精品解析：江苏省淮安市2025-2026学年高二第一学期期末调研测试数学试题

2025—2026学年度第一学期期末高二调研测试 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只要将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列前项和为，若，则（ ） A. 127 B. 64 C. 63 D. 31 4. 已知双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 双曲线的焦点可能在轴上 C. 双曲线的焦距为 D. 双曲线的两条渐近线可能垂直 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线是曲线的一条切线，则直线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知数列满足，若，则数列的前10项和（ ） A. B. 6 C. D. 8 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，记线段与双曲线的交点为，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关数列的说法正确的有（ ） A. 数列1，2，3和数列3，2，1是同一个数列 B. 数列的通项公式可以是 C. 数列的通项公式为，则数列中只有一项为70 D. 数列的通项公式为，则数列的最大项是第6项 10. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 在上单调递减 D. 点是曲线的对称中心 11. 如图，椭圆和椭圆在各象限的交点分别为，定义四段弧围成的图形为“椭方”，若的离心率为，下列说法正确的有（ ） A. “椭方”的周长 B. “椭方”的面积 C. “椭方”上的点到椭圆右顶点距离最大值为 D. 直线截“椭方”所得线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公切线条数为___________． 13. 已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 14. 已知函数，首项为1的正项数列满足，记与的等差中项为，数列的前项和为，若恒成立，则数列的通项公式为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时，有极小值． （1）若直线为的切线，求的值； （2）求的单调区间． 16. 已知圆过点． （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于，求直线的方程． 17. 已知等差数列前项和为．数列前项和为，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，且，求的最小值． 18. 已知抛物线的焦点为是抛物线上异于原点的三个不同的点，点也在直线上，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）若点在轴下方，且的面积是的面积的2倍，求点的坐标； （3）若点是的垂心，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）若函数有零点，求的取值范围； （2）当时，记函数和图象的交点为． （i）求证：，且； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末高二调研测试 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只要将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角. 【详解】，则直线斜率为， 则直线倾斜角满足. 故选：B 2. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程配方化成标准方程即得. 【详解】由配方得， 故圆的圆心坐标为. 故选：A. 3. 等比数列前项和为，若，则（ ） A. 127 B. 64 C. 63 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】先求公比和首项，利用等比数列前项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 所以，所以，又，所以， 所以， 故选：C. 4. 已知双曲线，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 双曲线的焦点可能在轴上 C. 双曲线的焦距为 D. 双曲线的两条渐近线可能垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的条件确定的取值范围，再根据的取值范围判断焦点位置、焦距以及渐近线的性质. 【详解】由题意，，解得，故A选项错误. ，且，所以双曲线的焦点不可能在轴上，只能在轴上，B选项错误. 双曲线，其中，，，焦距，C选项错误. 双曲线的渐近线方程为. ，解得，当时，双曲线的两条渐近线垂直，D选项正确. 故选：D 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，解出，进而求. 【详解】由题意得：，所以， 所以，所以， 故选：B. 6. 若直线是曲线的一条切线，则直线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，根据导数几何意义得到，根据求出，，从而求出三角形的面积. 【详解】，设切点坐标为，则， 又，故，故，， 中，得，令得， 故直线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：D 7. 已知数列满足，若，则数列的前10项和（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推式推出数列是周期为3的周期数列，求出前三项，即可计算的值. 【详解】由，可得， 则，故数列是周期为3的周期数列. 由，则，， 则，于是. 故选：C. 8. 已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，记线段与双曲线的交点为，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求双曲线的渐近线方程，进而得的直线方程，进而得点的坐标，又为的中点，利用中点公式得的坐标，又点在双曲线上，代入双曲线方程，解出方程即可求解. 【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线为，又， 过作双曲线的一条渐近线的垂线方程为， 所以，所以， 又，又为的中点，设， 所以，， 所以，又点在双曲线上， 所以，化简得， 又， 即，又，所以， 所以，所以， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关数列的说法正确的有（ ） A. 数列1，2，3和数列3，2，1是同一个数列 B. 数列的通项公式可以是 C. 数列的通项公式为，则数列中只有一项为70 D. 数列的通项公式为，则数列的最大项是第6项 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据数列的定义即可判断，对于B，根据通项公式即可判断，对于C，由，解出即可判断，对于D，先判断单调性，进而求解. 【详解】对于A，数列1，2，3和数列3，2，1不是同一个数列，故A错误； 对于B，数列的一个通项公式可以是，故B正确； 对于C，由，解得或（舍去），故C正确； 对于D，由，又函数在单调递减， 当时，，当时，，又，所以，， 所以数列的最大项是第6项，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 在上单调递减 D. 点是曲线的对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调区间，结合选项，可判定A错误，B正确，C错误，求得，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，可得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极小值， 当，取得极大值， 对于A，因为取得极大值，且，， 所以函数只有在有一个零点，所以A错误； 对于B，函数有一个极小值点和一个极大值点，所以B正确； 对于C，函数在上单调递增，所以C错误； 对于D，由，即， 所以函数关于成中心对称，所以D正确. 故选：BD. 11. 如图，椭圆和椭圆在各象限的交点分别为，定义四段弧围成的图形为“椭方”，若的离心率为，下列说法正确的有（ ） A. “椭方”的周长 B. “椭方”的面积 C. “椭方”上的点到椭圆右顶点距离最大值为 D. 直线截“椭方”所得线段长度最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式与长度可求得两个椭圆的方程，求出以为半径的圆的面积结合图形可判断A选项；过椭圆的上顶点作轴的垂线分别交直线于点，过椭圆的下顶点作轴的垂线分别交直线于点，连接，则可判断与之间，与之间，与之间，与之间的面积均相等，且图中与之间的面积大于图中与之间的面积；求出矩形的面积后即可判断B选项；设“椭方”上的点的坐标的三角形式，利用两点间的距离公式，三角函数公式，并结合二次函数的性质与横坐标的取值范围即可判断C选项；联立直线与“椭方”在椭圆部分的方程，根据根与系数的关系，判别式公式，弦长公式可得直线截“椭方”所得线段的长度，结合二次函数的性质即可判断D选项. 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，所以，即； ，，即，； 设是椭圆和在第一象限的交点，则 ，所以，即，解得； 所以，解得， 所以，解得，所以， 所以，； 对于A，如图，作以为半径的圆， 因为以为半径的圆的周长为，所以“椭方”的周长，所以A正确； 对于B，如图，过椭圆的上顶点作轴的垂线分别交直线于点， 过椭圆的下顶点作轴的垂线分别交直线于点，连接， 则与之间，与之间，与之间，与之间的面积均相等， 且图中与之间的面积大于图中与之间的面积； 又矩形的面积为， 所以“椭方”的面积，所以B正确； 对于C，椭圆右顶点为， 当“椭方”上的点为椭圆的部分时，设“椭方”上的点为， 则， 所以当时，，此时所求点在点或处； 因为，所以；所以C错误； 当“椭方”上的点为椭圆的部分时，设“椭方”上的点为或，则 ， 所以当时，， 同上；所以C错误； 对于D，依题意，直线的斜率为，所以直线截“椭方”所得线段长度 最大值为直线截“椭方”在椭圆的部分时所得线段长度的最大值； 设直线与椭圆的交点为， 由，得，即， 所以，，解得； 所以，当时，取等号； 此时，，解得，符合题意； 即直线截“椭方”所得线段长度最大值为，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与圆的公切线条数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求圆心距，利用几何法判断圆与圆的关系，进而求解. 【详解】由圆得，由圆得，所以， 所以，所以， 所以圆与圆内切，所以圆与圆有1条公切线， 故答案为：1. 13. 已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 14. 已知函数，首项为1的正项数列满足，记与的等差中项为，数列的前项和为，若恒成立，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知函数，由，代入可求出，则根据累加法可求出，所以可求出，又因正项数列，所以可得，则，再根据与的等差中项为，可求出，数列的前项和为，可求出，再根据恒成立，可求出，继而可求出，则可求出的通项公式. 【详解】根据题意知函数，由， 代入可求出，则化简整理可得， 有递推公式可求出， 将上式累加可得，则， 又因正项数列，所以可得，所以， 则，则 再根据与的等差中项为，可求出， 数列的前项和为， 则 ， 将上式分母有理化可求出， 又因恒成立，所以可求出① 则②，①式减去②式，则， 所以可得， 又因，所以， 所以可得，当时，，满足通项公式， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，当时，有极小值． （1）若直线为的切线，求的值； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）在单调递减，在单调递增 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再设切点为，由解出，进而求解； （2）由（1）得，进而求导，利用导数研究单调性即可求解. 【小问1详解】 由题意得：的定义域为， 所以，所以①， 又， 所以，即②，由①②解得， 所以， 设切点为， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）有，， 所以， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 16. 已知圆过点． （1）求圆的方程； （2）过的直线与圆交于，求直线的方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标，列出方程组，求出，即得圆的方程； （2）对直线分斜率不存在与存在两种情况，结合图形及余弦定理，弦长公式计算即得. 【小问1详解】 设圆的方程为， 依题意，可得，解得， 则圆的方程为，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，即，将其代入圆的方程，计算可得， 不妨取，则， 由余弦定理，因，则，符合题意； 当直线的斜率存在时，设. 由图知，当时，由余弦定理，，即， 则点到直线的距离为，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为和. 17. 已知等差数列前项和为．数列前项和为，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，且，求的最小值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，求出，利用等差数列通项公式即可求得，利用求出； （2）令，利用错位相减法即可求解； （3）令，得，进而利用等差数列前项和公式求得，又计算，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 所以，解得， 所以， 所以， 由，当时，，解得， 当时，由有， 所以，即， 所以数列是以为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以； 【小问2详解】 令，设数列的前项和为， 所以①， ②， 由①②有：， 所以， 所以数列的前项和为； 【小问3详解】 令， 所以， 所以， 所以， 又， 因为， 所以的最小值为. 18. 已知抛物线的焦点为是抛物线上异于原点的三个不同的点，点也在直线上，且． （1）求抛物线的标准方程； （2）若点在轴下方，且的面积是的面积的2倍，求点的坐标； （3）若点是的垂心，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，利用和点在抛物线上，列出方程组，求解出，再写出抛物线方程. （2）根据三角形面积公式求出直线与轴的交点坐标，求出直线方程，再联立抛物线方程即可求得点坐标. （3）根据垂心的性质以及直线的斜率，求出直线斜率，设出点坐标及直线方程，利用列方程求解即可. 【小问1详解】 因为点在直线上，设点，又，. 又点在抛物线上，，联立解得. 所以抛物线方程为 【小问2详解】 由（1）可得抛物线方程为，焦点，设，因点在轴下方，，连接交轴于点，设 已知的面积是的面积的2倍，根据三角形面积公式可得，即，解得或. 当时，，，直线方程为，将直线与抛物线方程联立得，解得或（舍） 时，此时，即. 当时，，，直线方程为，将直线与抛物线方程联立得，解得或（舍）. 时，此时，即. 综上，点坐标为或. 【小问3详解】 因为点是的垂心，所以，. 已知，则,. 设直线，联立直线与抛物线方程整理得，设，由韦达定理可得：. ，化简得. 齐次化处理： ，化简得 ，代入化简得. 解得或，当时，直线经过，不合题意，舍去. 直线的方程为. 19. 已知函数． （1）若函数有零点，求的取值范围； （2）当时，记函数和图象的交点为． （i）求证：，且； （ii）求证：． 【答案】（1）； （2）（i）设，则有， 作差移项得， 易知在上单调递增，，则． 令，所以， 则，令， ∴函数在上单调递减，在上单调递增． 因为，， 令，则， 由在上单调递减，在上单调递增和零点存在定理得在和内各有一个零点． 不妨设，则，得证． （ii）在处的切线方程为． 令， 所以， 所以当时；当时， 即在上为减函数，在为增函数， 所以， 所以，即． 从而，且， 即， 因为， 所以． 又，可解得， 所以， 又由（i）知交点坐标满足，所以两交点在直线上， 则. 【解析】 【分析】（1）转化为有解问题，分离参数后再设新函数求导得其最小值即可； （2）（i）变形得，再利用的单调性得，令，求导得其单调性，再取值代入并结合零点存在性定理即可证明； （ii）首先求出在处的切线方程，再设新函数得其单调性和最小值，从而有，最后代入即可得到，即可证明不等式. 【小问1详解】 原命题等价于有解，令． 在上单调递减，在上单调递增． . 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $