得； ， 故选：B. 【变式4-3】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【解答过程】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 知识点2 两点分布 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型5 两点分布】 【例5】（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按照两点分布的性质计算. 【解答过程】依题意可得，解得. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】由概率之和为1即可列方程求解. 【解答过程】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【解题思路】根据两点分布性质计算即可. 【解答过程】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C. 【变式5-3】（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【解答过程】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 【例6】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【解题思路】由题意得计算求解即可. 【解答过程】由题可得. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【解题思路】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【解答过程】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【解题思路】（1）先根据及的所有可能取值得的所有可能取值，再根据的取值的概率求出的取值的概率，从而可得的分布列； （2）根据的分布列可求出结果. 【解答过程】（1）由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9， 则， 或 ， 或 ． 可得随机变量的分布列如表所示． 0 1 4 9 （2）因为，， 又因为，所以. ∴实数的取值范围是． 【变式6-3】（2025高一·全国·专题练习）有一个数字生成器，它可以等可能地生成这四个数字．定义随机变量X为生成的数字，再定义两个新的随机变量，． (1)求随机变量X的概率分布列； (2)求Y的概率分布列； (3)求Z的概率分布列； (4)求和． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析； (4)，. 【解题思路】（1）根据等可能事件可求得X取所有可能值时的概率进而可得分布列； （2）随机变量，我们需要根据X的取值来确定Y的取值和概率； （3）随机变量，根据X的取值来确定Z的取值和概率； （4）根据（2）（3）中的概率分布列即可求解． 【解答过程】（1）由于数字生成器是等可能的，X的每个取值的概率都是， 所以X的概率分布列为： X 1 2 3 4 P （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由于X的取值互不相同，Y的取值也互不相同．Y的概率分布由X的概率分布直接决定．所以Y的概率分布列为： Y 1 4 9 16 P （3）随机变量，当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由于X的取值互不相同，Z的取值也互不相同， 所以Z的概率分布列为： Z 3 5 7 9 P （4）计算累积概率：的取值中小于等于10的有． ． 的取值中小于等于7的有． ． 【题型7 分布列与其他知识的交汇问题】 【例7】（24-25高二下·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； 【解答过程】（1）由频率分布直方图的性质，可得，解得. （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆， 在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 【变式7-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，结合条件概率和全概率公式，即可求解； （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，得到可能取值为，求得相应的概率，列出分布列. 【解答过程】（1）解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， “随机抽取2正，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”， 则，且， 由全概率公式，可得. （2）设在一轮比赛中的得分为随机变量，则可能取值为， 则，， ， 所以得分的分布列为： 【变式7-2】（24-25高二下·河南濮阳·期中）为迎接2025年五一劳动节，某地店特推出盲盒抽奖营销活动，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和； (2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元，二等奖2000元，三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列． 【答案】(1)，； (2)分布列见解析 【解题思路】（1）根据条件概率公式结合古典概型计算求解； （2）先写出概率，再根据分布列步骤计算求解. 【解答过程】（1）模型内饰为米色的共有20个，所以， 红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所. （2）设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件“取出的模型外观和内饰都异色”，事件“仅外观或仅内饰同色”，   ，        ，          ，               因为， 所以获得一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为 其分布列为                            3000 2000 1000 【变式7-3】（24-25高二下·北京·期中）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. (1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； (2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列和； (3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)11月6日 【解题思路】（1）根据古典概型即可求得； （2）求出随机变量的所有可能取值，求出对应概率即可得出分布列和期望值； （3）先求出各区间内的人数，从而确定甲乙步数所在的区间，进而得出结论. 【解答过程】（1）设“甲比乙的步数多”为事件， 在11月4日至11月10日中，只有11月5日和11月9日这两天甲比乙的步数多， 所以； （2）由图可知，7天中乙的步数不少于20000的天数有11月4日和11月10日这两天， 所以的所有可能取值为， 可得，，； 可得分布列为 0 1 2 所以； （3）由频率分布直方图可知，步数在各区间内的人数如下： 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 内的人数有人； 因为这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名， 所以甲的步数在区间内，乙的步数在区间内， 符合题意的只有11月6日这一天，所这是11月6日的数据. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 离散型随机变量及其分布列（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 离散型随机变量的判断】 2 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 3 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 5 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 5 【题型5 两点分布】 7 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 7 【题型7 分布列与其他知识的交汇问题】 8 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域. 区别：样本空间Ω不一定是数集，随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=xi)=pi，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①pi≥0，i=1，2，…，n； ②p1+p2+…+pn=1. 3．离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 4．离散型随机变量分布列的求解步骤 第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义； 第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率； 第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列； 第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【题型1 离散型随机变量的判断】 【例1】（24-25高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】（24-25高二下·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【变式1-3】（24-25高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某电子元件的寿命 B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数 C．某人早晨在车站等出租车的时间 D．测量某零件的长度产生的测量误差 【题型2 求离散型随机变量的分布列】 【例2】（24-25高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【变式2-1】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X 0 1 2 P 0.06 0.24 0.70 C． X 0 1 2 P 0.06 0.56 0.38 D． X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 【变式2-2】（24-25高二下·贵州遵义·月考）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【变式2-3】（24-25高二下·贵州黔东南·期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【题型3 利用随机变量分布列的性质解题】 【例3】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式3-1】（24-25高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式3-2】（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式3-3】（24-25高二下·河北邢台·期末）设随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 A． B． C． D．或 【题型4 由随机变量的分布列求概率】 【例4】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·福建福州·期中）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【变式4-3】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点2 两点分布 1．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则=1-p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布的理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型5 两点分布】 【例5】（24-25高二下·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·福建宁德·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（   ） A． B． C． D．或 【变式5-2】（24-25高二下·广东江门·期末）若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【变式5-3】（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【题型6 两个相关的随机变量的分布列问题】 【例6】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【变式6-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式6-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 【变式6-3】（2025高一·全国·专题练习）有一个数字生成器，它可以等可能地生成这四个数字．定义随机变量X为生成的数字，再定义两个新的随机变量，． (1)求随机变量X的概率分布列； (2)求Y的概率分布列； (3)求Z的概率分布列； (4)求和． 【题型7 分布列与其他知识的交汇问题】 【例7】（24-25高二下·广东茂名·期中）近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试、某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：并整理得到如图的频率分布直方图： (1)求的值； (2)该机构用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有辆汽车行驶里程不小于8万公里，求的分布列． 【变式7-1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛． (1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； (2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列． 【变式7-2】（24-25高二下·河南濮阳·期中）为迎接2025年五一劳动节，某地店特推出盲盒抽奖营销活动，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 (1)从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和； (2)活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元，二等奖2000元，三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列． 【变式7-3】（24-25高二下·北京·期中）某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. (1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； (2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列和； (3)根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $