专题 6.3 图形的相似综合培优专题（10大考点25题型）- 2025-2026学年苏科版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 6.3 图形的相似综合培优专题（10大考点25题型） 目录 一、综合篇 2 【考点一】比例线段与黄金分割 2 【题型1】比例的基本性质 2 【题型2】黄金分割 3 【考点二】平行线分线段成比例 6 【题型3】由平行线判断成比例的线段 6 【题型4】利用平行线截线段成比例求线段的长或比值 10 【考点三】相似三角形的判定 14 【题型5】利用 “两角对应相等” 判定相似（最常用） 14 【题型6】利用 “两边对应成比例且夹角相等” 判定相似 17 【题型7】利用 “三边对应成比例” 判定相似 19 【题型8】选择或补充条件使两个三角形相似 21 【考点四】相似三角形的性质 24 【题型9】利用相似比求对应边、对应角、对应高、中线、角平分线 24 【题型10】利用相似比求周长比和面积比（面积比是相似比的平方） 26 【考点五】图形的位似 28 【题型11】识别位似图形，判断位似中心 28 【题型12】求两个位似图形的相似比 30 【题型13】在坐标系中求位似图形的对应点坐标 33 二、培优篇 35 【考点六】相似三角形的判定与性质综合 35 【题型14】相似三角形的判定与性质综合题】 35 【题型15】相似三角形与特殊四边形的综合 40 【题型16】相似三角形与圆的综合 45 【考点七】相似三角形的实际应用 52 【题型17】利用相似三角形测量高度、宽度（如测量旗杆高度、河宽） 52 【题型18】相似三角形在投影问题中的应用 57 【考点八】相似三角形中的动点问题 62 【题型19】动点问题探究相似三角形的存在性 62 【题型20】动点问题与相似三角形的面积 72 【考点九】相似三角形的经典模型应用 82 【题型21】“母子型” 相似 82 【题型22】“一线三等角” 相似 87 【题型23】“旋转” 相似 93 【考点十】图形与函数综合 108 【题型24】相似三角形与一次函数、二次函数的综合 109 【题型25】相似三角形与反比例函数的综合 128 一、基础篇 【考点一】比例线段与黄金分割 【题型1】比例的基本性质 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，且，那么k的值是（   ） A．2 B． C．2或0 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论． 当时，利用比的等比性质求解；当时，则，再代入求值即可． 解：①当时，由等比性质可得： 即：； ②当时，则， ∴， 所以k的值是2或， 故选：D． 2．（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可设，利用等比性质可得的值，设▲为x，●为y，◆为z，得到个等式，联立可得用x表示y、z，相比即可． 解：设，▲为，●为，◆为， ∴， ∴， ∴， ∴▲，●，◆这三种物体的重量比为． 故选：B． 【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，由已知代数式可以用设比值为一个参数的方法求解． 设，可得，，，代入求解即可． 设，则， ． 故答案为：6 4．（2026·上海长宁·一模）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比与比例的性质，熟练掌握相关知识是关键． 利用比例关系设参数来表示和，代入所求表达式化简即可． 解：设，则，， ∴． 故答案为：. 【题型2】黄金分割 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 解：根据题意，得设他至少走x米，则较长线段长为， 则， 故选A． 2．（2025·宁夏银川·二模）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，设，，再根据翻折的性质及等角对等边得出，最后利用勾股定理表示出及即可． 解：由题知， 令，， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中，． 故选：D． 3．（2026·上海闵行·一模）在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，由黄金分割的定义可得，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：∵ 点是 的黄金分割点，且， ∴ ， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）点在线段上，若，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，设，则，根据可得：，解方程可得：，所以可得：． 解：如下图所示， 设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：或不符合题意，舍去， ， ， 故答案为： 【考点二】平行线分线段成比例 【题型3】由平行线判断成比例的线段 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图, 在中，D，E，F分别在、、边上，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，结合图形应用相关判定及性质是解题的关键．由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可． ，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：C． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点分别在边上，交于点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线截线段成比例定理和相似三角形的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解题的关键． 根据平行线截线段成比例定理得到比例式以及利用相似三角形的判定定理得出、、，再根据相似三角形的性质得出比例式并进行判断即可． 解：A、∵， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； D．不能证明，故D错误，符合题意． 故选D． 【题型4】利用平行线截线段成比例求线段的长或比值 1．（2026·四川成都·一模）如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，即，求出即可． 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 2．（2025·广东深圳·三模）如图，中，点为的中点，点在上，点在上，且，若，，则下列叙述何者正确？（   ） A．， B． C． D．，与不平行 【答案】D 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确理解和应用这些知识是解题的关键． 由，，求得，假设，正确，则，所以，与已知条件不符，可判断不符合题意；由，证明，则，故B不符合题意；假设正确，由D为AB的中点，得，与已知条件不符，可判断C不符合题意；连接、，设，由，得，则，求得，所以，可知，由，可知与不平行，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 解：∵，， ∴， 假设，正确，则， ∴，与已知条件不符， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； 假设正确， ∵为的中点， ∴，与已知条件不符， 故C不符合题意； 连接、，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与EC不平行， 故D符合题意， 故选：D． 3．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，设，则，求出，再由，即可求出答案． 解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·广东·二模）如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是构造平行线． 过点作，交于点，利用平行线分线段成比例进行求解即可． 解：如图，过点作，交于点， ∵为上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点三】相似三角形的判定 【题型5】利用 “两角对应相等” 判定相似（最常用） 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据“同角（等角）的余角相等”，结合“两角分别相等的两个三角形相似”，可得图中与相似的三角形的个数． 解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 通过对顶角相等得到，进而可得到三角形相似． 证明：∵，相交于点， ∴， 又∵， ∴． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点D在等边的边上，为等边三角形，与交于点F．证明：． 【答案】证明见详解． 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可． 证明：如图： 为等边三角形， ， 又， ， ． 【题型6】利用 “两边对应成比例且夹角相等” 判定相似 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项判断即可． 解：A．∵，，，∴两三角形相似； B． ∵，，，∴两三角形不相似； C．∵，，，∴两三角形不相似； D．∵，，，∴两三角形不相似； 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 证明：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出． 证明：． 由勾股定理， ， ∴， ∴． 【题型7】利用 “三边对应成比例” 判定相似 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得． 解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴共有3组， 故选：A． 2．（25-26九年级上·上海宝山·月考）在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在正方形中，点E是的中点，点F、G分别在边上，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 由正方形的性质可得，再结合已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理即可证明结论． 证明：四边形是正方形， ，               点E是的中点， ，              ，     ． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，故，整理得，即可作答． （2）由，得，再结合，故，即可作答． （1）证明：∵， ∴ 则 ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 【题型8】选择或补充条件使两个三角形相似 1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意； B、，，可根据两角相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选C． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，正方形的边长为4，，那么当 时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长． 解：四边形是正方形， ， 正方形的边长为4， ， 在中，由勾股定理得：， 与相似， 分两种情况： ①，即， 解得； ②，即， 解得， 因此，当或时，与相似， 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，D为边上一点．请用尺规作，使点E在边上，且． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，尺规作图——作一个角等于已知角．以点D为顶点，作即可． 解：所求图形如图所示． ∵，， ∴． 4．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)或或，证明过程见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； （1）证明：∵， ∴， ∵，． ∴； （2）解：添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 【考点四】相似三角形的性质 【题型9】利用相似比求对应边、对应角、对应高、中线、角平分线 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）两个相似三角形一组对应高的长分别为和．在这两个三角形的一组对应角平分线中，若较短的角平分线的长为，则较长的角平分线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质得出对应高的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比进而得出答案． 解：∵两个相似三角形一组对应高的长分别是和， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的对应角平分线的为， 设较长的角平分线是, 则， 解得：，故较长的角平分线的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．由，是的中线，是的中线，得到，结合，即可求解． 解：，是的中线，是的中线， ， ， ． 故选：C． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据相似比等于对应边的比，即高的比求解即可． 解：∵和是它们的对应高线， ∴与的相似比是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知，是边上的中线，是边上的中线，，，是的一条高，．求对应高线的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质解答即可，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 解：∵，是边上的中线，是边上的中线， ∴，即， ∴． 【题型10】利用相似比求周长比和面积比（面积比是相似比的平方） 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．的周长的周长 D．的面积四边形的面积 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．根据中位线定理得到，，得到，，即可求出的周长的周长，，据此即可得到答案． 解：∵ D、E分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴的周长的周长，， ∴的面积四边形的面积． 所以A，C，D正确，B错误； 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东日照·期末）已知与相似，且周长比为，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 本题考查了三角形相似的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：∵与相似，且周长的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为，即； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．求与的周长之比． 【答案】 【分析】本题考查学生对相似三角形的判定与性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识点的理解与掌握，主要利用了相似三角形周长比等于相似比求解。 根据四边形是平行四边形，推出利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解。 解：由，得． 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ∴与的周长之比等于． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为． (1)已知，求的长； (2)已知的面积是8，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． （1）根据，得到，然后求值即可； （2）根据三角形相似其面积比等于相似比的平方，据此，可以得到的面积，从而求出四边形的面积． （1）解：∵，且与的相似比， ∵， ∵， ∴； （2）解：假设的面积为，的面积为， ∵，且与的相似比， ∴， ∵的面积是8，即， ∴，即的面积为18， 则四边形的面积是：． 【考点五】图形的位似 【题型11】识别位似图形，判断位似中心 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故选：D． 3．（19-20九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【答案】P． 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 4．（2025九年级下·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 【题型12】求两个位似图形的相似比 1．（25-26九年级上·湖南·期末）如图，与是以点O为位似中心的图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似性质，以及相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据位似性质，证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 解：∵与是以点O为位似中心的图形，且与的周长之比为， ∴，且相似比为， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似比的定义是解题的关键．根据位似图形的定义、相似比的定义计算，得到答案． 解：右边的“”与左边的“”是位似图形，A是位似中心，位似比为． ， ， ， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江西抚州·月考）如图，已知与位似，位似中心为点O，的面积与面积之比为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质；位似图形相似，对应点与位似中心共线，且到位似中心的距离之比等于位似比，根据面积之比求出相似比即可求解. 解：∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∵， ∴与的位似比为， ∴， ∵C、O、F三点共线， ∴. 故答案为：. 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以点O为位似中心把四边形缩小得到四边形，若点在反比例函数的图象上，则四边形和四边形的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查位似的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握位似的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键；由反比例函数k的几何意义可知，根据位似的性质可知矩形与矩形相似，进而问题可求解． 解：由反比例函数k的几何意义可知， ∵矩形与矩形位似， ∴矩形矩形， ∴， 即相似比为； 故答案为． 【题型13】在坐标系中求位似图形的对应点坐标 1．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，位似图形的性质及平面直角坐标系中点的坐标特征，利用正方形的性质、相似图形的性质及平面直角坐标系中点的坐标与距离的关系来求解即可． 解：由题意知，，， ∴， 又∵四边形和均为正方形， ∴，， ∴点E的坐标为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是第一、三象限以原点为位似中心的位似图形，且相似比为2．若点的横坐标为4，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念和相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，，则，再根据相似三角形的性质求解即可． 解：∵与是第一、三象限以原点为位似中心的位似图形，且相似比为2， ∴，，， ∴， ∴， ∵点的横坐标为4， ∴点的横坐标为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的相似比为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了以原点O为位似中心作出位似图形的坐标变化规律，将点的坐标乘以或即可． 解：当新图形与原图形在y轴同侧时， 点的对应点的坐标为，即； 当新图形与原图形在y轴异侧时， 点的对应点的坐标为，即； 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、位似的性质等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． 根据相似图形的性质可知两矩形的相似比为，由平面直角坐标系可知B点的坐标为，进而求得点的坐标． 解：∵矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴两矩形的相似比为， ∵由坐标系可得B点的坐标为， ∴点的坐标是或． 故答案为：或． 二、培优篇 【考点六】相似三角形的判定与性质综合 【题型14】相似三角形的判定与性质综合题】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，菱形中，，点、分别在、上，，，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】C 【分析】此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接证明是解题的关键． 先证是等边三角形．设，则，．再证，进而证明，根据对应边成比例列式求解即可． 解：如图，连接， 菱形中，， ，，， ， 是等边三角形． 设， ，， ，． ，， ， 又， ， ，即， 解得或， 当时，，不合题意，舍去， ， 即菱形的边长为9， 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由正方形的性质得，，，则，，由勾股定理求得，可证明，得，则，再证明，，于是得到问题的答案． 解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∵点E是的中点，交对角线于点F， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)如果，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识； （1）根据等边三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理结合平角的定义可得，进而证得结论； （2）设，则，根据相似三角形的性质构建方程求解即可． （1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理可得：， 解得或（不合题意，舍去） ∴． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F． (1)判断与是否相似，并说明理由； (2)若，，的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)4 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定可得结论； （2）先求得，再根据相似三角形的对应边成比例性质求解即可． （1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型15】相似三角形与特殊四边形的综合 1．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：B 2．（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 【答案】20 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是正确的作出辅助线．延长交延长线于点，则，证明，即可得出，根据的面积，求出的面积，然后可得出菱形的面积． 解：如图，延长交延长线于点， 点是边的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 又点是中点， ，， ， 的面积为1， 的面积为5， 菱形的面积为20， 故答案为：20． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点 重合， 三角板的一边交 于点， 另一边交 的延长线于点，易知 (1)如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形 的对角线 上， 其他条件不变， 与 是否仍然相等？若相等，请给予证明： 若不相等． 请说明理由： (2)如图3，将（1）中的“正方形 ”改为“矩形 ”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变， 若、，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质． （1）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证； （2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，可得，，则可证得，，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． （1）， 证明如下： 如图，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则，， ，， ， ， ； （2）如图，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，则， ，， ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 4．（2025·浙江杭州·一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用表示．如图，菱形和菱形是组合菱形，其中与共线，且满足． (1)组合比___________； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、菱形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据组合比的定义进行解答即可； （2）求出，根据菱形的性质即可得到； （3）证明．则，得到，即可得到结论． （1）解：∵． ∴组合比 故答案为： （2）连接交于点 四边形为菱形，四边形为菱形 ， 又即 ，即， 又 在中： （3）四边形为菱形，四边形为菱形 又 在和中 ． ∴， 不妨设，则，，可得 ． 【题型16】相似三角形与圆的综合 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据等边对等角和圆内接四边形的性质得到，即可得到，根据对应边成比例得到，进而解答即可． 解：∵D是的中点， ∴， 设与圆O交于点E，连接，， 则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级下·安徽宿州·月考）如图，已知为圆O的直径，和圆O相切于点B，，，交圆O于点D，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定， 作，根据切线的性质得，根据勾股定理求出，接下来说明，可求，，最后根据勾股定理得出答案． 解析：如图，过点D作于点E． ∵是的切线， ∴. ∵，，根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 根据勾股定理，得． 故答案为：． 3．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是圆O的弦，点A在圆O上，且，过A作分别交、圆O于D、E，延长至点F且， (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则为的直径，证明即可证明结论； （2）连接，求出，证明可得，设，则，，可得关于x的方程，解出方程即可得出、的长，利用勾股定理可求出长，进而完成解答． （1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是圆O的切线． （2）解：如图：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：． ∴，， ∴， ∴， ∴圆O的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质求线段的长成为解题的关键． 4．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图，三角形中，点为上一点，过，，三点作圆，是圆的直径，连接，给出如下信息：①；②是圆的切线；③． (1)在信息①②③中选择其中两个作为条件，另一个作为结论，并加以证明． (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定定理、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理证明∠CAE=90°，根据切线的判定定理证明； （2）取的中点，连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据余弦的定义求出，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质计算． （1）选择①③作为条件，②作为结论， 证明：， ， ， ， 由圆周角定理得，， 是圆的直径， ，即， ，即， 是圆的切线； 选择①②作为条件，③作为结论， 证明：是圆的切线， ， 是圆的直径， ，即， 由圆周角定理得，， ， ， 选择②③作为条件，①作为结论， 证明：是圆的切线， ， 是圆的直径， ，即， 由圆周角定理得，， ， ， ； （2）取的中点，连接， ， ， 在中， 设，则 ， ， ， ，即， 的半径为 【考点七】相似三角形的实际应用 【题型17】利用相似三角形测量高度、宽度（如测量旗杆高度、河宽） 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（   ） A．14 B．15.6 C．14.6 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 解：如图， 据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ∴树高为． 故选：B． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 4．（2025·河南驻马店·三模）开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960－1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”．某小组用自制的菱形测高仪测量塔高，其边长为，为对角线的交点，．当测角仪的顶点，A与塔顶端点在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点和顶点．经测量点到的距离为72m，点到地面的距离为．求开封铁塔的高度． 【答案】 【分析】延长交于，由题意得，，根据菱形的性质可得，根据勾股定理可得，由，可得，则可求出的长，进而可得的长． 解：如图，延长交于， 由题意得：，， 在菱形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， 解得：， ∴． 答：开封铁塔的高度为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型18】相似三角形在投影问题中的应用 1．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 2．（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 解：作于，于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1)作图见解析 (2)①；②米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键． （1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置； （2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解； ②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． （1）解：如图所示，连接、并延长，相交于点， 则点即是灯泡的位置； （2）解：①∵，， ∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴； ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 4．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯泡离地面的高度为 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． （1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． 【考点八】相似三角形中的动点问题 【题型19】动点问题探究相似三角形的存在性 1．（23-24九年级上·广东深圳·月考）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 2．（2025·黑龙江绥化·二模）在正方形的右侧作正方形，点G在边上且顶点E在的延长线上，已知大正方形的边长是8，，在直线上是否存在点P，可使为直角三角形，则此时的长度为 ． 【答案】3或8或或 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质等知识．设，分为点、、分别为直角顶点：当时，延长，交于点，可证得，从而，进而得出结果；当时，可得，从而得出，进而得出结果；当，延长，交的延长线于点，可得，，进而得出结果． 解：如图，设， 当时，延长，交于点，则四边形为矩形， ∴， 则，， ， ， ， ，即； 当时， 同理， ， ，整理得， 解得或， ，； 当， 延长，交的延长线于点， 同理， ， ， ， ， 综上所述：的长度为3或8或或． 故答案为：3或8或或． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据菱形的性质，勾股定理求得的长，根据题意得出，根据，可得，当时，四边形是平行四边形，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点作于点，根据题意可得四边形是梯形，，进而表示出，根据四边形的面积是菱形面积的建立方程，解方程，得出的值，结合题目条件，即可求解； （3）当时得出，根据得出方程，解方程，即可求解． （1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 4．（2025·山东青岛·一模）如图，四边形为平行四边形，，，，对角线、交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为．连接交于点E；过P作，延长交于点N．设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使点N在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）首先证明出，然后证明出当时，此时四边形为矩形，得到，，表示出，，然后代入求解即可； （2）如图所示，连接，过点P作交于点H，证明出，得到，表示出，，同理表示出，然后根据代入表示即可； （3）如图所示，过点N作交于点G，过点C作交于点F，勾股定理求出，表示出，由角平分线的性质得到，然后根据等面积得到，代数求出，得到，然后证明出，得到，代数求解即可． （1）∵，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴ ∴ 当时，四边形四边形为平行四边形 又∵ ∴此时四边形为矩形 ∴此时 ∴， ∵四边形为平行四边形 ∴， ∵动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为，设运动时间为， ∴， ∴， ∴代入得， 解得 ∴当时，四边形为矩形； （2）如图所示，连接，过点P作交于点H    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴S与t的函数关系式为； （3）存在，，理由如下： 如图所示，过点N作交于点G，过点C作交于点F，    ∵四边形为平行四边形，，，， ∴ ∴ ∴ 当点N在的平分线上时 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． ∴当时，点N在的平分线上． 【点睛】此题考查了二次函数和几何动点问题，平行四边形的性质，动点问题函数图象，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型20】动点问题与相似三角形的面积 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上一点（不与点，重合），连接，，，且，，为的中点，连接，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则四边形的周长为33.6 C．的面积最大为25 D．的面积恒为12 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，，根据相似三角形的性质即可判断A，证明、、、四点共圆，得出，再证明，得出，从而即可判断B；设，则，，表示出，由此即可判断C；证明，求出，表示出，作于，于，由等面积法得出，结合勾股定理得出，证明，求出，再由的面积为计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，即，故A正确； 当时，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，故B正确； 设，则，，即， ∴， ∴当时，的面积最大为，故C错误； ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴， 如图，作于，于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D正确； 故选：C． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 先根据平行四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质求出，根据同高，求出，进而求出四边形的面积． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 和分别以为底，它们高相同， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形的面积为： ， 故答案为：． 3．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 【答案】见详解； 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，根据题意求得的值，从而得到和的面积比，利用正方形的性质求出的面积，进而求出的面积． 解：在正方形中， ， ， ∵点E是边的中点， ． ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，为边上的动点，将沿所在直线翻折，得到，点的对应点为． (1)如图，若，与边交于点． ①填空：点到边的距离为_________． ②求证：． ③若点与点的距离为，求的长． (2)若是边的中点，与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②见解析；③ (2)或 【分析】（1）①过点作于点，根据三线合一可得，进而根据正切的定义，即可求解； ②根据等边对等角以及折叠的性质即可得证； ③证明得出，，过点作于点，于点，由，得，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求得，代入比例式即可求解． （2）分两种情况讨论，①当在的下方时，证明四边形是平行四边形，过点作于点，根据，设则，在中，，建立方程解方程，进而根据三角形的面积公式即可求解；②当在的上方时，同理可得四边形是平行四边形，进而根据，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （1）解：①如图，过点作于点， ∵，， ∴ 又∵， ∴，即点到边的距离为 故答案为：． ②证明：∵， ∴, ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴ ∴ ∵ ∴ ③∵， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ 过点作于点，于点 ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， 由，得 ∴ 解得： （2）解：①如图1，当在的下方时， ∵与重合部分的面积等于面积的， ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ 由折叠，知， ∴ 过点作于点 设则， 在中， ∴ 解得：（舍去） ∴ ∴ ②如图2，当在的上方时， 同理可得四边形是平行四边形 ∴，， 过点作于点 ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点九】相似三角形的经典模型应用 【题型21】“母子型” 相似 1．（23-24九年级上·广西桂林·月考）如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据正方形性质和旋转性质得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF与△DEA相似，得到对应边成比例即可得到结果． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠ADB=45°， ∵把△ABC绕点A逆时针旋转到， ∴∠EAF=∠BAC=45°， ∴∠EAF=∠ADB=45°， ∵∠AEF=∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴EF·ED=AE2， ∵AE=4， ∴EF·ED=16， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键． 2．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的有关知识.由等腰三角形的判定与性质知是等腰三角形的中垂线.根据相似三角形 的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即 ，最后在直角中利用勾股定理来求的值． ，四边形是正方形, ， 又∵平分交于, ，, ， 在 和 中, ， ， 即 ， 即 , 即 ， 故答案为： ． 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． （1）证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． （2）证明 ． ， ． ． ． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． （1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 【题型22】“一线三等角” 相似 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及求反比例函数的比例系数，作轴，证推出得，即可进一步推出点的坐标，即可求解； 解：作轴，如图所示： 则， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点， ∵，，，为矩形的四个顶点， ∴，解得， ∴， ∴； 故选：B 2．（2024·浙江杭州·二模）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 解：如图，同时平分和， ，， 在与中，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． （1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 4．（25-26九年级上·上海·月考）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 【题型23】“旋转” 相似 1．（23-24·广西贵港·模拟预测）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案． 解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ADC＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD， 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝BD， 由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D， ∴∠CDC′＝45°+45°＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD， ∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°， ∴AC′＝AQ＝AC， 由△AEC∽△BDQ得：＝， ∴＝＝＝＝． 故选：A． 【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键． 2．（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边关系，掌握手拉手的相似模型是解题的关键． 以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，根据等腰三角形的性质，求得，再证，利用边角关系证，求得，最后利用三角形三边关系，即可求解． 解：如图，以为底边构造顶角为的等腰三角形，过点E作，连接，   ， ， ， ， ， ， ，， ，，即， ， ， ， 根据三角形三边关系可知， 故当三点共线时，最长，最长为． 故答案为：． 3．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． （1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 【答案】(1)见解析(2)①；②(3)或或 【分析】（1）由等边三角形的性质及相似三角形的性质得是等边三角形，由判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，由直角三角形的特征得，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；(ⅱ)当点D，N不重合时，同理可求； ②在上取一点H，使得，连接，由①中的(ⅱ)同理可求； （3）取的中点，连接，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质可求，①当时，此时与重合，（ⅰ）点在线段上， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得 ，即可求解；（ⅱ）点在线段延长线上，同理可求； ②当时，（ⅰ）当点在的内部时，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作交于，设，由相似三角形的性质及直角三角形的特征、勾股定理得，，由勾股定理得，可得，，，从而求出，由三角形面积可求，再由勾股定理求出，，求出，，即可求解；（ⅱ）当点在的外部时，同理可求：，，即可求解． （1）证明：， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， 在和中， ， ()， ． （2）解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 在中，， ， ， ， ， 当点D，N重合时，； (ⅱ) 如图，当点D，N不重合时， 在上取一点H，使得，连接； 由(ⅰ)同理可证：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 在中， 同理可求：， 当点D，N不重合时， ． 综上，． ②如图：在上取一点H，使得，连接， 由①中的(ⅱ)同理可证，， ∴，， ， 如图，过作交于， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ①如图，当时，此时与重合， （ⅰ）点在线段上，如图， ， ， ， ； （ⅱ）点在线段延长线上，如图， 由（ⅰ）同理可证：； ②当时， （ⅰ）如图，当点在的内部时， 如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于， 设， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，当点在的外部时， 连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的判定及性质等；相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定就性质，等边三角形的判定及性质，能根据题意构建相似三角形及根据点的不同位置进行分类讨论，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【考点十】图形与函数综合 【题型24】相似三角形与一次函数、二次函数的综合 1．（2023·黑龙江牡丹江·三模）已知点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，线段的长是方程的解，．    （1）求点的坐标； （2）点在轴负半轴上，直线，交线段于点，交轴于点，．若反比例函数的图象经过点，求的值； （3）在（2）条件下，点是中点，点，，在直线或轴上，是否存在点，使四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，满足条件的点坐标为或或或 【分析】（1）解方程求出的长，解直角三角形求出即可解决问题； （2）求出直线、的解析式，构建方程组求出点坐标即可； （3）分四种情形分别求解即可解决问题． （1）∵线段的长是方程的解 ∴ 在中， ∴ ∴； （2）∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴或﹣4（舍去） ∴， ∴直线的解析式为 ∵， ∴直线的解析式为 由，解得 ∴ ∵若反比例函数的图象经过点 ∴； （3）如图1中，当四边形是矩形时 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 如图2中，当四边形是矩形时（点与原点重合） 易证是等腰直角三角形，， 如图3中，当四边形是矩形时，设交于 易知，可得 如图4中，当四边形是矩形时，设交轴于 易知，可得 综上所述，满足条件的点坐标为或或或．    【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正切函数值、相似三角形的判定定理与性质、矩形的定义与性质等知识点，较难的是题（3），依据矩形的定义正确分四种情况讨论是解题关键． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B点，AE平分，交轴于点E．    （1）直接写出点A和点B的坐标． （2）求直线AE的表达式． （3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，判断四边形ACFD的形状并说明理由，求四边形ACFD的面积． 【答案】（1）A(0,6)，B(8,0)；（2）y=−2x+6；（3）四边形ACFD是菱形，证明见解析；S四边形ACFD=20 【分析】（1）一次函数，令x=0求出y值，可得A点坐标，令y=0，求出x值，可得B点坐标，此题得解； （2）已知A，B点坐标，结合勾股定理可求出AB的长度，再利用角平分线的性质即可求出点E的坐标，根据点A、E的坐标利用待定系数法即可求出直线AE的表达式； （3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，连接CD交AF于点G，可得四边形ACFD是平行四边形，证明AD=DF，即可得到四边形ACFD是菱形，证明△AOE∽△BFE，即可得到，，求得BF和EF，进而求得四边形ACFD的面积． （1）∵ 当x=0时，y=6 ∴A(0,6) 当y=0时， 解得x=8 ∴B(8,0) ∴A(0,6)，B(8,0) （2）过点E作EM⊥AB于D ∴OA=6，OB=8， ∴AB= ∵AE平分∠BAO，交x轴于点E ∴OE=ME ∴ ∴ ∴OE=BE ∵OE+BE=OB=8 ∴OE=3，BE=5 ∴点E的坐标为(3,0) 设直线AE的表达式为y=kx+b 将A(0,6)、E(3,0)代入y=kx+b 解得： ∴直线AE的表达式为y=−2x+6    （3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，连接CD交AF于点G ∵FD//OA，FC//AB ∴四边形ACFD是平行四边形 ∴∠CAF=∠AFD ∵∠CAF=∠FAD ∴∠AFD=∠FAD ∴AD=DF ∴四边形ACFD是菱形 ∵∠AOE=∠BFE=90°，∠AEO=∠BEF ∴△AOE∽△BFE ∴ ∵OE=3，OA=6 ∴AE= ∴ ∴BF= ∵四边形ACFD是菱形 ∴DG⊥AF，AG=GF ∴DG=BF= ∵ ∴ ∴EF= ∴AF=AE+EF= S四边形ACFD=AF×DG= 故答案为：四边形ACFD是菱形，证明见解析；S四边形ACFD=20    【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，及利用待定系数法求一次函数解析式，本题是一次函数与几何问题的结合，解题过程中应用了相似的判定及性质，菱形的判定及性质等知识点． 3．（2020八年级上·全国·专题练习）如图，已知一次函数y＝3x＋3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC， （1）求直线AC的解析式； （2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG； （3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标． 【答案】（1）y＝﹣x＋3；（2）证明见解析；（3）D(1，) 【分析】（1）先求得A、B两点的坐标，设OC=x，则AC=BC=x+1，在Rt△AOC中，依据勾股定理可求得x的值，从而可求得点C的坐标，最后，利用待定系数法求解即可； （2）过点D作DH∥x轴，则∠HDF=∠BGF．由平行线分线段成比例定理可得到FG=DF，接下来，再证明△BGF≌△HDF，从而可得到HD=BG，然后再证明△ADH为等腰三角形，最后，通过等量代换可得到问题的答案； （3）作辅助线，先求得AB、AH、CN的长，从而可证明△FAD∽△CAB，则△GAD为直角三角形，然后可求得OG的长，从而得到点G的坐标，然后，再求得点D的坐标即可． 解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴A(0，3)． 令y＝0得：3x＋3＝0，解得：x＝﹣1， ∴B(﹣1，0)． 设OC＝x，则AC＝BC＝x＋1． 在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2＋OC2＝AC2， 即32＋x2＝（x＋1）2， 解得：x＝4， ∴C(4，0)． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则 ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x＋3． （2）如图1所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF． ∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点， ∴F为DG的中点． ∴FG＝DF． ∵在△BGF和△HDF中， ， ∴△BGF≌△HDF（ASA）． ∴HD＝BG． ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠ABC． ∵HD∥CG， ∴∠AHD＝∠ABC， ∴∠HAD＝∠AHD． ∴AD＝DH， ∴AD＝BG． （3）如图2所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过D作DM⊥x轴于M， 在Rt△ABO中，依据勾股定理可知AB＝＝， ∵CB＝CA，CH⊥AB， ∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH． Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝＝＝， ∵∠BAO＋∠ABO＝∠ABO＋∠BCH， ∴∠BAO＝∠BCH＝∠ACH， ∴∠BCA＝2∠BAO． 又∵∠AFD＝2∠BAO， ∴∠AFD＝∠BCA． 又∵∠FAD＝∠BAC， ∴△FAD∽△CAB， ∴AF＝DF． 又∵GF＝FD， ∴△GAD为直角三角形． ∴OG•OC＝OA2， ∴OG＝． ∴G(﹣，0)． ∴AD＝BG＝． Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4， ∴AC＝5， ∵DM∥OA， ∴，即， OM＝1， 当x＝1时，y＝﹣x＋3＝﹣＋3＝， ∴D(1，)． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 4．（2024河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M． (1)求直线BC的解析式； (2)求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据题意求出点A、B的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）易证，且相似比为1：2，然后利用S阴影代入数据计算即可． 解：（1）， 所以点A坐标为（0，4)，点C坐标为（1，0）， 又轴，点B坐标为（2，4）， 设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C坐标代入表达式， 得，解得：k=4，b=﹣4， 所以直线的表达式为． (2) 轴，∴AB∥x轴， ， ∴， ∵， ∴， ∴S阴影． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的关系式、相似三角形的判定和性质以及阴影面积的计算等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 4．（25-26九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由； (3)连接，当时，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)有最大值为，点坐标为 (3) 【分析】（1）将，代入中，列出关于的二元一次方程组，求出的值即可； （2）设与交于点，过作轴的平行线与相交于点，由两点坐标可得所在直线表达式，求得点坐标，则，由，可得，，设，则，，根据二次函数性质求解即可． （3）设与轴交于点，根据轴可知，，，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点的坐标，用待定系数法确定出的函数解析式即可； （1）由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）如图所示： 设与交于点．过作轴的平行线与相交于点． 由两点坐标分别为， 可得表达式为 ∴点坐标为， 由，可得， 设，则， ∴当时，有最大值，此时点坐标为． （3）如图所示： 设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． 【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题． 【题型25】相似三角形与反比例函数的综合 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（    ） A．－6 B．－12 C．－18 D．－24 【答案】B 【分析】连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，得出，可得出CF•OF的值，进而得到k的值． 如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F， ∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称， ∴AO＝BO， 又∵AC＝BC， ∴CO⊥AB， ∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°， ∴∠AOE＝∠COF， 又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°， ∴△AOE∽△COF， ∴， ∵， ∴， ∴CF＝2AE，OF＝2OE， 又∵AE•OE＝3， ∴CF•OF＝|k|＝4×3＝12， ∴k＝±12， ∵点C在第二象限， ∴k＝−12， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF＝12．解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论． 2．（23-24九年级上·四川成都·月考）给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点在反比例函数上，若点绕着点旋转后得到点，我们称是关于的“伴随点”．若关于的“伴随点”为，由和坐标原点构成的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，则的值是 ． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，理解定义，并利用相似三角形的性质表示出点的坐标是解题的关键． 当，分点在第三象限和第一象限，作于，利用，得，表示出点的坐标， 当时，作于，交轴于，则， 构造垂直全等模型，利用，可设，则，表示出点的坐标，从而得出答案， 解：当，点在第三象限时，如图，作于， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得或， ∵点在第四象限， ∴， ∴不合，舍去， ∴； 当，点在第一象限时，如图， 同理可知，则，解并检验得； 当，点在第一象限时， 如图3，同理可知可知，则， 解并检验得， 当时，如图4，当在时，则，此时的中点恰好在上，符合题意； 时，如图5，∵是直角等腰三角形，， ∴，， 作于，交轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴，解得：，（不合题意舍去） ∴， ∴， 当时，如图6， 作于，交轴于，同理可得，，， 设，则，， ∴，∴，解得：，（不合题意舍去） ∴， 综上，的值为或或或， 故答案为：或或或． 3．（23-24·山东济南·二模）矩形中，，分别以 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F运动到边的中点时，点E的坐标为　 ． (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出点C坐标，再用点F是中点，求出点F坐标，利用待定系数法求出k，最后将点E的纵坐标为3代入反比例函数解析式中即可求出点E坐标； （2）设出点，代入反比例函数中得出，进而用m表示出，即可得出结论． （3）如图所示，过点E作于H，证明，得到，则． （1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， 点F是的中点， ∴ 点F在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点E在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， 点E的横坐标为， （2）解：如图，设点， ∴， 点E，F在反比例函数的图象上， ， ， ， 在中，； （3）解：如图所示，过点E作于H， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，求角正切值，折叠的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2， (1)求的值． (2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过设交点坐标表示出线段的长度，再利用勾股定理求出点的坐标，将点的坐标代入函数解析式即可求出的值； （2）过点作轴于点，则点的横坐标是线段的长度，纵坐标是线段的长度，利用可以求出点的坐标． （1）解：如图，过点作轴于点，则． 又 ， ． 设，则点关于直线对称的点的坐标为，点的坐标为， 又点 关于直线 对称的点和点 都在反比例函数上， ，解得， ． （2）由（1）知， 在正方形中，， 又 （点拨：也可通过证，求的值）．                                   如图，过点作轴于点，则． ， ， ． 又， （提示：“一线三直角”相似模型）， ， 设，则，， （点拨：根据的几何意义建立方程）， 解得 ，（舍去）， 点的坐标为 【点睛】本题是一道反比例函数与几何综合题，主要考查了求反比例函数的解析式、勾股定理、正方形的性质和用相似三角形求点的坐标等，熟练掌握勾股定理、三角形相似求点的坐标是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.3 图形的相似综合培优专题（10大考点25题型） 目录 一、综合篇 2 【考点一】比例线段与黄金分割 2 【题型1】比例的基本性质 2 【题型2】黄金分割 2 【考点二】平行线分线段成比例 3 【题型3】由平行线判断成比例的线段 3 【题型4】利用平行线截线段成比例求线段的长或比值 4 【考点三】相似三角形的判定 5 【题型5】利用 “两角对应相等” 判定相似（最常用） 5 【题型6】利用 “两边对应成比例且夹角相等” 判定相似 6 【题型7】利用 “三边对应成比例” 判定相似 7 【题型8】选择或补充条件使两个三角形相似 8 【考点四】相似三角形的性质 9 【题型9】利用相似比求对应边、对应角、对应高、中线、角平分线 9 【题型10】利用相似比求周长比和面积比（面积比是相似比的平方） 9 【考点五】图形的位似 10 【题型11】识别位似图形，判断位似中心 10 【题型12】求两个位似图形的相似比 11 【题型13】在坐标系中求位似图形的对应点坐标 12 二、培优篇 13 【考点六】相似三角形的判定与性质综合 13 【题型14】相似三角形的判定与性质综合题】 13 【题型15】相似三角形与特殊四边形的综合 14 【题型16】相似三角形与圆的综合 15 【考点七】相似三角形的实际应用 17 【题型17】利用相似三角形测量高度、宽度（如测量旗杆高度、河宽） 17 【题型18】相似三角形在投影问题中的应用 18 【考点八】相似三角形中的动点问题 19 【题型19】动点问题探究相似三角形的存在性 19 【题型20】动点问题与相似三角形的面积 21 【考点九】相似三角形的经典模型应用 23 【题型21】“母子型” 相似 23 【题型22】“一线三等角” 相似 24 【题型23】“旋转” 相似 25 【考点十】图形与函数综合 27 【题型24】相似三角形与一次函数、二次函数的综合 27 【题型25】相似三角形与反比例函数的综合 29 一、基础篇 【考点一】比例线段与黄金分割 【题型1】比例的基本性质 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知，且，那么k的值是（   ） A．2 B． C．2或0 D．2或 2．（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 4．（2026·上海长宁·一模）已知，那么的值为 ． 【题型2】黄金分割 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D．以上都不对 2．（2025·宁夏银川·二模）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海闵行·一模）在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是 （结果保留根号）． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）点在线段上，若，那么的值为 ． 【考点二】平行线分线段成比例 【题型3】由平行线判断成比例的线段 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图, 在中，D，E，F分别在、、边上，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点分别在边上，交于点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型4】利用平行线截线段成比例求线段的长或比值 1．（2026·四川成都·一模）如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·三模）如图，中，点为的中点，点在上，点在上，且，若，，则下列叙述何者正确？（   ） A．， B． C． D．，与不平行 3．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为 ． 4．（2024·广东·二模）如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则 【考点三】相似三角形的判定 【题型5】利用 “两角对应相等” 判定相似（最常用） 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 3．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点D在等边的边上，为等边三角形，与交于点F．证明：． 【题型6】利用 “两边对应成比例且夹角相等” 判定相似 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）图中三角形相似的是（   ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（3）和（4） 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，与的顶点都在格点上．求证：． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【题型7】利用 “三边对应成比例” 判定相似 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 2．（25-26九年级上·上海宝山·月考）在和中，如果，，，，，那么 时，与相似． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在正方形中，点E是的中点，点F、G分别在边上，连接，若，求证：． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【题型8】选择或补充条件使两个三角形相似 1．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，正方形的边长为4，，那么当 时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，D为边上一点．请用尺规作，使点E在边上，且． 4．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【考点四】相似三角形的性质 【题型9】利用相似比求对应边、对应角、对应高、中线、角平分线 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）两个相似三角形一组对应高的长分别为和．在这两个三角形的一组对应角平分线中，若较短的角平分线的长为，则较长的角平分线的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知，是边上的中线，是边上的中线，，，是的一条高，．求对应高线的长． 【题型10】利用相似比求周长比和面积比（面积比是相似比的平方） 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，点D，E分别是边的中点，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．的周长的周长 D．的面积四边形的面积 2．（25-26九年级上·山东日照·期末）已知与相似，且周长比为，则与的面积比为 ． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．求与的周长之比． 4．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为． (1)已知，求的长； (2)已知的面积是8，求四边形的面积． 【考点五】图形的位似 【题型11】识别位似图形，判断位似中心 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 3．（19-20九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    4．（2025九年级下·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【题型12】求两个位似图形的相似比 1．（25-26九年级上·湖南·期末）如图，与是以点O为位似中心的图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（25-26九年级上·江西抚州·月考）如图，已知与位似，位似中心为点O，的面积与面积之比为，则的值为 ． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，轴于点C，以点O为位似中心把四边形缩小得到四边形，若点在反比例函数的图象上，则四边形和四边形的相似比为 ． 【题型13】在坐标系中求位似图形的对应点坐标 1．（25-26九年级上·四川泸州·月考）如图，正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是第一、三象限以原点为位似中心的位似图形，且相似比为2．若点的横坐标为4，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的相似比为，则点的对应点的坐标为 ． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 二、培优篇 【考点六】相似三角形的判定与性质综合 【题型14】相似三角形的判定与性质综合题】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，菱形中，，点、分别在、上，，，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．9 D．10 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接．若，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期中）已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)如果，，且，求的长． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F． (1)判断与是否相似，并说明理由； (2)若，，的长． 【题型15】相似三角形与特殊四边形的综合 1．（2024·广东·模拟预测）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 2．（2025·山东临沂·一模）如图，已知在菱形中，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，的面积为1，则菱形的面积为 ． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点 重合， 三角板的一边交 于点， 另一边交 的延长线于点，易知 (1)如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形 的对角线 上， 其他条件不变， 与 是否仍然相等？若相等，请给予证明： 若不相等． 请说明理由： (2)如图3，将（1）中的“正方形 ”改为“矩形 ”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变， 若、，求的值． 4．（2025·浙江杭州·一模）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用表示．如图，菱形和菱形是组合菱形，其中与共线，且满足． (1)组合比___________； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 【题型16】相似三角形与圆的综合 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·安徽宿州·月考）如图，已知为圆O的直径，和圆O相切于点B，，，交圆O于点D，则 ． 3．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是圆O的弦，点A在圆O上，且，过A作分别交、圆O于D、E，延长至点F且， (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 4．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）如图，三角形中，点为上一点，过，，三点作圆，是圆的直径，连接，给出如下信息：①；②是圆的切线；③． (1)在信息①②③中选择其中两个作为条件，另一个作为结论，并加以证明． (2)若，，求圆的半径． 【考点七】相似三角形的实际应用 【题型17】利用相似三角形测量高度、宽度（如测量旗杆高度、河宽） 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（   ） A．14 B．15.6 C．14.6 D．15 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 4．（2025·河南驻马店·三模）开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960－1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”．某小组用自制的菱形测高仪测量塔高，其边长为，为对角线的交点，．当测角仪的顶点，A与塔顶端点在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线恰好过点和顶点．经测量点到的距离为72m，点到地面的距离为．求开封铁塔的高度． 【题型18】相似三角形在投影问题中的应用 1．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为 ． 3．（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 4．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【考点八】相似三角形中的动点问题 【题型19】动点问题探究相似三角形的存在性 1．（23-24九年级上·广东深圳·月考）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 2．（2025·黑龙江绥化·二模）在正方形的右侧作正方形，点G在边上且顶点E在的延长线上，已知大正方形的边长是8，，在直线上是否存在点P，可使为直角三角形，则此时的长度为 ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·山东青岛·一模）如图，四边形为平行四边形，，，，对角线、交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为．连接交于点E；过P作，延长交于点N．设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使点N在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【题型20】动点问题与相似三角形的面积 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为边上一点（不与点，重合），连接，，，且，，为的中点，连接，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则四边形的周长为33.6 C．的面积最大为25 D．的面积恒为12 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 3．（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在中，，，为边上的动点，将沿所在直线翻折，得到，点的对应点为． (1)如图，若，与边交于点． ①填空：点到边的距离为_________． ②求证：． ③若点与点的距离为，求的长． (2)若是边的中点，与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 【考点九】相似三角形的经典模型应用 【题型21】“母子型” 相似 1．（23-24九年级上·广西桂林·月考）如图， 正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 2．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为2，平分交于E，F是延长线上一点，且，延长线交于G，则的值是 ． ​ 3．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【题型22】“一线三等角” 相似 1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 2．（2024·浙江杭州·二模）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 4．（25-26九年级上·上海·月考）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【题型23】“旋转” 相似 1．（23-24·广西贵港·模拟预测）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·周测）如图，在四边形中，，，，，则对角线的最大值为 ．    3．（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 【考点十】图形与函数综合 【题型24】相似三角形与一次函数、二次函数的综合 1．（2023·黑龙江牡丹江·三模）已知点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，线段的长是方程的解，．    （1）求点的坐标； （2）点在轴负半轴上，直线，交线段于点，交轴于点，．若反比例函数的图象经过点，求的值； （3）在（2）条件下，点是中点，点，，在直线或轴上，是否存在点，使四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B点，AE平分，交轴于点E．    （1）直接写出点A和点B的坐标． （2）求直线AE的表达式． （3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，判断四边形ACFD的形状并说明理由，求四边形ACFD的面积． 3．（23-24八年级上·全国·专题练习）如图，已知一次函数y＝3x＋3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC， （1）求直线AC的解析式； （2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG； （3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标． 4．（2024河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M． (1)求直线BC的解析式； (2)求阴影部分的面积． 4．（25-26九年级上·山东东营·期中）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接，交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)判断：是否有最大值？如有请求出最大值及此时点的坐标，如没有请说明理由； (3)连接，当时，求直线的表达式． 【题型25】相似三角形与反比例函数的综合 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（    ） A．－6 B．－12 C．－18 D．－24 2．（23-24九年级上·四川成都·月考）给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点在反比例函数上，若点绕着点旋转后得到点，我们称是关于的“伴随点”．若关于的“伴随点”为，由和坐标原点构成的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，则的值是 ． 3．（2020·山东济南·二模）矩形中，，分别以 所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当点F运动到边的中点时，点E的坐标为　 ． (2)连接，求的正切值； (3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求的长度． 4．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2， (1)求的值． (2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $