8.1 平行四边形（第4课时 平行四边形的判定二）同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

8.1平行四边形（第4课时平行四边形的判定二）同步练习 一、单选题 1．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，对角线，相交于点．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，，则四边形的面积为(   ) A．100 B．130 C．60 D．120 5．下列说法正确的是（   ） A．一组对角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 6．如图，在中，，相交于点，，分别为，的中点，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， … ∴四边形是平行四边形． 上面缺少的过程是打乱的： ①∵，分别为，的中点，②∴；③∴，． 则正确顺序是（    ） A．③①② B．①②③ C．①③② D．②①③ 7．综合实践课上，小颖画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1~图3是作图过程，在此作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（   ） （1）作的垂直平分线交于点； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 8．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 9．如图，，是相交的两条线段，分别为它们的中点．当绕点旋转时，连接，，，所得到的四边形始终为 形（与不重合）． 10．如图，四边形的对角线，交于点，，．当 时，四边形是平行四边形． 11．在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ． 12．如图，中，，为锐角，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中所有正确的方案是 ． 甲：分别取、的中点E、F 乙：作、分别平分、 丙：分别作、垂直于点E、F 13．在四边形中，对角线相交于点O，在下列条件中，①②③④⑤能够判定四边形是平行四边形有 （填序号）． 14．图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 三、解答题 15．如图，的对角线相交于点，过点且分别与相交于点．连接．求证：四边形是平行四边形． 16．数学课上，老师让同学们证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的正确性，小琪同学先任意画出，再取边的中点，连接并延长至点，使，连接、，并写出了如下尚不完整的已知和求证． 已知：如图，在四边形中，_____， 求证：四边形是_____． (1)补全已知和求证； (2)小琪同学的思路是利用三角形全等进行解题，请你帮他完成证明过程． 17．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 18．如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 19．如图，点、是对角线上的两点，且，连接、，， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若． ①求线段的长； ②求四边形的面积． 20．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 21．如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 22．如图，在四边形中，，交于点O，，，，，动点P从点A出发，沿射线方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动，当运动到点D时停止运动，设运动的时间为． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当运动到以P，B，C，Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值． 23．如下图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个点（点，始终在的外面），且，，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，则四边形是平行四边形吗？请说明理由．由此你能得出什么结论？ (3)若平分，，求四边形的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 2．D 【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断. 【详解】解：A、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； D、，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判断、解题的关键是根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定． 3．C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）以及平行四边形的性质（对边平行且相等），解题的关键在于利用对角线互相平分的性质判断四边形为平行四边形，再应用平行四边形的对边平行且相等的性质．先根据已知条件判断四边形的形状，再根据平行四边形的性质判定即可． 【详解】O是的中点，即， 四边形是平行四边形， ， 故选：． 4．D 【分析】根据勾股定理求出CE=13，得出AE=13，再根据AE=CE，BE=DE，得出四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质，求出平行四边形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴△BEC为直角三角形， ∴， ∴， ∴AE=CE， ∵BE=DE， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； B、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 6．A 【分析】由的判断及性质，可得四边形的对角线互相平分，由平行四边形的判定即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，, ，分别为，的中点， ， ∴四边形是平行四边形， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题关键熟悉掌握平行四边形的判定． 7．A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，尺规作图—作垂线、作线段，由作图可得，，结合平行四边形的判定定理即可得出四边形为平行四边形，即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴可直接判定四边形是平行四边形的条件是对角线互相平分， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 9．平行四边 【解析】略 10．8 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 【详解】解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 延长到E，使，连接，，根据线段中点的定义得到，推出四边形是平行四边形，得到，，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得出结论． 【详解】解：延长到E，使，连接，， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由阿波罗尼奥斯定理得：， ， ， ， 故答案为：． 12．甲、乙、丙 【分析】由平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质分别对各个方案进行判断即可． 【详解】解：方案甲，连接AC交BD与G，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴GB＝GD，GA＝GC， 又O为BD的中点， ∴OB＝OD， ∴O，G为同一个点， ∵E、F分别为DO、BO的中点， ∴OE＝DE，OF＝BF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠BCD，AD＝CB，ADCB， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴，， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△DAE和△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙，∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AECF，∠AED＝∠CFB＝90°， 在△DAE和△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故方案丙正确； 故答案为：甲、乙、丙． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 13．①②④⑤ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，根据平行四边形的判定分别进行求证即可． 【详解】解：①添加条件， 则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故①正确； ②添加条件， 则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故②正确； ③添加条件， 即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形，故③不正确； ④添加条件， 则根据对角线相互平分的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故④正确； ⑤添加条件， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 即可判定四边形是平行四边形，故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 14．24 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键利用勾股逆定理证明三角形为直角三角形． 根据平行四边形对角线互相平分可知，，，又，根据勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，面积为，又平行四边形中对角线把它分成面积相等的部分，由此可求出平行四边形的面积． 【详解】解：与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ． ，，， ， 为直角三角形，， ， ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 15．见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定，是解题的关键：证明，得到，即可得证． 【详解】解：∵的对角线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 16．(1)，平行四边形 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：如图，在四边形中， 求证：四边形是平行四边形． 证明：， 四边形是平行四边形； 故答案为：，平行四边形； （2）证明：在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 17．见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先证明，可得，结合，可得，从而可得结论； （2）由可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴四边形为平行四边形． 19．(1)见解析 (2)①2；② 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，交于点O，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论； （2）①由勾股定理得，则，得，即可得出结论；②求出，再由三角形面积关系得，然后由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 20．见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质，得，，再根据，可得，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【详解】证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 22．(1)证明见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于，要证明四边形是平行四边形，根据已知条件，通过证明对角线互相平分来得出结论； 对于，根据平行四边形的对边相等这一性质，分情况列出关于时间t的方程求解． 【详解】（1）证明：， . ， ≌， ， 四边形为平行四边形； （2）解：∵，，， . 四边形是平行四边形， ，， 由题意可知，，， ①当点P在线段上时，此时，， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； ②当点P在线段的延长线上时，此时，， 四边形是平行四边形， ， ， 解得 综上，当t的值为或时，以P，B，C，Q为顶点的四边形为平行四边形． 23．(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由结论见解析 (3) 【分析】（1）先利用平行四边形对角线互相平分的性质得，再由的关系推出，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论； （2）同理（1），通过推出，结合判定平行四边形，再总结一般比例下的结论； （3）利用角平分线和平行线的性质得，结合平行四边形性质推出垂直平分，进而得，再由判定为等边三角形，求出边长后计算周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． 由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形． （3）解：在中，， ． 平分， ， ， ． ， ， 垂直平分， ． ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、等边三角形的判定，掌握平行四边形的对角线性质、对角线互相平分的四边形是平行四边形及角平分线与平行线结合得等腰三角形的技巧是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $